一類多時滯Logistic模型的周期正解

吳懷弟，阮育清

(1.福州大學數學與計算機學院，福州 350108;2.福建農林大學計算機與信息學院，福州 350002)

時滯系統是用于描述運動狀態與時間歷史有關的運動現象，時滯的存在給系統動力學性質的研究帶來了很大的困難.對具有周期系數的Logistic時滯模型，國內外學者進行了許多相關研究［1－5］。

本文考慮如下多時滯單種群Logistic模型

其中a(t)、bi(t)、r(t)是T－周期函數;a(t)＞0，bi(t)≥0，且

根據生態學含義，考慮系統(1)的如下初值問題:

其中:τ=max{τi};φ 是［－τ，0］上的連續函數。

當m=1時，Freedman［3］運用 Horn不動點定理證明了系統(1)在函數方程 r(t)－a(t)u(t)+b(t)u(t－τ(t))=0有周期解的條件下存在周期正解。最近，對于線性多時滯的情形，Li［5］借助重合度理論獲得了如下系統在條件下存在周期正解。

對于非線性的情形，文獻［1－2］研究了純時滯滯系統(4)的周期正解。

筆者借助重合度理論證得系統(4)在系統的系數都是連續正周期函數的條件下至少存在一個周期正解;注意到系統(4)和(1)是有本質差別的。系統(1)由于有正反饋時滯項，這就使得文獻［1－2］的估計解的先驗界的分析手法無法應用到系統(1)。由于文獻［3］定理條件需要借助于解函數方程，但這并不容易做到。文獻［5］所給條件僅依賴于系統的系數，非常簡潔。最近Lisena［4］在研讀文獻［3，5］時注意到這一事實，試圖獲得一組介于文獻［3］和文獻［5］之間的條件，這一條件既要推廣文獻［5］的主要結果，同時又要克服文獻［3］的定理條件不易驗證的困難。借助Schauder不動點定理Lisena獲得一組新的保證系統(1)當m=1時存在周期正解的充分性條件。如本文分析，無法將文獻［1－2］的分析手法應用于系統(1)的周期正解的存在性問題，那么一個比較有趣的問題就是能否運用文獻［4］的手法來探討系統(1)周期正解存在性的條件。

1 周期正解的存在性

引理1 設k(t)＞0，a(t)＞0，bi(t)≥0，若如下的時滯函數方程

存在一個連續可微的T－周期正解，則系統(1)存在一個T－周期正解。

引理2 設a(t)、bi(t)、k(t)、r(t)是連續的T－周期函數，且

若系統

的T－周期正解，u(t)是系統(1)的一個正解，且滿足

則

證明先證

故存在 t0＞0，使得又，由微分方程比較原理有又因為其為周期函數，所以式(8)成立。

由歸納法可得上述不等式在t∈［0，T］上成立。

故結論得證。

定理1 設和為引理2所定義的函數，則方程(1)存在一個T－周期正解滿足

證明定義線性空間

定義連續映射

所以F(S)一致有界等度連續，因此F(S)列緊，則由 Schauder第二不動點定理得存在，使得也即方程(1)有一個 T － 周期正解滿足

證明完畢。

下面給出本文主要定理的證明。

定理2 設a(t)＞0，bi(t)≥0，m［r］＞0，若存在一個正的連續可微的T－周期函數φ(t)，滿足

則方程(1)有一個T－周期正解。

證明取

由式(9)和k(t)＞r(t)，應用定理1結論得證。

注1 文獻［3］的多時滯情形要求有周期正解，這是不容易判別的，而定理2只要求存在周期函數φ(t)滿足不等式，避免了函數方程的根的判別，且顯然該條件也更容易滿足。

注2 當取定理2中的φ(t)=1時，即為文獻［5］中定理2.3所表述的內容，因此本文推廣了文獻［4－5］的相關工作。

［1］Chen F D，Shi J L.Periodicity in a logistic type system with several delays［J］.Computers and Mathematics with Applications，2004，48:35 －44.

［2］Chen Y M.Periodic solutions of a delayed periodic logistic equation［J］.Applied Mathematics Letters，2003，16:1047 －1051.

［3］Freedman H I，Wu J H.Periodic solutions of single-species models with periodic delay［J］.SIAM Journal on Mathematical A-nalysis，1992，23:689 －701.

［4］Lisena B.Periodic solutions of logistic equations with time delay［J］.Applied Mathematics Letters，2007，20:1070 －1074.

［5］Li Y K.Periodic solutions of periodic delay Lotka-Volterra equations and systems［J］.Journal of Mathematical Analysis Applications，2001，255:260 －280.