向量似變分不等式的間隙函數的可微性和靈敏性

張 悅，劉學文，譚仁新

(重慶師范大學數學學院，重慶 400047)

設S是Rm中的閉凸點錐，且intS≠?，K是Rn中任意給定的非空緊子集，L Rn，R( )m是表示從Rn到Rm的所有線性連續(xù)算子的集合，映射F:Rn→L( Rn，Rm)，單值映射η:K×K→Rn。向量似變分不等式問題(VVLI)就是求 x∈K，使得對任意的 y∈K，有〈F(x)，η(x，y)〉? －S{0Rm}。弱向量似變分不等式問題(WVVLI)就是:求 x∈K，使得對任意的 y∈K，有〈F(x)，η(x，y)〉? －intS。

本文令η(x，y)=t(x)－t(y)，其中t:K→Rn單值映射，則(VVLI)問題變?yōu)?求x∈K，使得對任意的y∈K，有〈F(x)，t(x)－t(y)〉? －S{0Rm}，即(VVLI)*;求x∈K，使得對任意的y∈K，有〈F(x)，t(x)－t(y)〉? －intS，即(WVVLI)*問題。

當t是恒等映射，即對任意的x∈K，有t(x)=x，則(VVLI)*和(WVVLI)*就退化為一般的向量變分不等式和弱向量變分步等式，因此它們分別是向量變分不等式和弱向量變分不等式中更廣的形式。

1 基本知識

假設L Rn，R( )m是從Rn到Rm的所有線性連續(xù)算子的集合。對任意A∈L Rn，R( )m，A的模為

Rn是有限維空間，那么L Rn，R( )m也是有限維Banach空間。

定義1［1］稱向量值函數 F:K→L Rn，R( )m在 x0處 Frechet可微，如果存在一個線性連續(xù)算子Ψ:Rn→L Rn，R( )m，使得:

則稱Ψ為F在x0處的導數，記為▽F( x0)。如果對任意的x∈K，F(xiàn)在x處都可微，則稱F在K上Frechet可微。

定義2［2－3］設 C 是 Rn中的非空子集，令，則:

定義3［4］設C是Rn中的非空子集，向量值函數Φ:Rn→Rm。

注1 如果Φ:Rn→Rn是恒等映射，即Φ(x)=x，?x∈Rn，則C在處的Φ－相依錐就是C在處的相依錐，可見Φ－相依錐可看成是相依錐的推廣。同理，Φ－鄰接錐可以看成是鄰接錐的推廣。

命題1［4］設C是Rn的非空子集，向量值函數Φ:Rn→Rm在∈C處連續(xù)可微，如果，則

命題2［4］設C是Rn的非空緊子集，向量值函數Φ:Rn→Rm連續(xù)。令

定義4［2］稱graphG為集值映射G:Rn→2Rm的圖，如果

定義5［2］設，集值映射定義如下:

注2 由定義5可知:對任意的，當且僅當存在序列 { hn}?R+{0}:hn→0，{ ( xn，yn)}?Rn×Rm:(xn，yn)→(x，y)使得對任意的

引理1［5］設序列{αn}?R+:αn→0，{βn}?R+{0}:βn→0，則分別存在{αn}、{ βn}的子列 { αni}、使得

定義6［5］設S?Rm是閉凸點錐，A?Rm，記MaxSA和MaxintSA分別為A的極大點和弱極大點的集合，其中

1)對任意的a∈MaxSA，當且僅當a∈A，且不存在a*∈A，使得a*－a∈S{0Rm} 。

2)對任意的a∈MaxintSA，當且僅當a∈A，且不存在a*∈A，使得 a*－a∈intS。

定義7［6］稱S的子集B是S的基，如果0Rm?B，且對任意的d∈S，d≠0Rm可唯一表示成d=?b，其中?＞0，b∈B。

引理2［7］設A是Rm中的非空緊子集，S是Rm中的閉凸點錐，且intS≠?，則

2 集值映射G(x)的可微性

設K是Rn中的緊子集，F(xiàn):Rn→L Rn，R( )m連續(xù)Frechet可微，t:K→Rn連續(xù)可微，設集值映射

下面將討論G(x)的可微性。

定理1設，且，則對任意的，有定義

證明假設，由定義5 知對任意的，存在序列 { hn}?R+{0}:hn→0，，{ ( xn，yn)}?Rn×Rm:(xn，yn)→(x，y)，使得對任意的 n，有

又由F連續(xù)Frechet可微，則可得F的Taylor展式為

又由式(3)可得

由式(4)可得

由式(5)得

情況1假設存在子列使得，根據假設條件知:，與式(7)矛盾。

情況2 假設存在M＞0，使得對任意的n有

因為hn→0，而t連續(xù)，故由式(8)可知只有

由于Rn是有限維空間，故可設，有定義知z∈Tt(K，ˉx)，又根據式(6)和(9)可得

即

取序列 { xn}?Rn，{ yn}?Rm，使得 xn→x，令

則yn→y且

3 (VVLI)*與(WVVLI)*間隙函數的可微性與靈敏性

定義8 設S是Rm中的閉凸點錐，且intS≠?，集值映射N:Rn→2Rm是向量似變分不等式(VVLI)*的間隙函數，如果

定義9 設S是Rm中的閉凸點錐，且intS≠?。集值映射W:Rn→2Rm是向量似變分不等式(WVVLI)*的間隙函數，如果

命題3 設S是Rm中的閉凸點錐，且intS≠?，

1)集值映射N:Rn→2Rm，N(x):=MaxS[F(x)，t(x)－t(K)]，x∈K，則N(x)是(VVLI)*的間隙函數;

2)設集值映射 W:Rn→2Rm，W(x):=MaxintS[F(x)，t(x)－t(K)]，x∈K，則 W(x)是(WVVLI)*的間隙函數。

證明

對于2)的證明與1)類似，只需將S和MaxS分別換成是intS和MaxintS即可。

定理2設，且，則對任意的，有

證明假設，顯然有如果，則根據極大元的定義，存在，使得

F連續(xù)Frechet可微，則可得F的Taylor展式

由式(12)、(13)，有

令

由式(11)、(14)有

定理3設，且

證明因為N(x)?W(x)，故由定理2可知結論成立。

引理3 設，且，則對任意的，有

其中(G－S)(x)=G(x)－S。

證明顯然

如果d≠0Rm，則與矛盾。故d=0Rm，即dn→0Rm。對 d{ }n分2種情況討論。

情況1 存在 n0，使得當 n≥n0時，dn=0Rm，則

情況2 存在 { d }的子列 { d }，不妨仍記為 { d }，滿足 d≠0，?n，則有界，否則

nninnRm無界。不妨設，于是S有一個緊基，再由文獻［8］中的引理3.1有

反之，由命題1［15］可知

定理4 設，如果，則對任意的，有

證明由引理3得，所以

4 (VVLI)*與(WVVLI)*的最優(yōu)性條件

定理5 假設下面條件成立:

證明因為N(x)?G(x)，所以，又由條件3)可得{0Rm}。K是緊集，所以t(K)是緊集，對任意固定的x∈K，所以G(x)也是緊集。因此由引理2有G(x)－S=N(x)－S。

由定理4有

引理4［6］設S有一個基是一個非空閉凸錐，且，則也有一個基。

定理6假設下面的條件:

成立，則?x∈Dom(DN(^x，^y));，

證明由N(x)?W(x)和定理4，只需證明

K是緊集，對任意固定的x∈K，有t(K)是緊集，所以G(x)也是緊集。由引理2有，再由定理 3 有

推論1 假設下面的條件:

證明由定理2和定理5直接可得結論成立。

定理7設，如果是(WVVLI)*的解，則

證明設是(WVVLI)*的解，則對任意的

定理8 假設下面的條件:

證明是(WVVLI)*的解，0Rm∈MaxSG(x)，由定理7知

再由推論1知結論成立。

定理9 假設下面的條件:

2)存在閉凸錐 ?S，滿足 ?S

主站蜘蛛池模板： 成人国产精品2021| 国产欧美另类| 九月婷婷亚洲综合在线| a天堂视频| 国产精品99久久久| 午夜人性色福利无码视频在线观看| 久久精品亚洲专区| 麻豆精品在线| 日韩欧美在线观看| 久久99国产综合精品1| 久久99这里精品8国产| 亚洲成人在线网| 日本成人一区| 3p叠罗汉国产精品久久| 真实国产乱子伦高清| 欧美日韩国产成人高清视频| 99久久亚洲综合精品TS| 无码免费的亚洲视频| 国国产a国产片免费麻豆| 久久综合伊人 六十路| 天天躁夜夜躁狠狠躁图片| 午夜福利视频一区| 99久久精品美女高潮喷水| 91无码人妻精品一区二区蜜桃| 五月激激激综合网色播免费| 在线观看国产精美视频| 国产无码网站在线观看| 青草午夜精品视频在线观看| 亚洲综合精品第一页| 免费无遮挡AV| 国产乱子伦精品视频| 亚洲欧美不卡视频| 91po国产在线精品免费观看| 在线精品视频成人网| 九九视频免费在线观看| 麻豆国产原创视频在线播放| 99国产精品一区二区| 热思思久久免费视频| 伊人色在线视频| 欧美无专区| 国产精品漂亮美女在线观看| 毛片手机在线看| 亚洲福利一区二区三区| 51国产偷自视频区视频手机观看| 国产成人你懂的在线观看| 国产黄色免费看| 波多野结衣无码视频在线观看| 国产精品大白天新婚身材| 91无码人妻精品一区| 婷婷丁香在线观看| 综合社区亚洲熟妇p| 粉嫩国产白浆在线观看| 午夜国产大片免费观看| 日韩精品一区二区三区中文无码| 无码专区第一页| 免费无码网站| 97狠狠操| 国内精品自在欧美一区| 第一页亚洲| 永久免费AⅤ无码网站在线观看| 自偷自拍三级全三级视频| 在线欧美日韩| 亚洲男人在线| 亚洲成人黄色在线| 婷婷六月在线| 亚洲最大综合网| 国产精品永久久久久| 国产成人免费| 国产91特黄特色A级毛片| 波多野结衣无码AV在线| 国产成本人片免费a∨短片| 人妻无码一区二区视频| 免费女人18毛片a级毛片视频| 国产在线精品香蕉麻豆| 国产91av在线| www.精品视频| 久久亚洲国产最新网站| 小13箩利洗澡无码视频免费网站| 亚洲精品国产首次亮相| 国产精品九九视频| 亚洲国产精品一区二区高清无码久久| 亚洲日韩精品欧美中文字幕|