重力對具有表面層的半空間中Rayleigh波的影響

壽 旋，夏唐代

(1.浙江大學 軟弱土與環境土工教育部重點實驗室，杭州 310027)2.浙江大學 巖土工程研究所，杭州 310027)

Rayleigh波是由非均勻的平面P波和平面SV波干涉疊加而成的一種面波，由Rayleigh在1887年首先發現，Rayleigh波在地震學，地球物理學和巖土工程等領域有著重要的價值，并且取得了廣泛的研究成果［1－4］，特別是在勘察領域，由于表面波探測法具有效率高、無破損和費用低等優點且避免了室內試驗由于取樣導致的試樣應力釋放和擾動等缺點，因而在工程物探和地球物探等方面得到了廣泛的應用，但是在這些研究和應用中一般忽略了重力的影響，然而在實際應用表面波法進行原位測試時重力的影響是不可避免的，因此研究重力對Rayleigh波的影響具有很大的理論和實際應用價值。

Bromwich［5］最先研究了重力對Rayleigh波的影響，在研究中Bromwich把重力作為一種體力，并假設介質為不可壓縮。LOVE［6］研究了重力對表面波的影響，也把重力作為一種體力，并且通過簡化分析指出了當波長足夠大時重力對Rayleigh波速存在較為明顯的影響。Biot［7］利用應力增量理論研究了重力對 Rayleigh波的影響，De 和 Sengupta［8，9］，Datta［10］利用 Biot的基本方程和假設也進行了相應的研究。Dey和Sengupta［11］得到了橫觀各向同性介質在重力影響下Rayleigh波的波速方程，這些研究中介質都是單層且均勻的。關于重力對具有表面層的半空間中Rayleigh波的影響則至今未見研究報道，由于地殼一般為非均質的，因此研究重力對分層介質中Rayleigh波的影響具有重要意義，也更加符合實際情況。

本文從Biot的基本方程出發得出了重力影響下具有表面層的半空間介質中Rayleigh波的彌散方程，然后通過數值計算的方法分析了泊松比和層的厚度對考慮了重力作用的Rayleigh波的影響。

1 基本方程

考慮M、M'兩種均勻各向同性彈性固體介質，其中M'為半無限空間，而M為位于M'上方厚度為H的層狀介質，兩者在交界面處位移和應力連續。具體模型如圖1所示。

圖1 坐標系及幾何尺寸示意圖Fig.1 Coordinate system and schematics

本文只考慮沿x1方向傳播的Rayleigh波，為平面波，因此非零位移分量為 u1和 u2，且 u1，u3僅由x1，x3以及時間t決定。平面應變問題的運動微分方程為［7］:

式中g為重力加速度，ρ為介質的密度。

引入勢函數φ和ψ，它們與位移分量u1，u2之間的關系為:

把式(2)，式(3)代入式(1)得:

式中:

2 方程的求解

2.1 表面層中的勢函數解

由于φ，ψ為表面波的勢函數，因此方程(4)的解可以表示為如下形式:

把式(5)代入式(4)可得:

上式系數間有如下關系:

±η1，±η2為如下方程的根:

2.2 半空間中的勢函數解

這里約定帶上標“'”的量為M'中的量，由于M'介質為半空間，因此φ'，ψ'在x3→∞時必須趨向于無窮小，與表面層中的解類似φ'，ψ'可分別寫成如下形式:

式中:η'1，η'2為如下方程的正實數根:

2.3 邊界條件及彌散方程

(1)x3=－H處為自由表面，因此:

s13=s33=0，x3= －H 時。

(2)x3=0處兩側應力與位移連續，因此

u1=u'1，u2=u'2，x3=0 時。

s13=s'13，s33=s'33，x3=0 時。

由邊界條件結合式(6)、式(9)可得:

式中:

要使式(11)中 A1，B1，C1，D1，B'1，D'1有非零解下式必須成立

式(13)即為在重力影響下具有表面層的半空間中Rayleigh波的彌散方程，顯然Rayleigh波的波速除了受到介質本身物理參數和幾何參數的影響外還受到了重力的影響。

特別的，當忽略重力的影響，即g→0，則可以得到:

與此同時，α1→0，α2→∞，α'1→0，α'2→∞

因此:

由式(14)，式(15)可知式(13)將轉化為與Ewing等人得到的方程［1］完全等價的形式。

3 數值計算

由于式(13)所對應的方程是一個超越方程，因此一般情況下不能得到Rayleigh波波速關于頻率的解析表達式，但是在給定了適當的物理參數以及幾何參數之后，利用數值方法可以得到Rayleigh波在重力影響下的彌散曲線，以及各參數的影響。本文數值計算時采用了MATLAB軟件。

3.1 泊松比的影響

設介質M及M'的物理、幾何參數如下式所示:

式中μ，μ'分別為介質M及M'的泊松比。

圖2 μ=μ'=0.2時的彌散曲線對比圖Fig.2 Comparison chart of dispersion curves for μ = μ '=0.2

圖3 μ=μ'=0.33時的彌散曲線Fig.3 Comparison chart of dispersion curves for μ = μ '=0.33

圖4 μ=μ'=0.46時的彌散曲線Fig.4 Comparison chart of dispersion curves for μ = μ '=0.46

圖2為泊松比等于0.2時，考慮重力影響與忽略重力影響情況下的Rayleigh波彌散曲線的對比圖，由圖中可知當泊松比為0.2時重力使Rayleigh波的波速在同波長條件下比忽略重力時小，變化趨勢為在波長較小時這種影響也較小，隨著波長的增大重力的影響也逐漸增大。圖3為泊松比等于0.33時考慮重力影響與忽略重力影響情況下的Rayleigh波彌散曲線的對比圖，由圖中可以看出此時重力對Rayleigh波彌散曲線影響很小。圖4為泊松比等于0.46時，考慮重力影響與忽略重力影響情況下的Rayleigh波彌散曲線的對比圖，由圖可知當泊松比為0.46時在重力影響下同波長的Rayleigh波波速比忽略重力時大，與泊松比為0.2時類似，其影響也隨波長的增大而增大。由計算可得當泊松比為0.2，波長為6000 m時，考慮了重力影響的Rayleigh波波速比忽略重力影響時減小了2.4%，而當泊松比為0.46，波長為6000 m時，考慮了重力影響的Rayleigh波波速比忽略重力影響時增加了1.7%，因此在地球物探，地震工程等大尺度領域忽略重力對Rayleigh波波速的影響將產生較大誤差，而對于工程物探等方面由于一般探測深度較小重力的影響可以忽略。綜上所述泊松比對重力作用下Rayleigh波彌散曲線有重要影響，即泊松比不同時重力對Rayleigh波波速的影響結果也不同。

3.2 表面層厚度的影響

設介質M及M'的物理、幾何參數如下式所示:

圖5，圖6分別為表面層厚度H為50 m和100 m時的Rayleigh波彌散曲線的對比圖，結合圖2可知，H由10 m增大到50 m及100 m時在重力影響下的Rayleigh波彌散曲線發生了明顯變化，且在同波長的條件下重力對彌散曲線的影響也隨H的增大而變得更加明顯。圖7為無量綱化后H為10 m，50 m和100 m時的Rayleigh波彌散曲線的對比圖，由圖中可以看出忽略重力的情況下這三條彌散曲線完全重合，而在考慮重力的影響后彌散曲線并不重合，并且在波長層厚比相同的情況下，層厚較大者波速較小，即受重力影響較大，這主要是由于相同波長層厚比時層厚大的所對應的波長也大。可見，表面層的厚度對重力影響下的Rayleigh波彌散曲線有明顯影響，并且變化規律與不考慮重力時有明顯不同。

圖5 H=50 m時的彌散曲線Fig.5 Comparison chart of dispersion curves for H=50 m

圖6 H=100 m時的彌散曲線Fig.6 Comparison chart of dispersion curves forH=100 m

圖7 H=10 m，50 m，100 m 時Fig.7 Comp的ari無son量 c綱ha化rt 彌of 散no曲ndi線mensionalized dispersion curves for H=10 m，50 m，100 m respectively

4 結論

本文研究了重力影響下具有表面層的半空間中的Rayleigh波的影響，得到了在此情況下的Rayleigh波彌散方程，并且通過數值方法得到了不同情況下的彌散曲線，通過分析得到了如下結論:

(1)當忽略重力影響時文中所得出的Rayleigh波彌散方程將與經典情況下的方程一致;

(2)泊松比對重力作用下Rayleigh波彌散曲線有重要影響，泊松比較小時重力使Rayleigh波的波速減小，泊松比較大時重力使Rayleigh波的波速增大;

(3)重力對Rayleigh波波速的影響隨波長的增大而增大，地球物探，地震工程等大尺度領域忽略重力對Rayleigh波波速的影響將產生較大誤差，而對于工程物探等方面重力的影響可以忽略;

(4)無量綱化后不同表面層厚度所對應的彌散曲線互不重合，這與不考慮重力時有明顯不同。

以上研究內容初步揭示了重力對Rayleigh波彌散曲線的影響規律，對面波法的應用具有重要的理論和參考價值。

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