氣動隔振系統非線性特性仿真與數值分析

鐘艷春，楊慶俊，包 鋼

(哈爾濱工業大學 機電工程學院，哈爾濱 150001)

氣動隔振系統承載力大、有效行程大、隔振效果優異，廣泛應用在儀器平臺、光學平臺、精密加工與檢測、艦船動力設備隔振、車輛懸掛等的振動隔離［1－4］。由于非線性微分動力系統的復雜性，空氣彈簧的彈性恢復力非線性對隔振系統特性的影響沒有同時得到適當的研究，絕大多數的設計、研究都以隔振系統工作在微幅振動的條件下進行線性化，氣動被動隔振系統常被簡化為由空氣彈簧的彈性、阻尼器的阻尼以及被隔載荷的質量形成的彈簧－阻尼－質量系統，大振幅條件下空氣彈簧非線性的影響則簡化為彈簧剛度系數和自振頻率的變化［5－6］。在主動控制中，大多也沿用這種線性模型［7］。這樣的處理對于處于微幅振動的系統來說是適當的，但是對于大振動幅度的應用，線性模型不再有效。在Koyanagi等［8］的研究中指出車輛空氣懸架振動隔離具有較強的非線性，不僅使精確設計隔振特性十分困難，而且是引起車輛連續橫滾的主要原因。

近年來逐漸有學者開始了氣動隔振系統的非線性研究，Philips公司的 Marcel Heertjes［9］研究了氣體壓縮的非線性對傳遞率和導納的影響。陳帥，溫金鵬等［10－11］應用能量方程，運動學方程、理想氣體方程，建立了彈性織布氣囊的緩沖動力學模型。方瑞華［12］將氣體壓縮性的非線性按泰勒展開為三次多項式后，求解了其二倍頻響應，并在模型試驗中清楚地發現了倍頻響應和零偏。尹萬建［13］用3次多項式擬合膜式空氣彈簧的實測彈性非線性，研究汽車空氣彈簧懸架的非線性動力學行為，發現了倍頻、分頻等非線性現象，以及這些現象與非線性彈性多項式的系數的關系 。然而，這些研究都將氣動隔振系統的非線性表示成多項式的形式，這可能和實際的模型有一定差別，本文從基本的方程入手，對氣動隔振系統非線性特性進行了仿真與數值分析。

1 系統模型

系統模型建立

為了方便起見，本文選用簡單的單腔氣彈簧對其進行非線性特性分析，其物理模型簡單表示如圖1。

圖1 氣動隔振系統模型簡圖Fig.1 Schematic diagram of the neumatic vibration isolation system

本文將氣彈簧的機械彈簧剛度(如波紋管式氣彈簧中波紋管的縱向剛度、囊式氣彈簧橡膠及簾線形成的縱向剛度等)單獨列出，并設為k，內阻尼系數為c(設為線性粘性阻尼力)，則載荷運動動力學方程為:

式中:p為氣腔內壓力，p0為大氣壓力，A為氣體有效作用面積，m為載荷質量，x為載荷振動，xb為基座振動。

設腔內空氣為理想狀態氣體，其氣體狀態方程為:

式中:V0為氣彈簧初始容積，A2為氣彈簧容積面積，mg為氣腔內氣體質量，R為空氣氣體常數，T為腔內氣體溫度。

氣體熱力學方程:

式中，hn為筒壁與腔內氣體之間熱交換系數，Tw為筒壁溫度，Cv為空氣比熱。

筒壁熱力學方程:

式中，hw為筒壁與腔外氣體之間熱交換系數，Ta為腔外氣體溫度，mt為筒壁質量，Ct為筒壁比熱。

2 系統簡諧激勵頻譜分析

以上動態方程可以看出，這是一個具有一定非線性的系統。根據以上各方程，利用Matlab軟件對模型進行了仿真分析，仿真結果對于以后的數學分析及實驗具有很好的指導意義。各參量選取如表1所示。

表1 算例系統計算參數Tab.1 Parameters of example vibration isolation system

仿真模型中激勵幅度為0.025 m，初始壓力為0.3 MPa，仿真時間取1500 s，此時系統已處于穩態。激勵頻率 ω'依次選 1 rad/s，10 rad/s，20 rad/s，50 rad/s，100 rad/s，300 rad/s。其響應頻譜依次如圖2(a～f)所示。

圖2 不同激勵頻率響應幅值譜Fig.2 Amplitude spectrum under different excited vibration frequency

從以上各圖中分析可以看出:單頻激勵會誘發高次諧波，且具有較高的幅度。高次諧波的幅度隨激勵頻率的變化而變化:當激勵頻率很低時，高次諧波幅度小，激勵頻率越低，高次諧波越小(如圖2a，b);當激勵頻率很高時，高次諧波幅度小，激勵頻率越高，高次諧波越小(如圖2e，f);激勵頻率為中間頻率，即系統線性化固有頻率附近時，高次諧波嚴重，甚至要5、6次諧波才衰減到主峰的1%以下(如圖2c，d)。

由于系統的非線性，導致振動中心點偏移，為了解偏移的規律性，圖3列出了在不同激勵幅值下系統零頻偏移隨頻率變化的曲線。激勵幅度取值范圍為:0.0025 m ～0.06 m。

從圖3中可以看出，零頻偏移隨頻率變化明顯，低頻和高頻時，零頻偏移很小，中頻段零頻偏移大;其值也隨激勵幅度變化而變化，激勵幅值越大，零頻偏移越大。圖4為不同激勵幅度下，系統基頻振幅隨頻率變化響應曲線。

從圖4可以看出，系統在低頻時，非線性特性不明顯，基頻響應跟隨激勵幅值，中頻段非線性現象明顯，尤其在共振頻率14 rad/s附近，基頻響應峰值很高，在高頻段系統隔振效果比較好，幅值衰減得很快。

不同激勵幅度下，基頻能量占系統總能量的比值見圖5所示。

從圖5中可以看出，系統在低頻和高頻段，基頻能量占系統總能量的比值接近1，在中頻段能量分布比較分散，共振頻率14 rad/s附近，激勵幅值為0.06 mm時，基頻能量占系統總能量的比值為0.98。不同激勵幅度下，系統的一倍頻幅值響應曲線如圖6所示。

圖3 零頻偏移曲線Fig.3 Displacement at zero frequency

圖4 基頻幅值響應曲線Fig.4 Amplitude response at fundamental frequency

圖5 基頻能量曲線Fig.5 Energy at fundamental frequency

圖6 一倍頻幅值響應曲線Fig.6 Amplitude response at one octave

和基頻幅值響應不同，在低頻時，系統一倍頻響應小。在系統線性化固有頻率14 rad/s附近，激勵幅值為0.06 mm 時，共振峰達到 0.01 m。

不同激勵幅度下，一倍頻能量占系統總能量的比值見圖7所示。

一倍頻能量占系統總能量在系統線性化固有頻率14 rad/s附近達到最大值，激勵幅值為0.06 mm時，比值為0.005，并且隨激勵幅值的增大而變大。

圖7 一倍頻能量曲線Fig.7 Energy at one octave

3 數值計算

假設基座的運動為:

對載荷響應的頻譜分析表明，穩態解中除激勵頻率成分外，還包含有零頻分量，即偏移、包含有1/2分頻、包含倍頻、包含3/2、5/2等頻率成分。以該仿真結果為指引，假設系統的狀態變量p、x、Tw和T均包含零頻分量和1/2分頻及其各次倍數分量，即:

將式(5)～式(7)代入方程(1)，得:

該方程為線性方程，令對應項系數相等，可得:

特別地，當i=0時有:

當i=2時有:

將式(5)～式(8)代入方程(2)，得:

為方便起見，將V0合并到XB0中并仍記為XB0，將－A0合并到 XA2中并仍記為XA2。將左邊交叉相乘，將以上各項中的系數合并，并令其等于方程右端對應項系數，則:

特別地，當i=j=0時有:

k=0的左端與k=1、2、3等相比少一項，這是因為此時第二項與第三項屬于重復計算，只應保留一項。

記:

則方程(15)、(16)、(17)可化為:

將式(5)～式(9)代入方程(3)，得:

為書寫簡便起見，將方程中左端的ωA0cosωt合并到中，方程左端交叉相乘，將各項中的系數合并，并令其等于方程右端對應項系數，則:

特別地，當i=j=1時有:

則方程(20)、(21)、(22)可化為:

將式(6)～式(9)代入方程(4)，得:

令對應項系數相等，得:

方程(25)可化為:

以上公式求解可用迭代法，通過計算機編程進行計算，其計算步聚按圖8的流程進行。

4 算例分析

為了驗證本迭代計算方法的可行性，下面對該方法進行算例分析。本算例源自某型車輛隔振，氣動隔振器具有大行程，大功率重量比，無污染等優點，在豪華客車、載貨汽車和高級轎車上得到越來越廣泛的應用。本文所選參數為單個隔振器按比例所得，其值見表1所示。

必須說明的是，本迭代法中迭代結果與初始假設解中的項數有關，所取項數越多其解越精確，這與諧波平衡法的基本思想是一致的。該項數的取值與頻率有關，從上面的仿真結果可知，在中頻段，即系統線性化固有頻率附近時，其非線性特性比較明顯，亦即其倍/分頻項比較多，所以在中頻段時所取的項數要多些，其結果才會更精確;反之在低頻和高頻段時，系統表現出來的倍/分頻分量相對要少，為了使計算簡便，初始假設解中的項數可以相應取得少些。本算例中激勵幅值取為0.025 m，激勵頻率取為20 rad/s，處于中頻段比較靠近系統線性化固有頻率，在其激勵下，系統非線性現象比較明顯，具有很好的典型性。初始假設解中的項數取10，用本迭代法進行了迭代，其迭代所得系數結果見表2所示。

圖8 求解迭代流程Fig.8 Iteration flow chart

表2 系數計算結果Tab.2 Calculations of coefficients

從表2中可以看出，迭代系數中，相對偶數項系數來說基數項系數很小，即系統倍頻現象明顯，而分頻現象微弱，從仿真曲線圖2(c)中可以看出，響應頻譜中出現了 20 rad/s，40 rad/s，60 rad/s，80 rad/s，100 rad/s，120 rad/s等頻率，即其倍頻現象很明顯，和數值計算結果吻合性好。該數值計算結果和文獻［12］實驗所得結果也是一致的，文獻［12］試驗證明了空氣懸架非線性振動系統的輸出頻率不但是異頻輸出，即不同于激勵頻率，而且輸出頻率基本都是激勵頻率的整數倍，即有很明顯的倍頻現象。從表2還可以看出倍數越高，系數越小，這和圖5所得基頻能量占系統總能量的比值接近1吻合。

圖9 仿真與數值計算結果誤差曲線Fig.9 Error curve of the simulation and numerical calculation results

將表2所得系數代入式(6)中，即可得振動幅值隨時間變化曲線，圖9是數值計算與仿真結果的誤差曲線，圖中仿真時間從1497 s～1500 s，此時間段系統已完全處于穩定狀態。從圖中可以看出，二者吻合性很好，誤差很小，基本重合。

5 結論

本文建立了氣動隔振系統的非線性模型，在此基礎上對模型進行了仿真分析及數值計算。研究的主要結論有:

(1)系統具有很強的非線性特性，在單頻簡諧激勵作用下，系統會出現明顯的倍頻、分頻、零偏現象;

(2)系統在線性化固有頻率附近，倍/分頻、零偏現象明顯，其值隨激勵幅值的增大而增大;

(3)在諧波平衡法的基礎上，提出了一種可行的非線性數值解法，仿真與數值計算結果吻合性好，從而驗證了該數值計算方法的有效性。

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