小學估算教學的觀察與思考

王永鋒

一、教學困惑

【案例】考試的“困惑”

情境描述：

2002年某縣期末考試卷上有這樣的一道估算題：

51×29≈

閱卷時發現，學生的結果五花八門，具體答案有：①51×29≈1478 ②51×29≈1480 ③51×29≈1500 ④51×29≈1450 ⑤51×29≈1530 ⑥51×29=1479。其中，①②③三種答案居多。

對此，閱卷教師的意見不一。有人認為答案③④⑤都應該是對的。有人認為，依據參考答案，只有答案③正確，答案④⑤不是最好的。

困惑討論：

（1）答案⑥能算對嗎？（2）什么叫做答案不是最好的？答案的好與不好有什么標準?為什么會出現答案①②?經過一番訪談、分析、思考，我們終于明白了他們的想法，他們先算出51×29=1479，再用1479加上1或減去1得到。造成這樣結果的原因是什么?

二、一幅圖的啟示

從圖中讓我們認識到：學習數學和學會計算是什么關系?在數學教育中，是把計算當成目標，還是把計算當做工具，需要我們從更高層面來思考并定位。估算、使用計算器、使用計算機三個新途徑出現，促使我重新思考計算教學的價值與意義。

我們應該把計算放在數學體系之中，讓學生明白，他們什么時候需要計算，為什么要計算，選擇什么方法進行計算，他們需要精確答案還是近似答案。學生就會將計算作為解決問題的一個組成部分，把計算與實際問題情境聯系起來。

這幅圖讓我們認識到估算在計算中應有的地位。估算與精算是計算的兩種基本形式，估算不是附屬于精算的，它可以獨立存在。同時，估算貫穿于精算（筆算、使用計算器、使用計算機）產生精確答案的過程之中，以便預見利用筆算、使用計算器、使用計算機所得到的計算結果的合理性（是否在正確結果的范圍內）。

這幅圖讓我們認識到計算內部各種形式之間的關系，以及計算教學在數學學習中的地位。當然，更讓我們對估算另眼相看。

三、我們尋找怎樣的出路

1.重新認識估算在計算教學中的地位

生活中，有時需要一個精確的結果，有時只需要一個大概的結果，這就需要用到精算或估算，但什么時候用精算，什么時候用估算，必須讓學生感受到各自不同的 作用。學生在大量的精算影響下，精算的意識強于估算。面對現實的問題情境時，學生會在一種無意識狀態下首先調用精確計算來解決問題。面對這樣的現狀，相對于培養學生而言，在怎樣的情境下、選擇什么估算策略，這樣的意識就至關重要。作為教師要抉擇估算教學需要教什么?或者說如何培養學生的估算意識?我們認為：估算意識是指學生運用估算手段解決一些實際問題（日常生活情境問題、純算式問題）的意識與方法。主要包括：①面對實際問題確定在什么情況下需要精算，什么情況下需要估算；②在需要估算的時候，能合理地選擇某一種估算策略解決問題，并對結果的合理性作出解釋。

（1）在怎樣的情境下需要估算

在日常生活中，由于條件的限制，人們常常無法（有時也沒必要）進行精確的計算和判斷，這時只需采用估算。如購物吃飯，要估算價格；行車走路，要估算時間；出差旅游，要估算路程；投資經商，要估算成本、利潤等。然而，相對于課堂教學，估算教學是一個新內容，我們沒有太多的經驗積累。我們大家內心都承認估算在生活中的應用價值，承認在生活中估算比精算用得還多，可是真正好的例子，能夠在課堂中讓學生理解估算的意義、估算策略多樣化的例子就太少了。這讓我想起一句話“一般的方法不一定能簡便，簡便的方法一定有局限性”。我們試圖拉大背景探討困惑。在什么情況下需要使用估算?當前的數學課堂教學中，學生往往在看到“大約、左右”字眼時才用估算。使用估算的情況主要有以下三種：

①已知的數據不精確。在第一學段，有些無法進行精算的情景，只有運用估算。如北師大版（2004年版）三年級上冊第38頁實踐活動，估計“一千克黃豆大約有多少粒?”就比較容易創設情景引導學生進行估算。

②計算中使用簡化的近似公式，或者約簡計算過程。例如，李阿姨在商店挑選了兩袋米、一塊牛肉、一些蔬菜和魚，售貨員告訴她：每袋米35.4元，一塊牛肉14.8元，蔬菜和魚分別為6.7元和12.8元。李阿姨帶了100元，夠嗎？又如269.9×7.1大約是多少？ + 比1大嗎？

③忽略次要因素或數據。在這種情況下，計算的結果一般是近似值，誤差的大小取決于估算的方法，而誤差的允許范圍則取決于問題的實際背景和特定要求。

（2）在怎樣的情境下運用怎樣的估算策略

根據我們的文獻綜述研究表明，估算策略呈現多樣化。徐群飛（2004）在其碩士論文中，按問題類型對學生所用的估算策略加以歸納。具體包括：①整數運算題的估算策略主要有取整估算、取平均值估算、口訣估算法、數位估算法和利用標準算法估算。其中取整估算主要包括以下幾種：四舍五入法、保留最高位法（截斷法）、增減平衡法、省略尾數法。②分數（百分數）題的估算策略主要有取整估算、化成小數估算、利用性質估算法、引入中間量進行估算。③小數題的估算策略主要有取整估算、化成其他更容易計算的小數或分數再估算、利用性質估算法或利用標準算法估算。然而，當前眾多的研究表明，小學生在選擇估算策略時，最常用的是四舍五入法、取整法、取平均值法，而且學生習慣于對整數估算，對小數、分數的估算相對弱一些。

估算策略的選擇主要取決于：取整。在運算中決定如何取整依賴于所涉及的具體數字和使用的運算法則以及問題的實際情景。例如，下面的例子就涉及多種不同情況的估算，在不同情況下分別選擇哪種估算方法，需要具備一定的策略。

爸爸想買以下兩件商品：皮鞋387元、西服525元。

（1）購買前估計，帶1000元夠不夠?（估算，保留最高位法）

（2）付款前估計，大約需要幾百元?（估算，可用四舍五入法）

（3）收銀員收款，一共需要多少元?（精算）

（4）購物800元以上可抽獎一次，能否抽獎?（估算，省略尾數法）

估算策略的靈活運用是難以教會的，必須讓學生在各種具體情境中逐步體驗、感悟。我們教師要在不同的場合給學生提供估算的機會（不單是在估算內容教學時強調）。當然，主要的估算策略，我們設置專門的估算課進行學習。

當前我們欠缺的是對問題背景的理解和研究。重要的是應讓學生明白什么時候估算是合理的,如何根據形勢和環境來確定精確度,如何提取主要因素，哪些數據可以忽略不計

等。還應讓學生明白精確并不總是比近似好，有時精確是不可能的，甚至是荒謬的。在這里，我們教師自身也要作出深刻的反思，我們對估算了解多少?對于估算我們知道些什么?我們知道估算的意義嗎?估算有哪些教學策略?自身具備估算的本體性知識（如離散量和連續量、絕對誤差和相對誤差）嗎?我們對估算教學的態度和筆算教學一樣嗎?估算作為一種教學內容上的新生事物,我們要去接納它、去認識它、去理解它。在這個過程中，我們不能守望于教材，我們要不斷積累教學經驗，去借鑒專家的研究，運用理論的導向去探索估算教學的好案例。當我們真正感悟到估算的價值時，我們才會培養學生進行估算的意識。事實上，在生活中是否使用估算往往不是能力問題，而主要是意識和習慣的問題。

2.進行估算的基礎有哪些

學生得到估算值時的一個基本觀念就是靈活地運用取整策略將困難的運算變成相對容易的可以心算或只需要少量筆算的過程。要實現這樣的目標，就需要學生熟記基本運算，能對整十數和十的倍數進行在可視范圍內的運算，以及知道不同運算法則對數字的不同影響。

（1）熟練掌握數的基本運算。數的基本運算是100以內的加減乘除運算。我國現行《數學課程標準》在第三部分內容標準中對數的運算作出具體界定。數的基本運算以第一段（1~3年級）內容為主。具體包括：熟練地口算20以內的加減法和表內乘除法，能口算百以內的加減法和一位數乘除兩位數；能計算三位數的加減法，一位數乘三位數、兩位數乘兩位數的乘法，三位數除以一位數的除法（主要以整十整百整千數為主）；能比較一位小數的大小，能比較同分母分數（分母小于10）的大小；會進行同分母分數（分母小于10）的加減運算以及一位小數的加減運算。另外，包括第二段（4~6年級）的內容，探索并了解運算律，會應用運算律進行簡便運算；能分別進行簡單的小數、分數（不含帶分數）加、減、乘、除運算及混合運算；另外，還有一些特殊速算，如25×4、125×8。這些數的基本運算的數學結構并不多。我們在整理分析過程中發現這些要求中有很多涉及0、1、2并借助運算的一些屬性。這就要求學生在學習這些基本運算時，既要關注練習的量，使其達到“熟能生巧”，又要強調學生對這些基本運算的領悟、理解，使其能“靈活運用”。我們的教學經驗提醒我們，在運算教學中我們過分強調運算的程序性（如筆算時的一些計算方法），而忽視學生在運算中的靈活性與變換性。筆者曾做過一些日常調查，如124÷0．5與124×2兩類題哪類計算簡單?學生普遍不能轉化為一類解決。因此，在學生進行練習時，教師要有意識地引導學生進行比較，去感悟運算內部的聯系。

（2）加強學生在可視范圍內的計算。可視范圍內的計算，是指在數的運算中不需要使用筆算或計算器能快速、正確得出答案的計算。許多計算都能通過運用數位思想、基本運算、分數或小數或百分數的恒等形式和運算特性作出快速反應。如8000+3000、2300-600、500×30、6300÷900、0．75+0．25、0．6×70、57．6÷100、10÷2．5、9- 、6÷ 、420的50％等等。這些計算能為估算運算中的策略選擇提供思考支點。

（3）強調學生對運算法則的理解。為估算選擇合理的策略與估算值需要理解運算基本規律的意義以及對數字的影響。運算基本規律就是加法交換律、乘法交換律、加法結合律、乘法結合律以及乘法對加法的分配律。小學階段形形色色的恒等式，歸根結底都是從這五條基本規律中推出來的。在此基礎上，學生要對加、減、乘、除有整體與具體的理解。

在四年級以前的學習中，學生會不自覺地形成一種整體影響——“加法、乘法運算能使運算結果變得越來越大，減法、除法則是相反”。當引進小數與分數后，這種整體認識會被純小數、純分數打破。我們需要啟發學生去挖掘數的內部結構以及數與數之間的關系。當學生把握這些數的內部結構與關系后，會把15× 這個算式理解為“15的五分之一”，這樣就會通過15÷5，快速得到答案。而19÷0．5這個算式，則口算的結果就是19×2=38。

學生在運算中正確理解和使用補償、變換規則是非常重要的。在使用補償、變換規則的基本原理是和、差、積、商的變化規律。如果給一個加數加上多少，再給另一個加數減去多 少，和是不變的，如43+57=50+50。這種變化規律在減、乘、除也有各自的特性，如，73-18=75-20，12 ×16=25×8，0．56÷0．08=56÷8。另外，我們要注意數值大小對加減、乘除運算的影響。如千位數加上一個十位數，結果不會發生大的變化。但千位數乘十位卻會得到一個萬位數或十萬位數。千位數除以十位數會得到一個百位數。當涉及分數、小數更要注意，像0．01這樣小的數，加減運算中可以忽略，但若是乘除法時則大不一樣。如789．64+0．01，789．6÷0．0l。

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