新型坡度同軸布喇格反射器數值模擬比較研究

丁學用 王玲玲

(海南大學三亞學院理工分院，海南 三亞 572022)

1. 引 言

布喇格反射器被廣泛應用于自由電子激光、回旋自諧振脈塞和半導體激光器中[1]。布喇格反射器由于其在集成電路、光波以及微波器件中的廣泛應用，受到科技工程界的關注[1-13]。布喇格結構的周期性邊界條件的選頻特性所形成的禁帶或者通帶，可以用來制作反射器、濾波器、模式轉換器等器件。例如，作為反射器，它是布喇格諧振腔的重要組成部分，被廣泛應用在回旋自諧振脈塞(Cyclotron Auto-resonance Maser,CARM)和工作在毫米、亞毫米波范圍內的自由電子激光(Free Electron Laser,FEL)[2-4]。通常，布喇格反射器是由一段在圓柱波導的金屬壁上開周期性正弦或矩形波紋槽構成。近年來，由于同軸布喇格結構比傳統的圓柱布喇格結構具有優越性，所以，越來越受到人們的重視[5-14]。對一種新型加坡度方式的同軸布喇格反射器進行理論與電磁仿真軟件CST[15]數值模擬的比較研究，文中給出了理論編程和數值模擬比較結果，兩者吻合較好，并對新型坡度同軸布喇格反射器的頻率響應特性進行了理論研究。

2.理論模型

同軸布喇格反射器的結構[10]如圖1所示，在縱向上呈周期性變化，其結構外半徑Rout和內半徑Rin可分別表示成關于縱向z變化的函數關系，且

Rout(z)=a0-loutcos(koutz+φout)

(1)

Rin(z)=b0-lincos(kinz+φin)

(2)

式中：kout=2π/pout；kin=2π/pin；a0、lout、φout、pout分別代表外導體壁的平均半徑、開槽波紋深度、初始相位和波紋周期；b0、lin、φin、pin分別代表內導體壁的平均半徑、開槽波紋深度、初始相位和波紋周期。

圖1 同軸布喇格反射器的一般結構剖面圖

對同軸布喇格結構的外導體內壁和內導體外壁加坡度有兩種形式[16]：第1種形式是外壁加正坡度角、內壁加負坡度角，其剖面結構圖和三維模型結構

(a)正圓錐形坡度

(b)倒圓錐形坡度圖2 坡度開槽同軸布喇格反射器剖面圖

(a)正圓錐形坡度

(b)倒圓錐形坡度圖3 坡度開槽同軸布喇格反射器三維模型圖

圖如圖2(a)、3(a)所示，稱為正圓錐形坡度；第2種形式是外壁加負坡度角、內壁加正坡度角，其剖面結構圖和三維模型結構圖如圖2(b)、3(b)所示，稱為倒圓錐形坡度。內外壁傾斜的坡度角分別用θout和θin表示。本文中所加坡度方式與文獻[16]不同，在文獻[16]中，是將外導體內壁和內導體外壁分別繞一固定點旋轉而成，在旋轉點處極易形成奇點，會對布喇格反射器的性能有一定影響[17]，而且加坡度后公式推導繁瑣。在本文加坡度后的布喇格反射器中，其結構外半徑Rout和內半徑Rin可分別表示成關于縱向z變化的函數關系，且

Rout(z)=a0+tan(θout)z-

loutcos(koutz+φout)

(3)

Rin(z)=b0+tan(θin)z-

lincos(kinz+φin)

(4)

這為理論推導及軟件編程提供了公式依據，且本文中加坡度前后布喇格反射器的結構長度L沒發生變化。

假設同軸布喇格反射器中存在N種模式，根據同軸布喇格反射器多模耦合理論[18]，其中第i模式(i=1，2，…，N)的沿z正方向傳播的波(簡稱正傳波)和沿z負方向傳播的波(簡稱反傳波)，由下述耦合方程決定。

(5)

(6)

3.理論仿真模擬比較研究

根據同軸布喇格反射器多模耦合理論[18]，利用一個中心頻率為15 GHz，工作模式為TE11的同軸布喇格反射器[19]，具體的結構參數如表1所示。

文中采用的研究方法是利用Fortran軟件編程與CST軟件平臺進行理論模擬與非線性數值模擬。利用CST軟件平臺時，經過程序調試后，將軟件的Lower mesh limit(結構線度上最低網格點數)設為10，Mesh line ratio limit設為12，總網格數達到3346560；為了減小總網格數，縮短仿真時間，在結構的XY平面設置了對稱面(即磁對稱面)，并假設結構材料為理想導體[16]。

圖4給出了多模耦合理論Fortran軟件編程結果和CST軟件模擬結果的對比。在圖中布喇格反射器的內導體外壁與外導體內壁的波紋初始相位差分別為0，π/2和π。從圖中可以看出，無坡度的同軸布喇格反射器，多模耦合理論Fortran軟件編程與CST軟件模擬得到的結果吻合。且當相位差為π時，同軸布喇格反射器獲得最佳頻率響應，最大反射系數接近1。在接下來的研究中，只考慮同軸布喇格反射器的內導體外壁與外導體內壁的波紋初始相位差為π的情況。

表1 15GHz 同軸布喇格反射器具體參數

(a)

(b)

(c)圖4 坡度角θout=0，θin=0時，多模耦合理論(Fortran軟件編程)與CST軟件結果的比較，初始相位為(a)φout=0，φin=0，(b)φout=0，φin=π/2和(c)φout=0，φin=π，pout=pin。其余參數示表1

圖5中布喇格反射器的內導體外壁與外導體內壁波紋初始相位差為π且內外導體壁分別加有坡度。從圖中可以看出，不管是正圓錐形坡度還是倒圓錐形坡度的同軸布喇格反射器，多模耦合理論Fortran軟件編程和CST軟件模擬得到的結果也同樣吻合，兩者存在些許偏差的原因可能是由于CST軟件的一些參數(最小網格步長、最小網格點數、網格數等)的設置對仿真性能的影響。

(a)

(b)圖5 (a)正圓錐形下坡度角θout=0.5°，θin=-0.5° 和(b)倒圓錐形下坡度角θout=-0.1°，θin=0.1°時多模耦合理論(Fortran軟件編程)與CST軟件結果的比較，初始相位為φout=0，φin=π，pout=pin。其余參數示表1

在研究的過程中，發現CST軟件仿真耗費的資源遠遠大于Fortran軟件理論編程計算，并且不易處理高次模式間的耦合問題。理論編程計算整個過程耗時大約20分鐘，內存占用較少，而CST軟件仿真用了四個多小時，內存占用達到將近1 G，特別是高頻率、高階模式耦合時，CST需要增加很多網格，而多模耦合理論編寫的程序可以容易的解決這個問題。

4.坡度對頻率響應的影響

采用表1中典型參數，對具有新型坡度的同軸布喇格結構的頻率響應特性，進行Frotran軟件編程模擬研究。

圖6和圖7是正圓錐形坡度和倒圓錐形坡度情況下所加不同坡度角時，反射系數和傳輸系數隨頻率的變化。從圖中可看出：當對布喇格結構加正圓錐坡度時，其帶寬隨著所加坡度角的增大而變窄；當加倒圓錐形坡度時，其帶寬隨著所加坡度角的增大而變寬，而且加倒圓錐形坡度時，同軸布喇格反射器的頻率響應受坡度角變化的影響較大。因此，如果需要獲得較窄的帶寬(例如用于布喇格反射器)，可采取正圓錐坡度形式；如果需要獲得較大的帶寬(例如用于布喇格濾波器)，則可采取倒圓錐形坡度形式。

(a)

(b)圖6 同軸布喇格結構中TE11模的反射系數隨頻率的變化關系(Frotran軟件編程)，其中：(a)正圓錐形坡度下坡度角α=0°，0.3°，0.6°；(b)倒圓錐形坡度下坡度角α=0°，0.1°，0.2°，pout=pin，其余參數示表1

(a)

(b)圖7 同軸布喇格結構中TE11模的傳輸系數隨頻率的變化關系，其中：(a)正圓錐形坡度下坡度角α=0°，0.3°，0.5°；(b)倒圓錐形坡度下坡度角α=0°，0.1°，0.15°，pout=pin，其余參數示表1

(a) 正圓錐形坡度

(b )倒圓錐形坡度圖8 加坡度后能量衰減比較，參數示圖6

圖8是正圓錐形坡度和倒圓錐形坡度情況下所加不同坡度角時，場能量隨時間的變化。從圖中可看出，相比無坡度情況，加正圓錐形坡度后，能量衰減較快，并且隨著坡度角的增大，能量衰減的速度也越快；加倒圓錐形坡度后，能量的衰減不是很明顯，此時能量衰減受坡度角影響也較小。

5.殘余旁瓣抑制

同樣可以采用加窗技術來抑制加新型坡度的同軸布喇格反射器的殘余旁瓣(residual side-lobes)現象[16]。設：

Rout(z)=a0+tan(θout)z-

loutW(z)cos(koutz+φout)

(7)

Rin(z)=b0+tan(θin)z-

linW(z)cos(kinz+φin)

(8)

式中,W(z)為窗函數。當W(z)=1，對應沒有加載窗函數的情況，式(7)和(8)回復到式(3)和(4)。常用的漢寧(Hanning)窗、漢明(Hamming)窗、高斯(Gauss)窗以及布拉克曼(Blackman)窗的效果，彼此差別不大[16]，本文僅討論加載漢明(Hamming)窗函數

W(z)=0.54-0.46cos(2πz/L)

(9)

圖9給出了新型坡度下具有正圓錐坡度反射器中坡度角α=0.3°時，不加窗和加載了漢明(Hamming)窗的對比。從圖9可看出，加載漢明(Hamming)窗后頻率響應曲線的殘余旁瓣得到有效抑制。

圖9 正圓錐坡度角α=0.3°時加載漢明窗函數對反射系數的頻率響應曲線殘余旁瓣的抑制作用(Fortran軟件編程)，此處所用其余參數與圖6相同

加窗技術不僅可以提高布喇格反射器的性能，也可以減少仿真時間。因為用時域求解器求解時，傅立葉變換計算S參數要求時間信號完全衰減到零，否則就會引入截斷誤差。而布喇格反射器是高諧振器件，時間信號中可能會出現諧振，這使得信號的衰減非常緩慢，需要很長的仿真時間進行精確的傅立葉變換，而采用了加窗技術，在仿真時，瞬態場衰減到一定程度就會被傅立葉變換正確的截斷而不產生很大的誤差，又可以平滑通帶。從圖10可以看到，加窗后能量的衰減非常快，這樣仿真所需要的時間也大大的減小。

圖11是圖6所示的正圓錐坡度(a)和倒圓錐坡度(b)結構在不同坡度角情況下，加載漢明(Hamming)窗后的效果。結果進一步表明：在新型加坡度方式下的同軸布喇格反射器，無論是正圓錐還是倒圓錐坡度，窗函數技術都能有效抑制頻率響應曲線的殘余旁瓣現象。

圖10 加窗后能量衰減比較

(a)

(b)圖11 對應圖6(a)和(b)中參數，加載漢明(Hamming)窗函數后改善了的反射系數頻率響應曲線

6.結 論

根據同軸布喇格反射器多模耦合理論，應用Fortran軟件理論編程和電磁模擬軟件CST對工作頻率為15 GHz的同軸布喇格反射器進行了比較研究，發現多模耦合理論Fortran軟件編程計算結果與CST軟件模擬結果基本一致；與3維電磁軟件相比，多模耦合理論編程容易，計算速度快，資源耗費少。并通過所進行的Fortran軟件編程模擬結果，新型加坡度方式的坡度同軸布喇格反射器具有如下兩個結論：

1) 具有正圓錐形坡度的同軸布喇格結構的帶寬隨著所加坡度角的增大而變窄；具有倒圓錐形坡度的同軸布喇格結構的帶寬隨著所加坡度角的增大而變寬。

2) 具有坡度的同軸布喇格反射器的頻率響應殘余旁瓣現象，也可以通過采用窗函數技術得到有效抑制。而且加窗技術可以減少軟件模擬時間。

而且，新型加坡度方式的提出為以后研究坡度對高頻高階耦合模式下的同軸布喇格結構頻率響應影響的理論推導提供了必要的理論依據。

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