依托創新 考查潛能

高考作為選拔性考試，注重能力考查，特別是學習潛能的考查。高考數學命題以“能力立意”作為命題的核心理念和根本原則，適當設置開放性、探索性試題，考查考生的探究精神，考查考生在未來的學習或工作中是否具有創新意識等．同時，高考對高中教學具有很強的導向性，因此，考查創新意識的試題編擬應立足于以中學數學的基礎知識為基本素材，考查學生創造性地應用知識分析問題、解決問題的能力．

以下是我們近兩年來在課標課程背景下，以中學數學的基礎知識為載體，依托試題背景創新、設問方式創新、知識內容創新、解題方法創新，對高三數學試題進行有益的編擬與演化，以達到全面考查考生的學習潛能的目的.

1. 以“函數”素材為背景，依托創新、考查潛能

函數是高中數學內容的知識主干，函數的思想和方法貫穿高中數學學習全過程，顯然是高考考查潛能的重點.

例1 （2010三明高三期末）已知函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0），g（x）=mx+k（m≠0），且方程f（x）=x沒有實數根．給出下列命題：

①方程 f（g（x））=g（x）沒有實數根；

②若a＞0，且g（x）＜x（x∈R），則 f（g（x））＞x（x∈R）；

③若a+b+c=0，且g（x）＜x（x∈R），則 f（g（x））＜x（x∈R）．

其中正確命題的個數有

A．0個B．1個 C．2個 D．3個

創新亮點：本試題以常見的二次函數、二次方程、二次不等式等知識為載體，充分依托數學特有的符號語言進行復合、抽象編擬演化，試題多思不算，充分考查了考生數學語言的轉譯能力、抽象概括能力、合情推理能力。 ［答案:C］

例2(2010福建高考改編)已知y=f（x）是二次函數，則對任意的非零實數m、n、p，關于x的方程m［f（x）］2+nf（x）+p=0的解集都不可能的是（）

A.{1，2} B.{1，4}C.{1，2，3，4}D.{1，4，16，64}

創新亮點：本試題同樣以常見的二次函數、二次方程為載體，利用二次函數的對稱性，借助二次方程有根必成對（含等根）進行合理構造，試題多思不算，充分考查考生的綜合能力和學習新知的學習潛能。［答案：D］

變式一：定義域為R的函數f（x）= ， x≠11， x=1 ，若關于x的函數h（x）=［f（x）］2+bf（x）+，有5個不同的零點x1，x2，x3，x4，x5，則x12+x22+x32+x42+x52的值等于（）

A. B.5 C.15 D.16

變式二：定義域為R的函數f（x）= lgx-2，x≠21，x=1 ，若關于x的方程f 2（x）+bf（x）+c=0恰有5個不同的實數解x1，x2，x3，x4，x5，則f （x1+x2+x3+x4+x5）=

A. 0B.2lg2C. 3lg2D. 1

變式三：設函數f（x）=x2+bx+c，x≥22，x＜0 ， 若f（4）=f（0），

f（2）=-2，則函數F（x）=fx）-x的零點個數為（）

A. 1B. 2C. 3D. 4

例3 (2011三明高三期末)已知函數f（x）在R上單調遞增，且對任意x1，x2∈R滿足f（x1）+f（x2）＞2f（），設P=f ′（m），M=f（m+1）-f（m），N=f ′（m+1），m∈R，則P、M、N的大小關系是：

A．P＜M＜NB．M＜N＜P

C．M＜P＜ND． N＜M＜P

創新亮點：本試題以函數導數的幾何意義——“切線斜率”為載體，借助函數的凹凸性抽象構造，編擬了比較切、割線斜率大小的試題，充分考查了數學符號語言向數學圖形語言轉譯的能力，考查了數形結合的數學思想方法。［答案：D］

2．以“解幾”素材為背景，依托創新、考查潛能

解析幾何是高中數學內容的主干知識，用代數的方法解決幾何問題是它的主要特征，借形幫數，以數助形充分體現了數形結合的數學思想方法，自然是高考考查潛能的重點.

例4 (2011三明高三質檢)直線l與坐標軸交A，B于兩點，在坐標軸上找一點C，使得△ABC是等腰三角形，這樣的點C最多有個．

解析：（1）當AB為腰時：以A為圓心，|AB|為半徑畫圓，此時圓與兩坐標軸（除B點外）最多有三個交點；以B為圓心，|AB|為半徑畫圓，此時圓與兩坐標軸（除A點外）最多也有三個交點.（2）當AB為底邊時:作AB的垂直平分線，該垂直平分線與兩坐標軸最多有兩個交點.綜合(1)(2)則最多有8個點C.

創新亮點：本試題以平面幾何、解析幾何知識為載體，借助“已知一邊作等腰三角形”進行編擬構造試題，依托求解方式的創新，充分考查了分類討論、數形結合的數學思想方法，考查了合情推理、探究新知的學習潛能。

例5 (2010年三明高三質檢)2008年高考福建省理科數學第11題是：“雙曲線- =1（a＞0，b＞0）的兩個焦點為F1、F2，若P為其上一點，且PF1=2PF2，則雙曲線離心率的取值范圍為：A.(1，3)、B.(1，3］、C.(3，+∞)、D.［3，+∞)”，其正確選項為B.若將其中的條件“PF1=2PF2”更換為“PF1=kPF2， k＞0且k≠1”，試經過合情推理，得出雙曲線離心率的取值范圍是．

創新亮點：本試題以解析幾何中雙曲線知識為載體，借助2008年高考試題，利用由特殊到一般的推廣（“PF1=2PF2”?圯“PF1=kPF2”）編擬與演化試題，依托設問方式的創新，充分考查考生類比推理、數學探究的學習潛能，考查化歸與轉化、特殊與一般的數學思想。

例6（2010福建省質檢）已知中心在坐標原點，以坐標軸為對稱軸的雙曲線C過點Q(2，)，且點Q在x軸上的射影恰為該雙曲線的一個焦點F1。

（Ⅰ）求雙曲線C的方程；

（Ⅱ）命題：“過橢圓+ =1的一個焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則為定值，且定值是”。命題中涉及了這么幾個要素：給定的圓錐曲線E，過該圓錐曲線焦點F的弦AB，AB的垂直平分線與焦點所在的對稱軸的交點M，AB的長度與F、M兩點間距離的比值。

試類比上述命題，寫出一個關于雙曲線C的類似的正確命題，并加以證明：

（Ⅲ）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統一的一般性命題（不必證明）。

創新亮點：本試題以解析幾何中直線、圓錐曲線知識為載體，依托設問創新編擬與演化數學探究性試題（“——試類比上述命題，寫出一個關于拋物線C的類似的正確命題，并加以證明。（Ⅲ）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的統一的一般性命題（不必證明）。”），依托問題背景的創新、設問方式的創新，充分考查考生類比推理、數學探究的學習潛能，考查化歸與轉化、特殊與一般的數學思想。

3．以“立幾”素材為背景，依托創新、考查潛能

立體幾何是高中數學內容的主干知識，空間想象能力、邏輯推理能力是它的主要特色，空間圖形與平面圖形的轉化，充分體現了化歸與轉化的數學思想，由平面到空間、由空間到平面也深刻蘊涵著特殊與一般的數學思想，也是考查潛能的好素材.

例7 （2009三明高三期末理）如圖1，三棱錐A′-BC′D′中， A′D′⊥平面BC′D′，D′B⊥平面D′C′；如圖2，三棱錐A-DCE中，AD⊥平面DCE，DE⊥DC．若△A′C′D′≌△ACD，移動三棱錐A′-BC′D′，與三棱錐A-DCE拼接成新的棱錐A-BCE，使得兩個三棱錐中的面A′C′D′、面ACD完全重合. 在三棱錐A—BCE中，AD=DB=a，DE=DC=2a．

解答下列問題：

（Ⅰ）求異面直線AE與BC所成角的余弦值；

（Ⅱ）設平面ACB與平面ACE所成銳角為θ，求cosθ的值．

例7姐妹題（2009三明高三期末文）如圖3，三棱錐P ′-A′BC′中，P ′A′⊥平面A′BC′，△A′BC′是正三角形，E是P ′C′的中點；如圖4，三棱錐P-ACD中，P A⊥平面ACD，∠ACD=90°，∠DAC=30°．

若△P ′A′C′≌△PAC，現將兩個三棱錐拼接成四棱錐P-ABCD，使得面P ′A′C′與面PAC完全重合．在四棱錐P —ABCD中，解答以下問題：

（Ⅰ）求證：CD⊥AE；

（Ⅱ）當PA=AC=時，求棱錐E-ABCD的體積．

創新亮點：本試題以立體幾何中三棱錐知識為載體，依托空間圖形的旋轉、平移對接，進行背景與設問創新編擬試題（“移動三棱錐A′-BC′D′，與三棱錐A-DCE拼接成新的棱錐A-BCE，使得兩個三棱錐中的面A′C′D′、面ACD完全重合”）， 依托設問方式的創新，使空間想象能力的考查得到最大限度的落實，充分考查了化歸與轉化、特殊與一般的數學思想。

例8 （2010福建省質檢）如圖5，l1、l2是兩條互相垂直的異面直線，點P、C在直線l1上，點A、B在直線l2上，M、N分別是線段AB、AP的中點，且PC=AC=a，PA=a。

（Ⅰ）證明：PC⊥平面ABC；

（Ⅱ）設平面MNC與平面PBC所成的角為θ（0°＜θ≤90°）。現給出下列四個條件：

①CM=AB；②AB=a；

③CM⊥AB；④BC⊥AC

請你從中再選擇兩個條件以確定cosθ的值，并求之。

創新亮點：本試題以立體幾何中直線與平面的位置關系和數量關系等知識為載體，依托空間圖形位置關系和數量關系背景大膽地進行了條件呈現創新、設問方式創新編擬試題（“現給出下列四個條件：①CM=AB；②AB=a；③CM⊥AB；④BC⊥AC請你從中再選擇兩個條件以確定cosθ的值，并求之”），使空間想象能力的考查得到最大限度的落實，充分考查了推理論證、分析探究、綜合解決問題的能力，考查了化歸與轉化、特殊與一般的數學思想。

例9 (2011三明高三質檢理)某設計部門承接一禮品盒的設計（如圖6所示），客戶除了要求AB、BE邊的長分別為20cm和30cm外，還特別要求禮品盒必需滿足：①面ADE⊥面ADC；②面ADC與面ABC所成的二面角不小于60°；③禮品盒的體積盡可能大。

若設計出的樣品滿足：∠ACB與∠ACD均為直角且AB長20cm，矩形DCBE的一邊長為30cm，請你判斷該禮品盒的設計是否符合客戶的要求？說明理由。

創新亮點：本試題以立體幾何中的四棱錐為載體，依托問題背景創新編擬了一道與實際生活緊密聯系的應用題，充分考查了考生解決實際問題的建模能力、和空間想象能力，考查了函數與方程思想分類與整合思想以及化歸與轉化思想。

（未完待續）#8226;