例談高考試題中的創(chuàng)新性問題

摘 要：在高考對創(chuàng)新意識的考查中基本載體是創(chuàng)新性問題，本文結合近幾年的高考試題，例談創(chuàng)新性問題的主要方式及求解策略，并分析了創(chuàng)新性質的思維活動表現過程。

關鍵詞：創(chuàng)新意識；求解策略；思維活動

高考考查創(chuàng)新意識的基本載體是創(chuàng)新性問題，主要創(chuàng)設一些比較新穎的問題情境，構造一些具有一定深度和廣度，能體現數學素養(yǎng)的問題，著重考查數學主體內容．這類問題一般都注重問題的多樣化，體現思維的發(fā)散性，反映數、形運動變化的特點．本文結合近幾年的高考試題，下面例談創(chuàng)新性問題的主要方式及求解策略．

1 信息新而創(chuàng)新

1.1 新概念型

概念型創(chuàng)新題是指先給出一個定義，然后根據定義提出一系列問題．這類問題的一般求解策略是先要準確理解題目中的新的定義、新符號，把握定義的本質．在此基礎上按定義處理問題，使知識發(fā)生有效的遷移．

例1 （2010福建高考）對于復數a，b，c，d，若集合S={a，b，c，d}具有性質“對任意x，y∈S，必有xy∈S”，則當a=1b2=1c2=b時，b+c+d等于（ ）

A．1 B．-1 C．0D．i

解析 由題設與集合中元素的互異性，可得a=1，b=-1，c2=-1，再借助“分類討論”，利用題中所給集合的性質，求出不同情況下的c=id=-i或c=-id=i，進而求出b+c+d=-1，故選B．

評注 本題在新定義問題中主要考查了復數、集合中元素的互異性，同時考查學生的推理能力、運用知識能力和分類討論的思想．在學生思維活動中表現為從題目條件中提取有用的信息（集合性質新定義），結合所掌握知識，進行簡單的組合，解決問題．

1.2 新規(guī)定運算法則型

新規(guī)定運算法則型創(chuàng)新題是指先給出一個運算法則，然后根據運算法則提出一系列問題．這類問題的一般求解策略是先要準確理解題目中的新的運算法則、新符號，把握運算法則的本質，運用法則將創(chuàng)新問題轉化為常規(guī)問題加以解決．

例2 （2010山東高考）定義平面向量之間的一種運算“□”如下：對任意的a=（m，n），b=（p，q），令a□b=mq-np，下面說法錯誤的是（）

A．若a與b共線，則a□b=0 B．a□b=b□a

C．對任意的λ∈R，有（λa） □b=λ（a□b）

D．（a□b）2+（a#8226;b）2=a2 b2

解析 對所給答案逐一驗證，因為b□a=pn-qm，而a□b=mq-np，所以有a□b≠b□a，選項B錯誤，故選B．

評注 本題考查在給出新運算的前提下平面向量的運算問題，同時也考查了學生的閱讀理解能力和運用新知識解決問題的能力．在學生思維活動中表現為從題目條件中提取有用的信息（新運算定義），結合所掌握知識，進行簡單的組合，解決問題．

2 情境新而創(chuàng)新

情境創(chuàng)新是指題目所給知識背景、生活背景新穎或在試題條件的呈現方式避免模式化、常規(guī)化，而更注重數學本質．這類問題的一般求解策略是需要將遇到的新情景與學過的知識發(fā)生聯(lián)系，將所學的知識遷移到新的情景中去，轉化為熟悉的數學知識與數學方法．

2.1 新應用情景型

例3 （2010湖南高考）為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上相距8km的A，B兩點各建一個考察基地，視冰川面為平面，以過A，B兩點的直線為軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系（如圖1）．在直線x=2的右則，考察范圍為到點B的距離不超過km的區(qū)域；在直線x=2的左則，考察范圍為到兩點的距離之和不超過4km的區(qū)域．

（Ⅰ）求考察區(qū)域邊界曲線的方程；

（Ⅱ）如圖所示，設線段P1P2，P2P3 是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界線），當冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動0.2km，以后每年移動的距離為前一年的倍．求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間。

解析 略

評注 把要考查的求曲線方程、曲線上的點到直線最短距離及數列求和放在新的實際應用情境中，且題目的闡述比較新穎，把求曲線的方程闡述成求區(qū)域的邊界．充分體現了知識的應用性，能很好地體現學生應用知識的能力．在學生思維活動中表現為從題目的實際應用情境中提取有用的信息，和已有的知識聯(lián)系起來，構建數學模型，并能獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題。

2.2 新呈現題目條件型

例4 （2010遼寧高考）已知a＞0，則x0滿足關于x的方程ax=b的充要條件是（）

A. ?堝x∈R，ax2-bx≥ax02-bx0

B. ?堝x∈R，ax2-bx≤ax02-bx0

C. ?坌x∈R，ax2-bx≥ax02-bx0

D. ?坌x∈R，ax2-bx≤ax02-bx0

解析 設函數f（x）=ax2-bx，所以f ′（x）=ax-b，由已知可得f ′（x0）=ax0-b=0，又因為a＞0，所以可知x0 是函數的極小值點，也是最小值點．由最小值定義可知選項C正確．

評注 題目給出的條件是一次方程解的問題，而選項是二次不等式，反映出是函數最值，但題目條件呈現形式有新意，給出函數最值最本質的定義，不仔細分析不易被發(fā)現，需要學生從題目中選擇有效的方法和手段分析信息，去發(fā)現這是一道二次函數最值問題，問題即可迎刃而解．在學生思維活動中表現為從題目呈現條件中提取有用的信息，在這個過程中要求學生的觀察能力、理解能力、運算求解能力的綜合應用，并和已有的知識聯(lián)系起來，進行加工、組合，創(chuàng)造性地解決問題．

3 設問角度創(chuàng)新

設問角度創(chuàng)新是指試題設問靈活巧妙，具有開放性、探索性，給考生思維的空間．

3.1 探索條件型

探索條件型是指對于給定結論，反溯應具備的條件，使條件完備的問題．這類問題的一般求解策略是從結論和部分已知條件出發(fā)，執(zhí)果索因，通過觀察、試驗、聯(lián)想、演繹、歸納、類比、分析、綜合等思維形式，尋找結論成立的條件．

例5 （2009福建高考）已知函數f（x）=x3+ax2+bx，且f ′（-1）=0．

（Ⅰ）試用含a的代數式表示b，并求f（x）的單調區(qū)間；

（Ⅱ）令a=-1．設函數f（x）在x1，x2（x1＜x2）處取得極值，記點M（x1，f （x1）），N（x2，f （x2）），P（m，f （m））， x1＜m≤x2 ．請仔細觀察曲線 f （x）在點P處的切線與線段MP的位置變化趨勢，并解答以下問題：

（ⅰ）若對任意的m∈（t，x2］，線段MP與曲線 f （x）均有異于M，P的公共點，試確定t的最小值，并證明你的結論；

（ⅱ）若存在點Q(n， f(n))，x≤n＜m 使得線段PQ與曲線 f （x）有異于P，Q的公共點，請直接寫出m的取值范圍（不必給出求解過程）．

解析 略

評注 本題以三次函數為載體，在第（Ⅱ）問中要求考生以導數為工具，觀察、分析曲線 f （x）在點P處的切線與線段MP的位置變化趨勢，尋找臨界狀態(tài)，并以此為出發(fā)點推測、論證，對不同思維習慣、思維水平及對基礎知識掌握不同的同學，提出解決問題的方式及方法也會不同．在學生思維活動中表現為從題目呈現的信息中，在探究圖象時，和已有的知識聯(lián)系起來，進行加工、組合，形成一個解決問題的方法．體現出考生對數學知識的遷移、組合、融會的程度，顯示出考生創(chuàng)新意識的強弱，較好地考查了考生數學素養(yǎng)和學習潛能．

3.2 探索類比、歸納型

探索類比、歸納型是指給出一個正確的命題或者一個規(guī)定，然后要求考生從自己已有的知識結構出發(fā)，通過類比或歸納的方式得出一個正確的結論．這類問題的一般求解策略是由題目中的信息特征，透過現象看到本質，并適當地聯(lián)系相關知識，尋找規(guī)律，通過由特殊到一般，觀察、猜想、抽象、概括、證明是解決這類問題的思維主線．

例6 （2010福建高考）（Ⅰ）已知函數f（x）=x3-x，其圖象記為曲線C．

（ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；

（ⅱ）證明：若對于任意非零實數x1，曲線C與其在點P1（x1， f（x1)）處的切線交于另一點P2（x2， f（x2)），曲線C與其在點P2處的切線交于另一點P3（x3， f（x3)），線段P1P2，P2 P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1，S2，則為定值；

（Ⅱ）對于一般的三次函數g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），請給出類似于（Ⅰ）（ⅱ）的正確命題，并予以證明．

解析 略

評注 本題以三次函數為載體，在第（Ⅱ）問中，改變了解答題已往的設問方式，要求考生通過歸納、類比提出命題，并證明之．體現思維的開放性，對不同層次的學生，思維水平的差異，能體現在對第（Ⅱ）問中命題得出的不同及證法的差異，具有很好的選拔功能．在學生思維活動中表現為從題目呈現的信息中出發(fā)，從特殊到一般，由第（Ⅰ）（ⅱ）問類似地寫出命題，并類比第（Ⅰ）（ⅱ）問中的方法解決第（Ⅱ）問中的命題．特別是對三次函數拐點x=-的得出，要求考生會對一元三次函數圖象對稱中心和凹凸性拐點關系的了解及觀察．對考生的探究能力，思維水平要求較高，較好地考查了考生數學素養(yǎng)和學習潛能．

4 知識交匯創(chuàng)新

知識交匯創(chuàng)新是指試題在知識網絡交匯點設計創(chuàng)新．這類問題的一般求解策略是要認真讀題，研究題目中所考查的知識點，弄清其本質意圖，聯(lián)想與其有關的知識，最后通過知識的綜合運用解決此類題目．

例7 （2010重慶高考）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內的軌跡是（ ）

A．直線B．橢圓 C．拋物線D．雙曲線

解析 把空間問題轉化到一個平面上，抓住互相垂直的兩條異面直線的距離是定值，利用空間幾何體模型，建立平面直角坐標系進行推導，得軌跡是雙曲線，故選D．

評注 本題將立體幾何中的距離與解析幾何中圓錐曲線定義中的距離問題結合在一起考查，達到了“一石二鳥，一題多考”的目的，體現了知識聯(lián)系的創(chuàng)新．在學生思維活動中表現為從題目呈現的信息中要把兩個不同的知識背景進行加工、組合，找到解決問題的“銜接點”，要求學生要有較強的空間想象能力，并且要求學生要創(chuàng)設特殊的幾何模型解決問題的能力，對學生的思維水平要求較高；同時，對數學基礎知識的考查也達到一定的深度。

參考文獻：

［1］林方芳，楊石文.創(chuàng)新意識的考查分析［J］.福建中學數學，2009，(6).

［2］許沐英.例談立體幾何中常見創(chuàng)新類型［J］.福建中學數學，2009，(6).