淺談分類思想方法在中學數學中的應用

摘 要：本文主要簡述了分類思想方法的含義和應用，并結合教學實踐經驗就如何有效開展中學數學分類思想方法的應用提出自己的觀點。

關鍵詞：分類思想方法；教學手段；滲透教學

分類思想方法是當被研究的對象包含多種可能的情況，導致我們不能對它們一概而論的時候，迫使我們必須可能出現的所有情況來分類討論，得出各種情況下相應的結論。它是一種非常重要的中學數學思想方法。分類思想方法對于中學生來說是比較難掌握的一種數學思想方法。

一、根據分類的含義，分類必須遵循下列原則

（1）分類所得的各子項外延的總和，應當與被分類的概念的外延相等，即沒有遺漏。如三角形按邊的大小為標準，可分為：等腰三角形和不等邊三角形。因為它們的外延的總和，恰好與三角形的外延相等。

（2）分類所得的各子項，應當是互相排斥的，即沒有重復。如把平行四邊形分為矩形、菱形和正方形，就不僅違反了原則（1），而且也違反了原則（2）。

（3）分類應按同一標準進行。由于集合的分類、概念的劃分可以多層次地進行，所以分類時也可以多層次進行，但每一次劃分時，標準只能一個。

二、下面淺談一下分類思想方法在中學數學的應用

（1）用類分法來定義概念。如有理數或實數的絕對值定義是采用類分法給出的。即

a=a （a≥0）-a（a＜0）

在這個定義中選擇a=0作為分類的標準。在每一類中，其結果都不包含絕對值符號，因此定義也給出了如何脫去絕對值符號的方法。

例如，化簡 x+3+x-5

分析：分三種情況考慮：

①當x＞5時，原式=x+3+x-5=2x-2

②當-3≤x≤5時，原式=x+3+5-x=8

③當x＜-3時，原式=-x-3+5-x=-2x+2

（1） 運用類分法可以揭示一個概念究竟概括了何類屬性的對象。如代數式可作如下多層次的分類：

代數式有理式整式分式無理式

（2） 運用類分法來討論數學對象的性質，在數學教學中，對含字母系數的方程的討論必須使用類分法。例如，對于方程ax=b的解的情況要分別就a≠0 或 a=0兩種情況來討論，對a=0的情況又分為b≠0 和 b=0兩種情況來討論。即

a≠0，方程有唯一解，x=b/a

a=0，若b=0，方程有無數解

若b≠0，方程無解。

對函數的增減性問題的討論也常常使用類分法。例如：對一次函數y=ax+b(a≠0)增減性的討論，要分為a＞0和a＜0兩種情況來進行。對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）增減性的討論，要按下列情況來分類進行。

a＞0x?芏-b/2a增

x＜-b/2a減

a＜0x?芏-b/2a 減

x＜-b/2a增

（3） 運用類分法可以 從幾何圖形的點和線出現不同的位置進行分類

在證明圓周角定理時，由于圓心的位置有在角的邊上、角的內部，角的外部三種不同的情況，因此分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上，這是一種最容易解決的情況，然后通過輔助線作過圓周角頂點的直徑，利用先證明（圓心在圓周角的一條邊上）的這種情況來分別解決圓心在圓周角的內部、圓心在圓周角的外部這兩種情況。這是一種從特殊到復雜的定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法。它是根據幾何圖形點和線出現不同位置的情況一個個解決的方法。

（4） 運用類分法解題，在中學數學中，需要用分類討論方法來解決的數學問題非常多，現舉例說明：

例1 已知∠ABC=67°，BD是從∠ABC的頂點引出的一條射線，且∠CBD=36°，試求出∠ABD的度數。

分析:由于射線BD的端點B是確定的，而方向不確定，因此∠ABD的位置可以分為在∠ABC的內部和外部這兩種情況來進行討論。

解:（1）若射線BD在∠ABC的內部，則

∠ABD=∠ABC-∠CBD

= 67°-36°

= 31°

（2）若射線BD在∠ABC的外部，則

∠ABD′=∠ABC +∠CBD′

=67°+ 36°

=103°

有關幾何圖形位置可能出現的情況，要根據相關的條件和幾何圖形的性質，分類出各種符合條件的圖形，從而正確解決問題。

例2 人教版七年級（下）《三角形的邊》中有這樣一題:用一條長18cm的細繩圍成一個等腰三角形。

（1） 如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多少?

（2）能圍成有一邊的長為4cm的等腰三角形嗎?為什么?

解:（1）設底邊長為xcm，則腰長為2xcm。

x+ 2x +2x=18 解得x=3.6

所以，三邊長分別為3.6cm，7.2cm，7.2cm。

（2）因為邊長為4cm的邊可能是腰，也可能是底邊，所以需要分兩種情況討論。

如果4cm長的邊為底邊，設腰長為xcm，則

4 +2x=18解得: x=7

如果4cm長的邊為腰，設底邊長為xcm，則

2×4+ x=18， 解得:x=10

因為4+ 4<10，出現兩邊的和小于第三邊的情況，所以不能圍成腰長是4cm的等腰三角形。

由以上討論可知，可以圍成底邊長是4 cm 的等腰三角形。

例3 解關于x的不等式:ax＋3＞2x+a

分析:通過移項不等式化為（a－2）x>a－3的形式，然后根據不等式的性質可分為a－2＞0，a－2＝0，和a－2＜0三種情況分別解不等式。

當a－2＞0，即a＞2時，不等式的解是x>（a-3）/（a-2）

當a－2＝0，即a＝2時，不等式的左邊＝0，不等式的右邊＝－1，因為0＞－1，所以不等式的解是一切實數。

當a－2＜0，即a＜2時，不等式的解是x<（a-3）/（a-2）

三、引導分類討論，提高合理解題的能力

在中學課本中有不少定理、法則、公式、習題，都需要分類討論，在教授這些內容時，應不斷強化學生分類討論的意識，讓學生認識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現錯誤。在解題教學中，通過分類討論還有利于幫助學生概括，總結出規律性的東西，從而加強學生思維的條理性，縝密性。

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：其一是涉及代數式或函數或方程中，根據字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內討論解決問題。其二是根據幾何圖形的點和線出現不同位置的情況，逐一討論解決問題。

例4 已知函救y＝（m-1）x2＋(m-2）x－1（m是實數）.如果函數的圖象和x軸只有一個交點，求m的值。

分析：這里從函數分類的角度討論，分m－1=0 和 m－1≠ 0 兩種情況來研究解決問題。

解：當m＝l 時函數就是一個一次函數y＝－x－1，它與x軸只有一個交點（-1，0）。

當 m≠1 時，函數就是一個二次函數y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1

當Δ＝（m－2）2+4(m－1)=0，得 m=0.

拋物線 y=－x2－2x－1，的頂點（－1，0）在x軸上

客觀事物有多種屬性，強調每一次分類卻只能從一個角度，一個標準進行分類，這是滲透分類思想方法教學的核心與關鍵，精心進行每一次分類思想的滲透教學，終究會有成效的。

在教學中，需要我們有意識地滲透分類討論思想，采用靈活而又有效的教學手段來實施分類討論數學思想的教學，努力培養學生的探索、創新精神和解決問題的能力。需要說明的是，我們在解答數學問題時，應盡可能地避免討論或減少討論，要有科學的分類標準，不重不漏，層次清楚，類別分明，從而優化解題過程。