從一道數列的探究性命題看數列問題中的陷阱

數列這一塊知識是比較古老的內容，很多數學前輩對它的研究很深，所以以前的高考當中數列既是難點也是熱點，甚至是壓軸題。現在新課標對這一模塊知識的要求在難度上有所降低，但是作為高考的一個重要知識，它在知識的廣度上又與許多新的知識點交匯在一起，因此在橫向上不斷拓展，這就要求我們在解答數列問題上要恰當運用公式，推理要嚴謹，謹防陷阱。我曾經去聽一位老師的數學公開課，是數列的探究性課題，其中有一個關于等差等比數列的命題的探究。

例1 命題：等差數列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n-Sn ，S3n-S2n ，…也成等差數列。

請判斷該命題的真假并以此類比等比數列的命題，并探究該命題的真假。

分析：容易證明該等差數列的命題是成立的，簡單證明如下：設等差數列{an}的公差為d，則 （S2n-Sn）-Sn=n2d，（S3n-S2n）-（S2n-Sn）=n2d， ……. 以此類推可以得到各項與前一項的差都等于同一個常數，因此Sn，S2n-Sn， S3n-S2n.…也成為等差數列。 同學們很容易類比推出等比數列的類似命題：等比數列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n-Sn， S3n-S2n . …也成等比數列。該命題是否正確？接下來同學們各抒己見，后來大部分同學認為這個等比數列命題是可以成立的。當時這位老師也給出了簡單的證明：當公比q≠1時由等比數列的前n項求和公式可以得到如下式子成立： S3n-S2n ==，S2n-Sn==，sn=，=qn，=qn，故可以得到Sn，S2n-Sn， S3n-S2n . 也成為等比數列。該命題到底能不能成立？其實我們只要看一個例子就可以知道該命題如果增加了等比數列的公比q不為1還是不能成立。如等比數列{an}，an=(-1)n，則S2， S4-S2， S6 -S4 ，…顯然不是等比數列，因為S2=0， S4-S2=0， S6 -S4 =0， 因此該命題不能成立。在這里這位老師和學生顯然忽略等比數列的項不能為零這個陷阱。到底該命題的證明過程問題出在哪里呢？究其原因，問題在兩項相除當中的1-qn是否等于零，當n為偶數時，如果q=-1則1-qn=0，因此如果該命題增加條件q≠-1命題就可以成立，當然如果公比q=1顯然也可以成立。

在數列當中有很多這樣的例子，所以在解答有關數列問題的時候，在運用性質或者公式時一定要注意條件的限制，往往這些條件就是解題過程的陷阱或者是解題的突破口。經常碰到一些學生在解同一道數列題目時過程都沒有錯，可是答案不一樣就是因為一些公式或性質的運用時沒有注意到條件的限制。

例2 設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1=a， an+1=Sn +3n.n∈N*

(1)設bn=Sn -3n求數列{bn}的通項公式 。（2）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范圍。

當時有兩種不同的答案，解答的過程都沒有錯，可是答案不一樣，為什么呢？我當時請兩位同學上來把解答過程都抄在黑板上。對于第（1）小題同學給出以下兩種不同的解法，下面是這道題的兩種具體解答的過程。

以上兩種解法得到的答案不同，為什么？其實用 b1=a-3，b2=2a-6代入以上兩個通項公式容易發現第一種解法能成立，但第二種解法不能成立。

實際上第一種解法是正確的，而第二種解法是不對的，第二種解法到底錯在哪里？在①式中的Sn-1需要附加條件n≥2，就是因為這個條件作崇造成答案不對。由此造成在②中利用等比數列的通項公式時所用的首項是b1=a-3，如果從第二項開始，也就是說用第二項當做首項，那么得到的答案才正確。補充解答如下：

以上是我在教學過程碰到的數列當中兩種典型的公式陷阱，其實在數列中還有很多這種誤區，經常給同學們解題制造了麻煩，所以我們在教學過程要教學生如何避免掉進這樣的陷阱，減少走彎路。