GPS定位系統中幾種對流層模型的探討

趙鐵成,韓曜旭

(中國人民解放軍61769部隊,黑龍江 哈爾濱150039)

0 引 言

所謂對流層即為從地面向上約40 km范圍內的大氣層,整個大氣層質量的99%幾乎都集中在該層中。對流層與地面接觸,具有很強的對流作用。風、雨、云、霧、雪等主要天氣現象,均出現在該層中,該大氣的成分除含有各種氣體元素外,還含有水滴、冰晶、塵埃等雜質,它們對電磁波的傳播產生很大影響。由于對流層中空氣的折射率在不斷變化,因此,當GPS信號通過對流層時,在傳播的路徑上會產生彎曲和延遲兩種效應,因此使測量距離產生誤差。對流層延遲的影響還與信號的高度角有關,對于一個海平面上的中緯度站,在天頂方向(高度角為90°)其影響達2 m;在地面方向(高度角為10°)其影響可達20 m[1-2]。

1 對流層路徑延遲

電磁波在對流層中傳播與在真空中傳播相比,會導致額外的路徑長度,即彎曲和延遲。其額外的路徑長度可表示為

式中:L=∫n(s)ds,即電磁波走過的實際路徑長度;L為沿著曲線路徑;G為衛星與GPS接收機之間的直線長度。這部分額外的路徑幾何長度(LG)僅占全部路徑延遲的0.1%左右,常忽略不計。因此,對流層中的路徑延遲主要歸因于信號的阻滯,這部分表示為

式中:N=(n-1)×106為大氣的折射率;n為傳播路徑上空氣的折射指數。在假定折射率是關于球面對稱的前提下,上式中的s可用r代替(r是地球中心至傳播路徑上任意點的半徑)。空氣的折射率常用經驗公式表述,且與空氣的熱力學狀態變量有關。大氣折射率是空氣密度ρ(kg/m3)和水汽密度 ρv的函數:

式中:k1是折射率常數;而k′2=k2-(Rd/Rv)k1;Rd和Rv分別是干燥空氣和水汽常數;T是大氣的絕對溫度(單位K)。使用映射函數法可避免煩瑣的三維大氣折射率,其主要假設是在任意方向上的路徑延遲均與天頂方向路徑延遲相關。因此方程式(1)可重寫為

式中:mh(ε)和mv(ε)分別是靜力學和濕映射函數;ε是地面測站的仰角;和分別是天頂靜水力學和濕延遲分量。由下式給出

2 對流層延遲改正

目前,常用的對流層延遲修正模型計算方法分為直接計算法和利用映射函數計算等。直接計算法主要有霍普菲爾德(Hopfield)模型、薩斯塔莫寧(Saastamoinen)模型、勃蘭克(Black)模型、WAAS系統對流層修正模型和EGNOS系統對流層修正模型;利用映射函數計算方法主要有CFA模型、Chao模型 、Mit模型、Marini&Murray模型、Niell模型和GMF模型等。

2.1 直接計算法

2.1.1 霍普菲爾德(Hopfield)模型

霍普菲爾德(Hopfield)模型[3-6]是一種較為普遍的大氣折射延遲模型,它簡單地將大氣層分為對流層和電離層,其天頂總大氣延遲為

式中:HT、HW、P0、T0、e0和h分別為干大氣層頂高、濕大氣層頂高、地面氣壓(mbar)、地面溫度(T)、地面水氣壓(mbar)和測站在大地水準面上的高度(m);常參數K1=77.6 K/mbar、K2=71.6 K2/mbar、K3=3.747×105K2/mbar.

霍普菲爾德(Hopfield)模型可以計算斜延遲的校正公式為

式中:

式中的溫度均采用絕對溫度,單位為K;P、es的單位為mbar;Δ S、hd、hs以m為單位;仰角E以角度為單位。通常水汽壓es可以用濕度RH來計算,關系式為

2.1.2 薩斯塔莫寧(Saastamoinen)模型

薩斯塔莫寧模型[6-9]把地球的大氣分為3層:對流層是從地面到10 km左右高度處的對流層頂,其氣體溫度假設為6.5℃/km遞減率;第二層是對流層頂到70 km左右的平流層頂,其中把大氣溫度假設為常數;70 km以外是電離層,大氣折射改正的基本數學表達式為

在對上式積分時,Saastamoinen模型主要貢獻是首次把被積函數按照天頂距三角函數進行展開逐次進行積分,得到大氣天頂延遲改正為

其中,P0、T0、e0、rh、f(φ,h)、φ和h分別為地面氣壓(mbar)、地面溫度(°C)、地面水氣壓(mbar)、相對濕度(0～1)、地球自轉所引起重力加速度變化的修正、臺站的地心緯度(°)和測站大地高(km)。

薩斯塔莫寧(Saastamoinen)模型可以計算斜延遲的校正公式為

由于在實際應用中,上式不便于實時快速計算,在保證其適用精度的前提下,對上式進行擬合化簡,擬合化簡后的薩斯塔莫寧(Saastamoinen)模型為

式中:

E為仰角(°);Ps是測站氣壓mbar;Ts是測站氣溫(絕對溫度);es是測站水氣壓mbar。

當沒有實測氣象數據時,利用 Hopfield和Saastamoinen模型計算對流層天頂延遲所需的氣象參數可以利用加拿大新布朗斯威克大學開發的DIPOP軟件中的設置[10]得到。

標準參考大氣參數,P0=1013.25 mbar,e0=11.691 mbar,T0=288.15K,h為海拔高(m)。

2.1.3 勃蘭克(Black)模型

霍普菲爾德(Hopfield)模型沒有考慮信號傳播的路徑彎曲,H.D.Black于1978年,在霍普菲爾德(Hopfield)模型的基礎上加入路徑彎曲之后,給出了勃蘭克(Black)模型的表達式

式中:

其中,rs=R0+hs;R0為地球半徑;l0和路徑彎曲改正因子b(E)由下式確定:

式中的溫度均采用絕對溫度,單位為K;P、es的單位為mbar;Δ S、hd、hs以m為單位;仰角E以度(°)為單位。

2.1.4 WAAS系統對流層修正模型

對流層延遲隨溫度、壓力和相對濕度而變。對于對流層延遲,接收WAAS信號的接收機采用測定隨季節變化的平均信號延遲(對于仰角大于5度(°)的衛星有效),計算如下

式中:h是用戶的海拔高度(單位m);φ是用戶所處的緯度(單位°);d是一年內的天數。其它參數如下:

WAAS對流層模型是用溫度、壓力和相對濕度測量值所獲得的精度和用地球折射率全球平均值所獲得的精度之間的折衷產物。根據地球表面的全球平均折射率估計的延遲會產生誤差,誤差的標準偏差大約是真實延遲的8%。如果把用戶的緯度、海拔高度、季節和仰角都考慮進去,對于對流層延遲估計值改善25%來說,這個標準偏差可降到6%。

2.1.5 EGNOS系統對流層修正模型

EGNOS模型是歐盟的EGNOS(the European Geo-stationary Navigation Overly System)所采用的對流層天頂延遲改正模型。EGNOS系統用經典的經驗公式來計算對流層延遲,其最大好處是計算天頂延遲時,不需要實測的氣象數據。該模型提供計算對流層天頂延遲所需的5個氣象參數(氣壓、溫度、水蒸汽壓、溫度下降率、水蒸汽下降率),它們在平均海平面上的時空變化僅與緯度和年積日有關,且其年變化呈余弦函數,每個參數余弦函數的相位固定(最小值的年積日北半球取為28日,南半球為211日),余弦函數的振幅和年平均值由氣象資料擬合求得。

接收機的對流層天頂延遲的計算是:先由接收機的緯度和觀測日期求得平均海平面的5個氣象參數,則可計算相應的平均海平面的天頂延遲,然后由接收機的高程計算接收機處的對流層天頂延遲.EGNOS模型能較好地描述平均對流層延遲,其數學模型如下:

由平均海平面的天頂延遲計算接收機處的天頂延遲:

式中:ddry是天頂的“干”空氣延遲;dwet是天頂“濕”空氣延遲;Zdry是平均海平面的“干”空氣延遲;Zwet是平均海平面的“濕”空氣延遲;H是接收機對海平面的高度(m);T是平均海平面的溫度(K);β是溫度下降率(K/m);λ是水蒸汽濕度下降率;g=9.80665 m/s2;Rd=287.054 J/Kg/K。

平均海平面的“干”空氣延遲:

平均海平面的“濕”空氣延遲:

式中:k1=77.604 K/mbar;k2=382000 K2/mbar;gm=9.784 m/s2;P是平均海平面氣壓(mbar);e是平均海平面水氣壓(mbar)。

平均海平面的氣象參數P、T、e、β、λ的計算公式:

其中:ξ(φ,D)為5個氣象參數,它僅與接收機的緯度 φ和觀測的日期D(年積日)有關;ξ0(φ)為各氣象參數的年平均值;Δ ξ(φ)為各氣象參數的季節變化值;Dmin為各氣象參數的年變化的最小值的日期(北半球Dmin=28,南半球Dmin=211)。

可由在緯度范圍(φ+Δ φ,φ-Δ φ)內的全球(或某區域)平均海平面的各氣象參數擬合求得.表1和表2分別列出了不同緯圈5個氣象參數的年平均值和季節變化值。

表1 平均值

表2 季節性變化

2.2 利用映射函數計算對流層延遲

電磁波在對流層傳播速度延遲的計算方法一般可用天頂延遲值與衛星高度角的投影函數兩部分的乘積求得,即:

天頂延遲值的確定一般采用Saastamoinen模型結合隨機過程參數估計的方法,精度較高;而投影函數是一種經驗模型,其精度取決于母模型的精度和實地觀測資料的情況。以下詳細列舉了CFA模型、Chao模型、Mtt模型、Marini&Murray模型、Niell模型、和GMF模型的投影函數公式,用以計算對流層延遲。

由大氣物理的有關知識,大氣折射率N分為干分量和濕分量兩部分。即對流層延遲由干氣延遲和濕氣延遲兩部分組成。干氣延遲占總延遲的80%～90%,比較有規律,在天頂方向約1%的精度估計;但濕氣延遲比較復雜,影響因素也比較多,目前只能以10%～20%的精度估計。式(18)可以改寫成用天頂方向的干、濕延遲分量及相應的映射函數來表示:

式中:Δ dz,d、Δ dz,w分別為天頂方向的干、濕延遲分量;md(E)、mw(E)分別為與高度角E有關的映射函數。

采用Saastamoinen模型的天頂干濕延遲為

式中,P、es、Tk分別為測站的大氣壓(mbar)、水氣壓(mbar)、絕對溫度(K)。

f(B,H)為測站緯度B和高程H的函數,f(B,H)=1-0.00266cos2B-0.00028H

這樣,選擇合適的函數后,由式(19)、(20)、(21)式即可求得傳播路徑上的對流層折射改正數。

2.2.1 CFA2.2映射函數模型

CFA2.2映射函數式Davis等人于1985年在Marin連續性映射函數的基礎上改進得來的,它一直廣泛應用于VLBI和GPS等空間技術中。該模型中的系數式從雙層射線跟蹤分析得出的,當高度角大于5°時,模型具有5 mm的精度[18]。

CFA2.2模型[14]的干濕分量映射函數相同,為

式中:

2.2.2 Chao映射函數模型

Chao給出了一個二次連分投影函數,其經驗系數取自無線電探空資料所計算的射線結果,曾一度被廣泛采用。其映射函數形式為

對于干分量的映射函數,式(23)中的常數A=0.001433,B=0.0445;對于濕分量,式(23)中的常數A=0.00035,B=0.017.

2.2.3 Mtt模型映射函數

Mtt模型[17]的映射函數形式為

對于干分量的映射函數,式(24)中:

對于濕分量的映射函數,式(24)中,

2.2.4 Marini&Murray模型的映射函數

Marini&Murray模型[15-16]是常參數連分式映射函數中,使用等溫假設下的指數大氣模型。其映射函數干濕分量映射函數相同,為

式中:

B為Saastamoinen的總延遲值公式,如式(8)所示。

2.2.5 NMF模型映射函數

Niell應用了26個全球分布的探空氣球資料,建立了在無線電波長上的一個“全球大氣延遲投影函數”,稱為 NMF模型[12]。相比于其他模型,NMF加入了一個投影函數改正量Δ MF(el),且其中的系數a,b,c表示為與測站地面氣象記錄完全不相關的測站地理緯度φ、地理高度和年積日(d)的函數。

模型干分量

式中:

令x=a,b,c,則式(27)中相關系數可表示為

另外,

模型濕分量

其中,式(27)中的干項系數adry、bdry、cdry,式(29)中 的 系 數 均值 ˉxdryavg(φ)、系 數速率式(30)中的高度改正,以及式(31)中的aht、bht、cht3個濕項系數均可由按緯度查詢的表中得到,詳表可參見文獻[6]。

2.2.6 GMF模型映射函數

NMF模型是建立在北半球分布的一年中的電波資料基礎上的,該模型的空間和時間變量只受緯度和季節影響。由于沒有其他客觀的數據,該經驗模型的模擬過程顯得過于簡單化。而GMF模型是采用數值天氣模型(NWM)提供的高精度全球對流層折射率來解算延遲量,其參數是建立在15°×15°全球格網及WCMWF(歐洲中期天氣預報中心)提供的40年氣壓、溫度和濕度分析數據基礎上的[13],并且考慮到測站經度對解算的影響,但模型較為復雜。

干分量

式中:

其中,當測站處于北半球,即φ≥0,則phh=0;ch1=0.007;ch0=0.002;當測站處于南半球,即 φ≤0,則phh=π;ch1=0.005;ch0=0.01

式中:aht=2.53×10-5;bht=5.49×10-3;cht=1.14×10-3。

濕分量

其中,系數ahm、bhm、aha、bha、awm、bwm、awa和bwa均可查表確定。

3 結 論

對流層延遲誤差在GPS的精確定位中不容忽視,本文對對流層模型進行比較全面的介紹,對計算模型方法進行分類并給出相應模型公式,對模型應用也給出了必要的說明。其實,估算對流層誤差最有效的方法是先在每點上估算對流層延時,然后按每時段去求平均值。具體應用以上誤差模型還要根據實際情況和數據的處理情況決定。對流層的時延誤差主要影響高程精度,兩點之間高差越大,對流層誤差越大。目前,對流層延遲的研究進展主要有反映水平不均勻的映射函數和基于數值天氣預報的映射函數等,其對流層誤差依然是提高GPS測量高程分量精度的主要障礙,研制出更精確的對流層模型是今后GPS科技工作者的一項重要任務。

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