深化反思過(guò)程提升數(shù)學(xué)思維能力

案例：

筆者曾聽過(guò)《找規(guī)律——搭配問(wèn)題》一課，一個(gè)問(wèn)題情境：玩具店里有4個(gè)木偶，2頂帽子，小明要買一個(gè)木偶，再配上一頂帽子，一共有多少種搭配方法?教學(xué)時(shí)，教師讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)自己的想法：學(xué)生有的是用準(zhǔn)備的學(xué)具邊擺邊記錄；有的是在紙上畫一畫，連一連；有的是通過(guò)推理計(jì)算得到答案等等。表面上看，學(xué)生經(jīng)歷了自主嘗試的過(guò)程，而實(shí)際上學(xué)生并沒(méi)有在這個(gè)過(guò)程中獲得更深層次的問(wèn)題解決的經(jīng)驗(yàn)。如果一個(gè)星期之后再來(lái)做這道題目，依然如此——每個(gè)學(xué)生還都停留在原先探究前的水平，既沒(méi)有獲得對(duì)解決問(wèn)題方法的清晰認(rèn)識(shí)，也沒(méi)有實(shí)現(xiàn)方法的有效融合。

同時(shí)也聽過(guò)同樣的一節(jié)課。在探究“2條褲子，4件上衣，一共有多少種搭配方法?”這個(gè)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生就采取了不同的方法：

方法1：用字母A、B表示褲子，用數(shù)字1、2、3、4表示上衣，然后有順序的列舉所有的搭配方法：A1、A2、A3、A4、B1、B2、B3、B4。一共有8種搭配方法。

方法2：用三角形表示褲子，用梯形表示上衣，用連線的方法數(shù)出一共有8種方法。

方法3：每條褲子有4種搭配上衣的方法，兩條褲子就有兩個(gè)4種，2×4=8種。

三種方法，第一種是借助符號(hào)思維，第二種方法是借助圖形思維，第三種方法是借助邏輯推理，我們并不能說(shuō)哪一種方法比哪一種方法好，不同的方法體現(xiàn)出學(xué)生不同的智能組型，第2種歸屬于空間智能，第3種歸屬于數(shù)學(xué)邏輯智能，第1種是這兩種智能組型的綜合運(yùn)用。教師尊重學(xué)生的差異，才能促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，才能促進(jìn)學(xué)生“問(wèn)題解決”能力的共同提高。

一、反思探究過(guò)程．促進(jìn)解決問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)的系統(tǒng)化

弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)來(lái)自直覺(jué)，而分析直覺(jué)理解的原因是通向證明的道路。這就是說(shuō)：學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中獲得經(jīng)驗(yàn)，必須借助反思，他們才能有意識(shí)地了解自身行為后面潛藏的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，才能使學(xué)生的思維真正深入到數(shù)學(xué)化的過(guò)程之中，才能切實(shí)提高學(xué)生問(wèn)題解決的水平。

例如上述案例，問(wèn)題解決后就可以設(shè)計(jì)這樣三個(gè)問(wèn)題：1．怎樣搭配才能做到不重復(fù)不遺漏?2．搭配方法的總數(shù)和木偶的個(gè)數(shù)與帽子的頂數(shù)有什么關(guān)系?3．為什么會(huì)存在這樣的關(guān)系?通過(guò)追問(wèn)和反思，學(xué)生不僅明確了搭配的策略一先固定一個(gè)物體，然后用另一個(gè)物體與它搭配。做到按部就班，才能有條不紊。而且理解了搭配問(wèn)題的計(jì)算方法一兩種搭配物體的個(gè)數(shù)相乘的積等于搭配的總數(shù)，做到知其然，知其所以然。“問(wèn)題解決”的能力在反思中獲得了實(shí)實(shí)在在的提高。

二、反思探究結(jié)果。形成解決問(wèn)題策略

學(xué)生探究結(jié)果的表達(dá)方式不同，反映出學(xué)生不同的思維水平，教師不能僅僅關(guān)注探究結(jié)果的正確與否，更要借助結(jié)果的表達(dá)，透視學(xué)生的思維，進(jìn)而在對(duì)話交流中形成更加優(yōu)化的解決問(wèn)題的策略。例如我在教學(xué)“寫出36的所有因數(shù)”時(shí)。學(xué)生得到結(jié)果時(shí)出現(xiàn)了以下三種表達(dá)方式：

a．3、6、12、9、4、l、36

b．1、2、3、4、6、9、12、18、36

c．1、36、2、18、3、12、4、9、6

我出示了這三個(gè)同學(xué)的結(jié)果，讓全班同學(xué)一起來(lái)反思他們是怎樣思考的。在交流中學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)到：第一種方法思維比較亂。容易遺漏；第二種方法能夠按照從小到大的順序去尋找，不會(huì)出現(xiàn)重復(fù)和遺漏；第三種方法不僅按照從小到大的順序?qū)ふ摇６夷軌蛞粚?duì)一對(duì)地尋找，能夠提高解決問(wèn)題的速度。在這樣的集體反思中。學(xué)生在求一個(gè)數(shù)的因數(shù)時(shí)就會(huì)形成“有序?qū)ふ摇焙汀俺蓪?duì)尋找”的策略。

三、反思錯(cuò)誤根源．生成新的教學(xué)資源

在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，錯(cuò)誤是難免的，很多時(shí)候出錯(cuò)并不是一件壞事，一些雖然錯(cuò)誤，但是是真實(shí)普遍的想法，如果能夠被老師及時(shí)捕捉，反而會(huì)成為難得的教學(xué)資源，并起到防微杜漸的作用。因此，在教學(xué)中，要鼓勵(lì)學(xué)生真實(shí)地表達(dá)自己的錯(cuò)誤想法，并引導(dǎo)其他學(xué)生探究這種錯(cuò)誤的根源，進(jìn)一步提升全班同學(xué)的解決問(wèn)題的水平。

教師對(duì)于“問(wèn)題解決”要有一個(gè)完整的視角，既要關(guān)注“問(wèn)題的解決”，也要關(guān)注“問(wèn)題的理解和反思”，既要關(guān)注問(wèn)題解決的結(jié)果的鞏固與強(qiáng)化，更要關(guān)注問(wèn)題解決過(guò)程中“思維的提升”。要清晰地認(rèn)識(shí)到問(wèn)題不同，解決的難點(diǎn)也會(huì)因此不同。