如何判斷函數的單調性

函數的單調性是函數的一個重要性質，學會判斷函數的單調性對學生來說尤為重要。函數單調性的定義是我們判斷函數單調性的主要依據。

一、判斷函數單調性的幾種方法

1.定義法：一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D上的任意兩個自變量的值x1■，x■2，當x1＜x■2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說函數f(x)在區間D上是增函數；對于定義域I內的某個區間D上的任意兩個自變量的值x1■，x■2，當x1>x■2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數f(x)在區間D上是減函數。

2.復合函數法：（1）f(x)與g(x)都是增（減）函數，它們的和仍為增（減）函數；一個增（減）函數與一個減（增）函數的差為增（減）函數。

（2）如果y=f(u)和u=g(x)單調性相同，那么y=f［g(x)］是增函數；如果y=f(u)和u=g(x)單調性相反，那么y=f［g(x)］是減函數。

3.結論法：（1）奇函數在對稱的兩個區間上單調性相同，偶函數在對稱的兩個區間上單調性相反。

（2）互為反函數的兩個函數在各自的區間上單調性相同。

4.導數法：以導數知識為工具，研究函數單調性，導數提供了簡單程序化的方法，具有普遍的可操作性。

二、例題分析

例1 設f(x)=ex■+e-x■，求證： f(x)在(0，+∞)上是增函數。

證明：設0

=（e■-e■）+（■-■）

=e■（e■）■

由x1>0，x2>0，x2-x1>0，x1+x2>0，e■－1>0，1-e■<0

所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)

點評 對于一個具體的函數，可用定義法判斷函數單調性，其一般步驟是：

（1）在區間內任取值；

（2）作差；

（3）變形；

（4）定號；

（5）下結論。

例2 確定函數f(x)= ■的單調性。

解：函數f(x)的定義域為(-∞，1)∪(1，+∞)， 且f′(x)= ■

令f′(x)=0，解得實根x1=0、x2=3，列表如下：

■

可知，f(x)在區間（-∞，1）∪（3，+∞）是單調增加的，在（1，3）內是單調遞減的。

點評 利用導數求函數的單調性的步驟是：

（1）確定f(x)的定義域；

（2）求導數f′(x)；

（3）在函數f(x)的定義域內解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；

（4）確定f(x)的單調區間，若在函數式中含有字母系數，往往要分類討論。

例3 已知f(x)＝８＋２x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x)（）

A.在區間（-1，0）上是減函數

B.在區間（0，1）上是減函數

C.在區間（-2，0）上是增函數

D.在區間（0，2）上是增函數

解：函數g(x)是由f(u)=8+2u-u2和u=2-x2復合而成的。

又f(u)=8+2u-u2在u∈［1，＋∞）上遞減，在x∈(－∞，１］上遞增；

u=2-x2上x∈［０，＋∞）上為減函數，在x∈（－∞，０］上為增函數。

當u≥1時，得-1≤x≤1。

當u≤1時，得x≥1或x≤-1。

由此可得，函數g(x)在-1≤x≤0或x≥1時為減函數，

函數g(x)在x≤－1或０≤x≤１時為增函數；故選A。

(作者單位：江西省南昌縣蓮塘第二中學)

責任編輯：周瑜芽