含參數不等式恒成立問題探討

在高中數學教學中，經常碰到求解含參數不等式在某個區間上恒成立而求參數取值范圍的題目。有些題目難度較大，學生往往無從下手。在此，我據實踐歸納出幾種常見題型的解法。

一、能夠分參數的盡量分離參數求解

含參數不等式在某個區間恒成立，如果能夠分離參數成a>f(x)（或af(x)■（或a

例1 已知x2－2ax+3a+4>0在x∈［2，6］上恒成立，求參數a的取值范圍。

分析此題很容易把參數a進行分離，且分離出來的含變量x的函數也較易求最值。

解先分離參數可得a<■，令f(x)=■，所以f ′(x)=■，

所以可知函數y=f(x)在區間［2，4］上單調遞減，在區間［4，6］上單調遞增，

所以f(x)■=f(4)=4，所以參數a的取值范圍為：(－∞，4)。

二、不能夠分參數的可根據函數本身的特征求解

含參數不等式恒成立問題如果不能分離參數時，可以考慮用變量本身所滿足的函數特征求解。一般考慮該函數在區間上的最大值或最小值，即可求解。

例2 已知2x2－4(a－1)x－a2+2a+9>0在x∈［－1，1］上恒成立，求參數a的取值范圍。

分析本題不能對參數a進行分離，則設f(x)=2x2－4(a－1)x－a2+2a+9，不等式恒成立就轉化為求函數f(x)=2x2－4(a－1)x－a2+2a+9在區間［－1，1］的最小值大于0即可。

解因為函數f(x)=2x2－4(a－1)x－a2+2a+9的開口向上，對稱軸為x=a－1，所以討論如下：

①當a－1<－1，即a<0時，f(x)■=f(-1)－a2+6a+7>0，得－1

②當－1≤a－1≤1，即0≤a≤2時，f(x)■=f(a-1)=－3a2+6a+7>0，所以0≤a≤2。

③當a－1>1，即a>2時，f(x)■=f(1)=－a2－2a+15>0，得－5

綜上可知－1

三、利用函數圖像及性質求解

含參數不等式恒成立問題中有些既不好分離參數，又不好根據函數本身的特征求其最值來解，這類恒成立問題可以把原不等式分成兩個基本函數形式，然后利用基本函數在某個區間上的圖像的位置關系求解。

例3 已知不等式(x－１)２－log■x<0，x∈(1，2)恒成立，求實數a的取值范圍。

分析此題中參數a不好分離，函數f(x)=(x－１)２－log■x■，x∈(1，2)的最大值也不好求解，所以要求參數a的取值范圍，可以利用函數圖像求解。

解令f(x)=(x－１)２，g(x)=log■x■，則f(x)

練習

1.已知不等式x2-ax+1>0在x∈(0，5]上恒成立，求a的取值范圍。

2.已知不等式x2-ax-6>0在a∈(-1，5]上恒成立，求x的取值范圍。

3.已知不等式■>log■x-1恒成立，求a的取值范圍。

參考答案：

1.可根據分離參數a進行求解，a<(x+■)min=2。

2.可設f(a)=-xa+(x2-6)，則f(-1)=x+(x2■-6)>0f(5)=-5x+(x2-6)>0，所以：x<-3或x>6。

3.可分別畫出y=■和y=log■x-1的圖像，根據圖像可得：a>2。

(作者單位：江西省新建縣第二中學)

責任編輯：周瑜芽