運(yùn)籌學(xué)中運(yùn)輸問(wèn)題求解算法及其擴(kuò)展研究

王廣民，馬林茂，李蘭蘭(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢）經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，湖北 武漢430074）

運(yùn)輸問(wèn)題是社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活和軍事活動(dòng)中經(jīng)常出現(xiàn)的優(yōu)化問(wèn)題，是特殊的線性規(guī)劃問(wèn)題，它是早期的線性網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)化的一個(gè)例子。最早研究這類問(wèn)題的Hitchcock[1]以及后來(lái)的Koopmans[2]獨(dú)立地提出運(yùn)輸問(wèn)題并詳細(xì)地對(duì)該問(wèn)題加以討論；同時(shí)Канторович[3]也圍繞著運(yùn)輸問(wèn)題作了大量的研究，因此運(yùn)輸問(wèn)題又稱為Hitchcock問(wèn)題或Kantorovich問(wèn)題。運(yùn)輸問(wèn)題不僅代表了物資合理調(diào)運(yùn)、車輛合理調(diào)度等問(wèn)題，有些其他類型的問(wèn)題經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換后也可以歸結(jié)為運(yùn)輸問(wèn)題，如指派問(wèn)題、最短路問(wèn)題、最小費(fèi)用流問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為運(yùn)輸問(wèn)題或轉(zhuǎn)運(yùn)問(wèn)題。

運(yùn)輸問(wèn)題在運(yùn)籌學(xué)教學(xué)過(guò)程中占有重要地位，并且得到了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注，取得了許多重要的研究成果。但在常用的運(yùn)籌學(xué)教材中僅僅介紹運(yùn)輸問(wèn)題的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)于運(yùn)輸問(wèn)題的前沿發(fā)展沒(méi)有涉及，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能反映當(dāng)前對(duì)運(yùn)輸問(wèn)題的深入研究。為此，筆者在介紹運(yùn)輸問(wèn)題的基本理論和方法的基礎(chǔ)上，運(yùn)用綜述文獻(xiàn)的方法介紹運(yùn)輸問(wèn)題的研究進(jìn)展?中國(guó)地質(zhì)大學(xué)研究生培養(yǎng)模式與教學(xué)改革項(xiàng)目(CUGYCXK0813）。。

1 運(yùn)輸問(wèn)題及其求解算法

1．1 運(yùn)輸問(wèn)題

設(shè)某物資有m個(gè)產(chǎn)地Ai（i=1，2，…，m），其產(chǎn)量分別為ai（i=1，2，…，m）；有n個(gè)銷地Bj（j=1，2，…，n），其銷量分別為bj（j=1，2，…，n）；從Ai到Bj運(yùn)輸單位物資的運(yùn)價(jià)（單價(jià)）為cij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），如表1所示，試求總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案。

表1 運(yùn)輸問(wèn)題

但是一般來(lái)說(shuō)，產(chǎn)銷平衡總不一定能夠滿足，所以可以通過(guò)下面2種方法將不滿足產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸模型。

1．2 求解算法

1）表上作業(yè)法 傳統(tǒng)運(yùn)輸問(wèn)題的類型是線性、單目標(biāo)、平衡、二維問(wèn)題，由于它的約束方程組的系數(shù)矩陣具有特殊的結(jié)構(gòu)，因此一般使用表上作業(yè)法求解。表上作業(yè)法是單純形法在求解運(yùn)輸問(wèn)題時(shí)的一種簡(jiǎn)化方法，其實(shí)質(zhì)是單純形法[4-5]。并且有許多學(xué)者對(duì)該方法進(jìn)行了深入研究，如陳紹順等[6]提出了最小損失閉回路調(diào)整法；張鳴龍[7]指出當(dāng)運(yùn)輸問(wèn)題的基可行解出現(xiàn)退化時(shí)，用閉合回路法和位勢(shì)法有時(shí)會(huì)出現(xiàn)算出某個(gè)檢驗(yàn)數(shù)為負(fù)，卻找不出調(diào)優(yōu)回路的現(xiàn)象。劉家學(xué)等[8]針對(duì)這一情況給出了判斷和尋找調(diào)優(yōu)回路的方法。但是表上作業(yè)法計(jì)算量龐大，且表上計(jì)算很難用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言編程計(jì)算來(lái)實(shí)現(xiàn)龐大計(jì)算量的求解，因此該法一般較適合于求解少量個(gè)數(shù)產(chǎn)銷地的運(yùn)輸問(wèn)題。

2）圖上作業(yè)法 圖上作業(yè)法就是要找出沒(méi)有對(duì)流和迂回的最優(yōu)運(yùn)輸方案，它是一種在交通路線圖上進(jìn)行編制調(diào)運(yùn)方案的方法，其基本思想：先找出一個(gè)沒(méi)有對(duì)流的初始方案，再檢查有沒(méi)有迂回，如果沒(méi)有迂回，該方案為最優(yōu)方案；如果有迂回，則調(diào)整這一方案，直至無(wú)迂回為止[9]。在有許多圈的交通圖中，若已求得一個(gè)無(wú)對(duì)流的方案，然后通過(guò)調(diào)整舊方案，可以盡快得到最優(yōu)方案。文獻(xiàn) [10]引入迂回?cái)?shù)的概念，根據(jù)運(yùn)輸量減少最快的思想，得到了改進(jìn)的圖上作業(yè)法能盡快得到最優(yōu)方案。圖上作業(yè)法雖然簡(jiǎn)便易行，但是遇到線路復(fù)雜的情況時(shí)，用計(jì)算機(jī)程序解決會(huì)有許多困難。而且圖上作業(yè)法找到的最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案，可能平均運(yùn)費(fèi)值最小，但總的運(yùn)費(fèi)不一定最小。

3）智能算法 目前用于求解運(yùn)輸問(wèn)題的智能算法主要是遺傳算法和Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法。

遺傳算法在運(yùn)輸問(wèn)題中的應(yīng)用主要有平衡非線性運(yùn)輸問(wèn)題[11]、雙目標(biāo)運(yùn)輸問(wèn)題及多目標(biāo)三維運(yùn)輸問(wèn)題[12]、產(chǎn)銷不平衡運(yùn)輸問(wèn)題[13]。然而這些算法具有速度慢，交叉變異算子全局搜索能力差等缺點(diǎn)，而且還不能直接求解實(shí)數(shù)問(wèn)題。因此，張美玉等[14]提出一種新的進(jìn)化算法，該算法在GA操作的基礎(chǔ)上，引進(jìn)差異進(jìn)化[15]的思想，增加了重組操作，并結(jié)合變異操作，以增強(qiáng)全局搜索能力，同時(shí)能在理論上確保LTP約束條件的滿足。文獻(xiàn) [16-17]則采用自適應(yīng)偽并行遺傳算法求解三維運(yùn)輸問(wèn)題。

Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在運(yùn)輸問(wèn)題中的應(yīng)用主要有物資調(diào)配優(yōu)化問(wèn)題[18]，物流配送運(yùn)輸規(guī)劃算法[19]，以及文獻(xiàn) [20]利用Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中能量函數(shù)的概念和含義確定網(wǎng)絡(luò)電路的參數(shù)并證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

雖然智能算法在求解優(yōu)化問(wèn)題上有傳統(tǒng)方法不可比擬的優(yōu)勢(shì)，而且在求解運(yùn)輸問(wèn)題上取得了成功的應(yīng)用，但是它們也有自身的缺陷。因此很難用它來(lái)描述層次化的問(wèn)題，也就不能描述計(jì)算機(jī)程序，從而缺乏動(dòng)態(tài)可變性。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)易收斂于局部最優(yōu)解且?guī)в幸欢ǖ?“黑箱”操作，在一定程度上限制了它的應(yīng)用。

2 運(yùn)輸問(wèn)題的擴(kuò)展

2．1 單目標(biāo)運(yùn)輸問(wèn)題

1）帶時(shí)間約束的運(yùn)輸問(wèn)題 傳統(tǒng)的運(yùn)輸問(wèn)題是在給定的條件下，求總運(yùn)費(fèi)最少的運(yùn)輸方案。但是在特殊情況下，如戰(zhàn)時(shí)軍用物資的運(yùn)輸，搶險(xiǎn)救災(zāi)物資的運(yùn)輸?shù)龋滓紤]的應(yīng)該是在最短的時(shí)間內(nèi)把物資運(yùn)送到所需要的地點(diǎn)，即運(yùn)輸?shù)臅r(shí)效性，其次才是運(yùn)輸費(fèi)用的問(wèn)題。這類問(wèn)題稱為帶時(shí)間約束的運(yùn)輸問(wèn)題。1989年，Hammer[21]就提出了時(shí)間最小化的運(yùn)輸問(wèn)題。1997年，白國(guó)仲[22]把這類帶時(shí)間約束的運(yùn)輸問(wèn)題總結(jié)為B運(yùn)輸問(wèn)題，并給出了B運(yùn)輸問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型及其解法——表上作業(yè)法。然而表上作業(yè)法過(guò)程繁瑣，計(jì)算量大，在實(shí)際中不易于掌握和應(yīng)用。后來(lái)很多學(xué)者在此基礎(chǔ)上又提出了一些改進(jìn)算法。賈春玉等[23]等利用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)方法把多目標(biāo)規(guī)劃法簡(jiǎn)化為單一目標(biāo)，簡(jiǎn)化為傳統(tǒng)運(yùn)輸問(wèn)題模型，給出了一種帶時(shí)間約束運(yùn)輸問(wèn)題的簡(jiǎn)便解法。陸朝榮，朱煥勤[24]等分析了有嚴(yán)格時(shí)間限制的大宗物資運(yùn)輸車輛配置問(wèn)題的特點(diǎn)，對(duì)各需求點(diǎn)時(shí)間限制進(jìn)行排序、分級(jí)，將問(wèn)題分為若干個(gè)階段，建立了任一階段的整數(shù)目標(biāo)規(guī)劃模型，采用序貫式算法求解模型。董麗，林琳[25]等提出了基本最短時(shí)限運(yùn)輸問(wèn)題的一個(gè)推廣模型，即運(yùn)輸時(shí)間與運(yùn)輸量相關(guān)的最短時(shí)限運(yùn)輸問(wèn)題，把時(shí)間函數(shù)推廣到單調(diào)遞增函數(shù)，并針對(duì)這種推廣模型建立了多項(xiàng)式時(shí)間算法。程國(guó)忠[26]，莫松海和喻曉峰[27]提出利用連續(xù)Hopfield網(wǎng)絡(luò)求解B運(yùn)輸問(wèn)題。

2）帶容量限制的運(yùn)輸問(wèn)題 傳統(tǒng)的運(yùn)輸問(wèn)題只含有資源和需求2個(gè)約束，但在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中往往還需要考慮運(yùn)輸容量的限制。1955年，Haley[28]首次提出了不同的運(yùn)輸方式有不同的容量限制的運(yùn)輸問(wèn)題，并稱之為立體運(yùn)輸問(wèn)題。在近幾十年的發(fā)展中基于確定和不確定環(huán)境的立體運(yùn)輸問(wèn)題的解法和算法不斷涌現(xiàn)，比較代表性的有：模糊立體運(yùn)輸問(wèn)題(FSTP）[29]及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法[30]和遺傳算法[31]具有模糊權(quán)重的立體運(yùn)輸問(wèn)題的可信性理論和機(jī)會(huì)測(cè)度理論[32]。1959年，Wagner[33]又提出了變量有界的運(yùn)輸問(wèn)題，即每條運(yùn)輸路線上都有其容量限制。最初，學(xué)者們大多采用各類推廣的對(duì)偶算法和表上作業(yè)法來(lái)求解該模型[34-35]。文獻(xiàn) [36-39]也是在求解一般運(yùn)輸問(wèn)題的方法基礎(chǔ)上，各自提出了變量有上界的運(yùn)輸問(wèn)題的解法。而董鵬等[40]，薛強(qiáng)等[41]提出了一類帶配送中心運(yùn)輸問(wèn)題的容量擴(kuò)張模型，采用一種構(gòu)造輔助網(wǎng)絡(luò)的方法：在運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中將每個(gè)配送中心均拆分成2個(gè)點(diǎn)，連接2點(diǎn)形成新弧，構(gòu)造出新的網(wǎng)絡(luò)，給每條弧賦予參數(shù)，將此類運(yùn)輸問(wèn)題轉(zhuǎn)換為最小費(fèi)用流模型來(lái)解決，并在此基礎(chǔ)上，考慮運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)中配送中心的容量擴(kuò)張問(wèn)題，簡(jiǎn)化了運(yùn)算。Yang等[42]，Simampo等[43]也研究了關(guān)于容量擴(kuò)展的運(yùn)輸問(wèn)題。

2007年，白國(guó)仲等[44]提出了一種有效的求解變量有界運(yùn)輸問(wèn)題的新方法，其基本思想是：用類似最小元素法確定初始解，即就近供應(yīng)，但限制變量的取值范圍，對(duì)于可能超過(guò)上界約束的情況，用拆分銷地并限制其銷量的方法加以控制；得到最優(yōu)解后將拆分的銷地合并，若合并后各變量的取值均未超過(guò)上界，就得到原問(wèn)題的最優(yōu)解；若合并后各變量的取值有超過(guò)上界的，則進(jìn)一步拆分銷地，直到合并后各變量的取值均不超過(guò)上界為止。

3）其他幾類單目標(biāo)運(yùn)輸問(wèn)題 其他單目標(biāo)運(yùn)輸問(wèn)題還有灰色運(yùn)輸問(wèn)題[45-47]、D運(yùn)輸問(wèn)題[48-49]及帶轉(zhuǎn)運(yùn)中心的運(yùn)輸問(wèn)題[50-52]。

2．2 多目標(biāo)運(yùn)輸問(wèn)題

隨著運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展和貨運(yùn)量的增加，運(yùn)輸問(wèn)題變得越來(lái)越復(fù)雜。以總運(yùn)費(fèi)最小為優(yōu)化目標(biāo)的單目標(biāo)優(yōu)化模型得到的解，往往并不是決策者最滿意的解，人們希望得到的是多目標(biāo)的最優(yōu)解。目前解決多目標(biāo)運(yùn)輸問(wèn)題的算法主要有交互式算法[53]、模糊規(guī)劃法[54-55]、模糊折衷規(guī)劃方法[56-57]和遺傳算法[58-60]。

3 運(yùn)輸問(wèn)題的悖論

在產(chǎn)地、銷地、單位運(yùn)價(jià)均相同的情況下，運(yùn)輸總量增加，運(yùn)費(fèi)反而減少的情況稱為運(yùn)輸問(wèn)題悖論。文平等[61]討論了運(yùn)輸問(wèn)題悖論出現(xiàn)的條件，并指出造成運(yùn)輸問(wèn)題悖論出現(xiàn)的根本原因是產(chǎn)銷地的布局不合理，其表現(xiàn)是產(chǎn)銷地的單位運(yùn)價(jià)不合理。楊桂元[62]也探討了運(yùn)輸問(wèn)題 “悖論”存在的條件和表上作業(yè)法的調(diào)整方法，并指出了通過(guò)運(yùn)輸問(wèn)題數(shù)學(xué)模型挖潛的方法，最后給出了 “多反而少”現(xiàn)象存在的對(duì)偶條件。吳其苗[63]針對(duì)運(yùn)輸問(wèn)題的悖論，給出了數(shù)學(xué)解釋，并對(duì)運(yùn)輸問(wèn)題的悖論作出了經(jīng)濟(jì)解釋。

對(duì)于國(guó)民經(jīng)濟(jì)的重大運(yùn)輸問(wèn)題，在最優(yōu)運(yùn)輸計(jì)劃得到的前提下，還應(yīng)考察運(yùn)輸問(wèn)題悖論是否發(fā)生，實(shí)現(xiàn)運(yùn)輸計(jì)劃的再優(yōu)化。如果運(yùn)輸問(wèn)題悖論發(fā)生，能調(diào)整產(chǎn)銷地布局，就調(diào)整產(chǎn)銷地布局，不能調(diào)整產(chǎn)銷地布局，就對(duì)產(chǎn)銷地的運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵線路重建、改建，或適當(dāng)調(diào)整某產(chǎn)銷地的產(chǎn)銷量，使總運(yùn)費(fèi)下降，為國(guó)家節(jié)約更多的人力、物力、財(cái)力。

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