隨機事件的獨立性淺析

姚道洪，楊德志 (青島理工大學(臨沂)基礎課教學部，山東 臨沂 273400)

隨機事件的獨立性淺析

姚道洪，楊德志 (青島理工大學(臨沂)基礎課教學部，山東 臨沂 273400)

隨機事件的獨立性是概率論中特別重要的概念。從隨機事件獨立性的概念入手，多角度結(jié)合實例展開分析，闡述了隨機事件獨立性與互斥的關系，并結(jié)合條件概率與幾何概率對隨機事件獨立性的意義進行了探討。

隨機事件；獨立性；互斥；條件概率；幾何概率

1 隨機事件獨立性的定義

隨機事件的獨立性是概率論中特有的也是非常重要的一個概念。

定義1[1]2個隨機事件A與B，如果其中任何一個事件發(fā)生的概率不受另外一個事件發(fā)生與否的影響，則稱事件A與B是相互獨立的。

結(jié)合條件概率常常見到“事件B發(fā)生的概率不受事件A發(fā)生的影響”的對獨立性的解釋[2]，有時為了講的更清楚，也結(jié)合實例展開說明，如文獻[3]中講“顯然甲幣是否出現(xiàn)正面與乙?guī)攀欠癯霈F(xiàn)正面是互不影響的”。其實“影響”2字文學色彩更濃一些，單是從此2字上是很難弄明白獨立性概念。定義1的缺點正如前面所說，有局恨性，不易理解，在此不加討論。

定義2[2]設A，B是2隨機事件，如果滿足等式：

P(AB)=P(A)P(B)

則稱事件A，B相互獨立，簡稱A，B獨立。

定義3[2]設A，B，C是3個隨機事件，如果滿足等式：

則稱事件A，B，C相互獨立。

對于以上定義，需注意以下幾點：

1)隨機事件的獨立性是指的事件概率的一種運算關系。從定義2中可以理解到，P(A)>0,P(B)>0時需滿足P(AB)=P(A)P(B)則稱A，B2事件相互獨立，在P(A)=0或P(B)=0時滿足P(AB)=P(A)P(B) 也指A，B2事件相互獨立，即不可能事件與其他任何事件都相互獨立。

2)要注意區(qū)分相互獨立與兩兩獨立。若是2個事件兩兩獨立，實際上就是指相互獨立，但多于2個事件時則不同，以3事件為例，兩兩獨立只是指滿足P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C)，沒有了條件P(ABC)=P(A)P(B)P(C)也就不能叫相互獨立了。

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) (i,j=1,2,…,n,且i≠j)

3)有一種理解是錯誤的：如果事件A與B是相互獨立的，則事件B發(fā)生(注：這里強調(diào)的是事件B發(fā)生，非事件B發(fā)生的概率)不受事件A發(fā)生與否的影響。

2 事件獨立性與互斥的關系

就獨立性與互斥而言，常常會被錯誤理解，認為二者都是一個發(fā)生與否與另一個不相干，2事件沒有關系也不能同時發(fā)生。互斥是指2隨機事件滿足A∩B=Φ。若A與B相互獨立且P(A)>0,P(B)>0，則P(AB)=P(A)P(B)>0，肯定不會有A∩B=Φ，即不但不能說明A∩B=Φ，恰恰能說明A∩B=Φ。當然了，如果A與B至少有一個是不可能事件，相互獨立仍然能夠說明互斥。

例4有2道單選題，記A1={第1道題答對}，A2={第2道題答對}，2事件是獨立事件，在2道題都不會的情況下亂猜答案，問只答對1道題的概率。

3 結(jié)合條件概率與幾何概率看獨立性

圖1 2事件獨立時反映的比例關系

如圖1:

依條件概率知道，一般地，若計算A1，A2，…，An這n個事件同時發(fā)生的概率，需這樣計算：P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)，所以計算起來相當繁瑣，每一個條件概率背后的實際意義可能會相當復雜，帶來的計算量也會非常大。如若能確保A1,A2,…,An這n個事件是相互獨立的，則只需利用P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)來計算，大大減小了計算量，這也是為什么在很多時候做科學實驗時，要力求做到條件相同如同氣候、同溫度、同濕度、同高度等情況下重復試驗，以此來確保各事件的獨立性。

[1]龔德恩.經(jīng)濟數(shù)學基礎(第3分冊)：概率統(tǒng)計[M].成都：四川人民出版社，2004.

[2] 鄭一，王玉敏，馮寶成.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：中國科學技術(shù)出版社，2007：33.

[3] 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2009：20-21.

[4]張福利.隨機事件獨立性的教學探討[J].產(chǎn)業(yè)與科技論壇，2010，9(8)：212-213.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.10.047

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1673-1409(2011)10-0140-03