三角函數最值問題的解題技巧

譚春林●

江蘇省南京市秦淮中學(211100)

三角函數最值問題的解題技巧

譚春林●

江蘇省南京市秦淮中學(211100)

三角函數最值問題一般涉足的范圍比較廣，因此對此類問題要力爭做到吃透.本文將通過一些實例，對三角函數最值問題的解題技巧進行深入的研究.

1.利用三角函數的有界性

解析 先經過三角恒等變形，得

點撥 通過例題可知，利用三角函數的有界性，一般需要把三角函數式作適當的變形，化為含有某一個三角函數式以后，再根據性質來判斷所給出三角函數的最值.

2.不等式法

所謂不等式法就是利用不等式求最值的知識進行解題.利用此方法，只需要我們能找出一個目標函數以及與題設條件都有關的不等式即可.但是需要我們特別注意的是在利用此方法求三角函數的最值時，使函數達到極值的自變量x必須在允許值的范圍之內，否則就會發生錯誤，這時就要重新考慮運用其他方法進行解題.

點撥 通過例題可以看出利用不等式法進行解題，即就是根據代數不等式a2+b2≥2ab(a>0,b>0)來解，但是在有些題目中僅僅運用此不等式是錯誤的，其原因在于當且僅當時未取等.此外除了應用一般不等式及定和、定積定理外，有時還需要結合函數的有界性、解二次不等式等知識進行解題.

3.換元法

換元法作為高中數學的最為經典的方法，其應用范圍很廣，其在解答三角函數的最值問題中也有很大的應用.換元法在三角函數的最值問題中的使用一般都是將三角函數的表達式中的函數進行整體代換，從而運用代數函數如二次函數等知識求最值.

點撥 從例題中可看出，應用換元法解題，其在解題過程中依舊蘊含其他的解題方法，因此學生對其他的解題方法也要深入了解.此外需要特別注意的是，換元不僅將變量換掉，也要將其對應的定義域換掉，這往往是學生最容易忽視的，也是使用換元法解題的易錯點.

綜上所述，在平常的學習或做題中無論是遇到求比較簡單三角函數式的最值，還是復雜的三角函數式，只要選擇正確的解題方法和技巧，并在解題過程中多加細心，就一定能實現高效的解題.

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1008-0333(2016)34-0020-01