基于大渦模擬和Kirchhoff積分方法的孔腔流動發聲機理分析

張 楠，沈泓萃，朱錫清，姚惠之

（中國船舶科學研究中心，江蘇 無錫 214082）

1 引 言

流經孔腔的非定常流動經常出現在與流體力學相關的眾多工業領域中。孔腔分陷入式與突出式兩大類。陷入式孔腔是一種經典模型，在流體力學領域常見的大都是陷入式孔腔，經過幾十年的試驗研究與理論分析，人們對其流體動力特性和聲學特性有了一定程度的認識。在實際工業應用中，一般都盡量避免出現孔腔流動，因為此時常伴有各類振蕩，能夠引起結構振動與疲勞，激發很強的噪聲，而且由于從孔腔中向外拋射較大尺度的渦而造成物體壓力脈動和阻力的急劇增加。孔腔流動包含了剪切層不穩定性，湍流與結構和流動噪聲之間的相互作用等流固耦合、流聲耦合復雜現象。由于流動和噪聲之間的時空特征尺度相差很大，從而給理論分析、數值模擬和試驗測量帶來了很大的挑戰。

在過去的五十多年里，這一類型的流動曾被廣泛地研究過，最初的工作是Roshko在1955年所做的試驗測量與分析[1]。Rossiter（1964）[2]給出了辨識流動模態振蕩頻率的公式，從而可以表征跨越孔腔開口處的混合層與壓力場之間的耦合。在隨后的歲月里，孔腔流激噪聲的試驗測量與數值預報在空氣動力學領域逐步得到普遍關注，人們對此進行了大量研究，而在水動力學領域中的研究卻相對較少。

近年來，在國際空氣動力學領域，數值預報孔腔流激噪聲并在數值預報的基礎上探索控制流激噪聲的措施逐漸成為研究的主流，而對于孔腔流激噪聲機理的研究較少，基本還停留在早期的認識上。在孔腔繞流數值模擬領域，以前的研究者都采用無粘流即求解歐拉方程的方法，后來發展到非定常RANS數值模擬，近年來出現大渦模擬（LES）和直接數值模擬（DNS）。在早期，在低馬赫數領域，研究者采用求解不可壓縮RANS方程的模擬方法，耦合求解聲學方程；在亞音速、跨音速和超音速狀態下，許多研究者求解的是可壓縮的RANS方程。隨后，特別是進入本世紀以來，人們開始采用大渦模擬方法以及直接數值模擬方法，來計算孔腔流動和遠場噪聲。

Rossiter（1964）[2]與 Rockwell和 Naudascher（1978）[3]分析了孔腔繞流的流動機理。 他們認為，流體流經結構表面開口時，導邊脫出自由剪切層撞擊腔口隨邊產生壓力反饋（pressure feedback），形成剪切層自持振蕩（self-sustaining oscillation、self-controlled oscillation）現象。孔腔自持振蕩可以分為三種類型：流體-動力（fluid-dynamic）振蕩、流體-共振（fluid-resonant）振蕩、流體-彈性（fluid-elastic）振蕩。 自持振蕩不但在腔內產生很強的振蕩壓力，還能發出很強的單頻音（tone）。某些情況下，流體動力振蕩可能與腔體的某階聲駐波共振的固有頻率相吻合，導致聲駐波的耦合共振（coupled resonance），從而引發強烈的聲輻射，稱為“哨音”（whistle），研究者也常把這種現象歸為“流聲耦合”（flow-acoustic coupling）現象中的一種（Knotts和 Selamet，2003）[4]。

長期以來，人們對于孔腔流激噪聲的認識還基本停留在對上述三種振蕩的一般理解上。近年來，水中孔腔流激噪聲問題越來越受到船舶研究者的關注，那么，對于水中孔腔的流激噪聲而言，這三種振蕩在流激噪聲形成的過程中各起到什么樣的作用，以及孔腔流激噪聲是如何向遠場傳播的，是亟待闡明的問題。本文在前期工作[5-6]的基礎上，利用大渦模擬計算流場，并結合Kirchhoff控制面積分分析了水中孔腔流激噪聲形成與傳播的機理。文獻[6]對于五種孔腔的流激噪聲進行了計算，并采用中國船舶科學研究中心大型循環水槽測量結果驗證了計算方法的可靠性，本文即針對文獻[6]中的五種孔腔進行機理分析。詳細的計算方法，包括大渦模擬方程與基于Kirhoff積分的FW-H方程遠場解的描述請參見文獻[7]，在此不再贅述。

圖1 4#與5#孔腔幾何與網格Fig.1 Geometry and surface grid of cavity 4＃&5#

2 孔腔流動發聲機理分析

2.1 孔腔流動自持振蕩分析

機理研究的目的在于揭示孔腔流激噪聲的成因，以便最終實現有效的控制，問題的關鍵就是建立微觀流動現象與宏觀噪聲響應間的聯系。Rossiter（1964）[2]將孔腔中的自持振蕩分為三種類型：動力振蕩、共振振蕩、彈性振蕩。下面我們就上述三種類型的振蕩逐一分析，找出本研究中孔腔流動輻射噪聲的來源。

首先，計算中采用的是剛性壁面，孔腔沒有變形，也不存在結構振動。試驗模型也進行了加固和剛性處理，通過加速度傳感器測量分析，可知也不存在結構振動。所以，那種由于結構變形和結構振動而引起的彈性振蕩在本研究中沒有出現，因而彈性振蕩的影響可以不予考慮。

其次，我們知道，當流體動力振蕩頻率與孔腔深度方向的某階聲駐波共振的固有頻率相吻合時，將發出極強的單頻音，產生聲駐波耦合共振，這種流/聲共振將產生強烈的輻射噪聲。

Rossiter（1964）[2]給出了辨識流體動力振蕩模態頻率的半經驗公式：

其中，U0為來流速度，L為孔腔沿流向的長度，M為馬赫數，n為模態階數，fn為模態頻率。

孔腔聲駐波共振的固有頻率為：

其中，C為環境聲速，L為孔腔沿流向的長度，H為孔腔深度，n為模態階數。

要注意的是水中聲速Cwater≈1 500m/s，水中航行體的運動都是低馬赫數或極低馬赫數下的運動（一般M≈0.001～0.02），再考慮到水中航行體上常見孔腔的尺寸，可知上述流體動力振蕩的模態頻率和聲駐波的固有頻率之間相差很遠，一般而言，不太可能出現上述的耦合共振，這是因為低馬赫數下流體擾動傳播波數不能與聲擾動傳播波數相匹配的原因所致。以2#孔腔為例，可以算得第一階fA=14.2Hz，fB=1230.4Hz；以4#孔腔為例，可以算得第一階fA=4.3Hz，fB=960.2Hz。可見fA與fB二者在數量級上相差甚遠，其他各階模態也有很大差異，不可能出現耦合共振。無論是從計算得到的孔腔流動輻射噪聲頻譜上，還是從試驗得到的孔腔流動輻射噪聲頻譜上，都沒有出現聲諧振尖峰，說明耦合共振現象不存在，因而共振振蕩的影響可以不予考慮。

綜上所述，可以肯定地講，本研究中孔腔發出的輻射噪聲完全是由于流體動力振蕩引起的。孔腔開口處存在自由湍流剪切層，孔腔周圍為不連續的壁面湍流邊界層，孔腔內為非定常的渦旋運動，它們三者相互作用，共同組成輻射噪聲的聲源。歸根到底，還在于三者所包含的脈動剪應力、脈動壓力與脈動速度，它們構成了最根本的偶極子聲源與四極子聲源，它們在輻射噪聲中所起的作用將在下面討論。

2.2 偶極子與四極子聲源對聲譜影響的辨識分析

許多聲學方面的經典著作都曾指出，從理論上分析，低馬赫數下四極子源的輻射效率很低，因而對于輻射噪聲的貢獻也很小，在總的輻射噪聲中常可忽略，但是他們也同時指出，這主要是針對高頻輻射噪聲而言的。對于本文所研究的孔腔繞流，試驗已經明確測量出流激噪聲，如果按照上述理論分析，忽略四極子源對噪聲的貢獻，那么必然要將成因歸結為低階聲源。文獻[8]指出，流體流過閥門、格柵、孔腔等主要含偶極子聲源。那么，對于孔腔噪聲而言，四極子源在總的輻射噪聲中占多少量級，四極子源對輻射噪聲頻譜又有哪些影響，是極待闡明的問題。本節在大渦模擬和聲學類比的理論基礎上，利用Kirchhoff控制面積分和物體壁面積分，分析了偶極子聲源和四極子聲源對流動輻射噪聲的影響以及各自所占的份額。

首先，FW-H方程提供了分析流激噪聲成因或分類的理論基礎：

·單極子噪聲：表征質量或體積力變化產生的噪聲，反映單極子流動現象。

·偶極子噪聲：表征表面力變化產生的噪聲，反映偶極子流動現象。

·四極子噪聲：表征Lighthill應力或雷諾應力變化產生的噪聲，反映四極子流動現象。

下面從FW-H方程右邊不同聲源的數學表達上進行探討，分析不同性質聲源的特征。

在單極子聲源的表達式方括號外含時間t的一階導數，不含空間導數。表達式方括號中顯含法向速度項，這說明只有當物面具有隨時間變化的法向速度時，即物面存在變形和移動時，此項才存在，否則該項不存在。因而對于水動力學領域而言，脈動空泡可作為單極子聲源。本文所研究的孔腔流激噪聲，固壁都是剛性的，且沒有隨時間的移位變化，所以沒有單極子聲源，下面也不再討論。

圖2 4#孔腔內采樣點位置Fig.2 Sampling positions in cavity 4#

圖3 P1點脈動量能譜Fig.3 Power spectrum of fluctuation quantities on P1

在偶極子聲源的表達式方括號外含空間的一階導數，不含時間導數。表達式方括號中顯含壓力項、剪應力項和速度項。本文所研究的孔腔流激噪聲，固壁都是剛性的，計算中滿足法向無穿透、切向無滑移的物面條件，所以偶極子聲源表達式中速度項的影響可忽略，僅剩下壓力與剪應力兩項。下面就采用大渦模擬方法，計算了如圖2所示的4#孔腔壁面上4個點上的脈動壓力和脈動剪應力，并做FFT變換，得到的能譜如圖3～6所示。

圖4 P2點脈動量能譜Fig.4 Power spectrum of fluctuation quantities on P2

圖5 P3點脈動量能譜Fig.5 Power spectrum of fluctuation quantities on P3

從圖3～6可知，孔腔內部的脈動壓力能量大于脈動剪應力能量。依照聲學經典理論可知偶極子源的輻射效率是確定的，因而從流動能向外場轉化為聲能的角度考慮，偶極子源表達式中壓力項對流激噪聲的貢獻要大于剪應力項的貢獻。

在四極子聲源的表達式中含空間的二階導數，不含時間導數。表達式中顯含壓力項、剪應力項和速度項。在低馬赫數下，這三項對于輻射噪聲影響的主次關系前人已經有了清晰的認識。Lighthill（1952）指出在低馬赫數下，粘性應力τij是由動量的分子輸運引起的，而雷諾應力ρuiuj則考慮了動量的非線性對流，可將 Tij簡化為 Tij=ρuiuj[9-10]。 Obermeier（1985）與 Morfey（2003）[11]已經在定性和定量上都證實了Lighthill的處理是完全正確的。所以，低馬赫數下四極子對噪聲的影響都可歸結到空間脈動速度的影響上。

在討論了三種聲源的性質之后，就利用Kirchhoff控制面積分（偶極子+四極子）和物體壁面積分（偶極子）定量辨識分析了兩種聲源對于流激噪聲頻譜的影響。分別計算了兩種聲源對于4#、5#孔腔聲譜的影響。計算結果見圖7～8。

圖6 P4點脈動量能譜Fig.6 Power spectrum of fluctuation quantities on P4

圖7 4#孔腔聲譜中的聲源成分Fig.7 Sound source effect in the spectrum of cavity 4#

圖8 5#孔腔聲譜中的聲源成分Fig.8 Sound source effect in the spectrum of cavity 5#

圖9 4#孔腔內采樣點位置Fig.9 Sampling positions in cavity 4#

從圖7～8可以明顯看出，由不同孔腔得到的結果都反映了同一個現象：即四極子源對于流激噪聲頻譜的影響主要在600Hz以下的低頻段，其對于頻譜有不同程度的增加，頻率越低越顯著；對于600Hz～10kHz的高頻段，幾乎沒有明顯影響，影響僅在1dB之內。這與經典聲學著作上的理論分析基本一致。在下一節中將對Lighthill應力張量進行頻譜分析，從而印證四極子源主要影響低頻段流激噪聲的結論。

2.3 Lighthill應力張量的頻譜分析

本節對于4#孔腔內外14個位置處的Lighthill應力張量能譜進行了大渦模擬計算，首先得到隨時間變化的時域信號，然后通過FFT變換得到頻譜。14個采樣點的位置如圖9所示。

通過計算發現，這9個分量的頻譜能量都集中在低頻，結論基本一致，為了節省篇幅，不造成論文的冗長，本節僅給出11～14這四個點上Txy的能譜，計算結果見圖10～13。

圖10 11#采樣點上Txy的能譜Fig.10 Power spectrum of Txyon sample 11#

圖11 12#采樣點上Txy的能譜Fig.11 Power spectrum of Txyon sample 12#

圖12 13#采樣點上Txy的能譜Fig.12 Power spectrum of Txyon sample 13#

圖13 14#采樣點上Txy的能譜Fig.13 Power spectrum of Txyon sample 14#

從計算分析可知，14個采樣點上Txy能譜的形式與量級都有很大差異，這其實是孔內渦旋形式多樣的直接體現。雖然Txy能譜有很大差異，但是14個采樣點上的結果基本都反映了這樣一個現象：Txy能量主要集中在600Hz以下的低頻段，特別是10～100Hz這樣的低頻段，隨著頻率增高，其幅值迅速衰減。這與前述四極子源主要影響低頻段流激噪聲的結論是吻合的。11#～14#這四個采樣點上Txy的能譜形式基本一致，近壁面第11點的能量最大，隨著采樣點遠離壁面，則能量逐漸減小，說明Lighthill應力張量的能量主要集中在壁面附近，壁面的影響凸顯出來。在下一節，我們將討論壁面與渦在誘發流激噪聲中的作用。

2.4 壁面與渦在誘發流激噪聲中的作用

首先，對壁面在流動發聲中的作用進行闡述。在固體壁面存在的情況下，特別是有壓力梯度的壁面存在時，湍流聲輻射將大為增強。這是因為當流動中有壁面存在，且其表面阻抗與流體不一致時，壁面的作用一方面在于通過反射聲波來改變聲場，另一方面，壁面也對局部流動引起干擾，使得表面壓力作為偶極子聲源向外輻射噪聲。Curle與Powell從數學上闡明了上述觀點。Curle方程表明，低馬赫數下剛性壁面（rigid wall）對于輻射噪聲的影響可通過在壁面位置上分布緊致的偶極子源來表征。壁面上的流體脈動壓力包括水動力分量與聲學分量，我們知道無壓力梯度平板的直接聲輻射是非常小的，完全可以忽略不計，當存在壓力梯度時，輻射效率就會增強。緊致的物體固壁將作為偶極子聲源向外輻射噪聲，尖銳的邊棱更是有效的輻射器。對于本文研究的孔腔流激噪聲，雖然流速較低，然而孔腔開口邊棱對聲輻射也會起一定的作用。

流經剛性壁面上邊界層中的壓力與剪應力在噪聲產生的過程中究竟起到什么作用，一直是聲學研究中不斷被討論的問題。在沒有物體存在情況下的自由剪切層中的脈動速度將以四極子源的形式直接輻射噪聲（例如自由噴射湍流），但是，當存在物體時，剪切層與壁面相互作用將誘導產生壁面應力，從而產生聲輻射。如果物體是剛性的且遠小于聲波波長，這些表面應力將產生典型的偶極子性質噪聲。Curle方程雖然表明物體壁面上的脈動應力起到偶極子源的作用，但采用Curle方程計算流動噪聲時，面積分經常發散，因而不太適合于數值模擬與評估。Powell（1960）使用剛性壁面格林函數將Curle的結果重新進行了整理，研究表明物面上的法向應力的確為偶極子性質的聲源，這與Curle方程所指出的固壁的作用在于使四極子聲源增強為偶極子聲源的論斷是一致的。

隨后，聲學類比方程右邊偶極子表達式中的粘性剪應力的作用也被人們加以討論。對于“粘性剪應力偶極子能不能作為有效聲源”這一問題，人們經歷了長期的爭論，這一問題對于應用Lighthill理論而言是十分重要的。近年來，國外在并行運算基礎上進行的一系列數值模擬研究可以清楚明白地回答這一問題。Shariff與Wang（2005）[10]研究了一個簡化模型問題，考慮在一無限大平面區域中有個很小的壁面區域進行低馬赫數下的切向正弦運動，這就誘導了在外部無限大靜止流體區域中的聲緊致的速度/渦量場。移動的壁面作用在流體上唯一的力就是粘性剪應力。Shariff與Wang數值求解了可壓縮的NS方程，求出的偶極子聲場與用Powell方程預報的幾乎完全吻合。這一數值試驗確立了流動剪應力為合理的偶極子聲源。而壁面剪應力的發聲機理在于將粘性底層的入射渦擾動轉化為向外輻射的聲。在此基礎上，研究人員又進行了定量研究。Hu（2002，2003）[10]采用直接數值模擬計算了湍流槽道流與Couette流，將計算得到的聲源數據代入Lighthill方程預報了遠場噪聲，結果表明，在較高馬赫數M≤1的情況下，壁面剪應力引起的低頻偶極子輻射噪聲超過了四極子輻射噪聲；在較低馬赫數下，壁面剪應力和四極子的影響都不突出。依據上述數值研究結果所提供的證據，在邊界層噪聲計算中將脈動的壁面剪應力作為有效聲源是完全合理的。

其次，對渦在流動發聲中的作用進行闡述。在解釋流動輻射噪聲的物理機理時，我們不妨將Lighthill的聲學類比理論與Powell的渦聲理論結合在一起進行闡釋。聲學類比的一個不足就是聲源在空間上的分布比較廣闊，不夠集中。渦量=▽×相對于雷諾應力而言，在空間分布上較為集中。原因在于渦旋周圍有很大一部分流動可以看作勢流，它們不會產生聲，真正產生聲的渦旋只占據很小的空間。

Powell（1964）[12]發現亞音速等熵流中聲音的產生與渦的運動有關，在無空泡以及氣泡流的情況下，湍流中能夠有效地在遠場產生輻射噪聲的最本質部分就是渦。渦運動與界面上的流動不連續性密切相關，流動與壁面間有相對運動時，或兩層流體間有相對運動時就會產生渦。渦使得流體運動相對強烈，而且產生摻混。當渦相對聲介質產生變形或加速時就會產生聲輻射。渦聲理論最初應用在低馬赫數下自由空間內的輻射噪聲問題。渦聲方程雖然只是低馬赫數下Lighthill聲學類比方程的一種特殊形式，但是其強調了渦量的作用，而且鮮明地指出渦是一種偶極子性質的聲源。

Powell方程表明如果剛性壁面引起了渦旋流動時，遠場聲壓由下述四部分貢獻組成：①表面分布的偶極子源，其強度正比于表面上的脈動壓力p′。② 體積分布的偶極子源，其強度正比于體分布的×。③ 體積分布的無方向的源項④ 單極子源項，其強度正比于表面在自身外法向上的加速度?un/?t。考察上述四項可知，第三項是由于熵脈動引起的，對于本文研究的孔腔繞流該項不存在；第四項含有壁面法向速度的時間導數，也不存在。所以第一、二兩項才是本文研究的孔腔渦旋流場誘導輻射噪聲的主要貢獻。

對真實流體而言，粘性是促使渦旋產生、發展、消失的最經常也是最重要的因素，絕大多數粘性流體運動都是有旋運動，因此研究渦旋在粘性流體發聲中的效應具有重大意義。Powell指出將渦運動區域作為聲源將大大增強人們對湍流引起噪聲物理機理的理解。在粘性流體中，由于粘性作用，渦旋強的地方將向渦旋弱的地方輸送渦旋，直到渦旋強度相等為止，因此理想流體中渦旋的保持性發生變化，出現的是渦旋擴散現象。渦旋的擴散與輸運不但感生速度場使整個流動狀態發生變化，而且也能將近場內的聲學效應輸送到遠場。對于孔腔繞流，流激噪聲的根源就在于繞流所產生的強烈的、形式各樣的、尺度不等的渦。渦的運動與發展誘導了空間內的脈動速度、脈動壓力和脈動剪應力（誘發機制），同時渦本身具有的輸運與演化特性（傳輸機制），又將上述三者的近場擾動（變化率）產生的聲學效應傳遞到了遠場，最終轉化為輻射噪聲中的各個分量。

3 結 語

流動輻射噪聲問題早已出現，但時至今日，人們仍無法完全理解其復雜性，更不用說徹底解決這一問題，因為它涉及到流體力學領域中最難處理的湍流和流動分離問題，牽扯到流固耦合和流聲耦合等復雜現象。近代以來，經過Lighthill等眾多前輩苦心孤詣的研究，目前已經開辟出了一個極富挑戰性與啟發性的研究領域，深藏在流激噪聲背后的深刻的流/聲機理正吸引更多的研究者投身其中。

本文在前期工作的基礎上，對于水中孔腔的流激噪聲機理開展了研究。經由孔腔內外多種流體振蕩模態特征及其與流激噪聲頻譜特性的內在聯系分析，明確指出在水中低馬赫數情況下，流體共振模態極難發生，而流體動力振蕩將是孔腔發聲的主要來源，揭示了孔腔流激噪聲形成的機理。提出了基于Kirchhoff控制面積分與物體壁面積分辨識孔腔流動中偶極子和四極子聲源對流激噪聲影響量級以及頻譜分布規律的分析方法。并結合流體動力聲源的數學表達以及Lighthill應力張量的頻譜分析，詳細討論了偶極子、四極子流動現象與應力能量及相應流激噪聲響應之間的關系，并指出了孔腔流場中的渦旋對于脈動壓力、脈動剪應力、脈動速度聲學效應的輸運作用是產生遠場輻射噪聲的根源，從而揭示了孔腔流激噪聲傳播的機理。希望本文的工作能有益于未來的研究。

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