耦合板結(jié)構(gòu)振動波傳遞及能量分布可視化研究

1 引 言

動力設(shè)備在海洋工程及船舶結(jié)構(gòu)中引起的振動能量傳遞一直以來都是工程師和研究人員所關(guān)心的重要研究方向之一。在實際振動結(jié)構(gòu)中，能量以彎曲波、剪切波和縱波三種形式傳播，其中彎曲波攜帶大部分的能量；而縱向、剪切運動與振動能量在耦合結(jié)構(gòu)中傳播密切相關(guān)[1]。

振動波在經(jīng)過結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角和連接處會發(fā)生波形的轉(zhuǎn)換和能量傳遞。Cuschieri和McCollum[2]基于功率流法研究了耦合平板連接處的面內(nèi)波和彎曲波功率流特性。Wang和Xing[3]基于子結(jié)構(gòu)法研究了L形板振動功率流。Kessissoglou[4]研究了面內(nèi)縱波和剪切波對L形連接板振動功率流的影響，運用功率流的方法，比較了各種波形對轉(zhuǎn)角連接處功率流傳遞的貢獻(xiàn)。李天勻等[5]利用導(dǎo)納方法研究了L形加筋板在外載荷作用下的輸入振動功率流和傳遞振動功率流。周平和趙德有[6]基于動態(tài)剛度陣法計算了加筋板在中高頻區(qū)域內(nèi)的振動能量比,并通過與統(tǒng)計能量分析方法和有限元方法的計算結(jié)果比較,驗證了方法的可行性和高效性。伍先俊[7]從有限元動力方程推導(dǎo)出發(fā)，給出了節(jié)點頻域復(fù)數(shù)力的表達(dá)式，進(jìn)而給出基于有限元動力分析的功率流計算方法，但計算處理過程比較復(fù)雜，不便于工程應(yīng)用。謝基榕[8]在Msc/Nastran的基礎(chǔ)上二次開發(fā)了結(jié)構(gòu)功率流分析模塊，并對懸臂梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了功率流分析。但是該功率流分析模塊并未集成流線可視化技術(shù)，在圖像可視化方面還需進(jìn)一步完善。

許多學(xué)者針對板中的能量流特性進(jìn)行了研究。Bernhard[9]首次提出用時域和空間平均的能量密度矢量來研究結(jié)構(gòu)聲在板中的傳遞。Bouthier[10]和Ichchou[11]等學(xué)者進(jìn)一步將熱傳導(dǎo)理論應(yīng)用于板能量流動數(shù)學(xué)模型中，同時證明了該理論可以推廣到二維平面波傳遞中。

振動聲強法（vibration intensity method）是上世紀(jì)七十年代由Noiseux[12]將空氣聲學(xué)中的聲強理論移植到連續(xù)介質(zhì)力學(xué)上，考慮了結(jié)構(gòu)內(nèi)力和質(zhì)點響應(yīng)，研究彈性介質(zhì)中單位寬度截面上的功率流，它可以認(rèn)為是功率流密度[13]。振動聲強技術(shù)突出的優(yōu)勢在于可以提供結(jié)構(gòu)中任意位置振動能量流的強度和方向等重要信息，并且不依賴于邊界條件[14-15]。 等[16]基于復(fù)模態(tài)理論，將外力和彎矩荷載引入振動聲強的理論表達(dá)式，利用有限元法計算了簡支板的能量流分布情況。Khun等[17]探討了不同外部阻尼敷設(shè)位置及阻尼系數(shù)對振動能量傳遞路徑的影響，并對離散螺栓連接板的振動聲強傳遞特性進(jìn)行了研究。此外，很多學(xué)者將振動聲強法用于復(fù)合材料和波紋板結(jié)構(gòu)中的結(jié)構(gòu)聲傳遞研究中。

本文便是通過自編MATLAB程序調(diào)用有限元動力分析軟件ANSYS，自行完成振動聲強分量及能量流計算等工作，然后根據(jù)輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行圖像流線和云圖顯示，揭示振動結(jié)構(gòu)中能量流傳遞和分布。振動波傳遞集成可視化程序可以方便應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)物減振降噪工程中。

2 結(jié)構(gòu)振動聲強基本理論

Pavic[14]給出了結(jié)構(gòu)瞬態(tài)振動聲強的時域平均表達(dá)式為：

式中，σij（t）和 vj（t）為應(yīng)力分量和速度分量。

根據(jù)彈性薄板理論，（1）式中Ix可以表示為：

其中，G=E/（1-2 μ），E為彈性模量，μ 為泊松比，φx和 φy為轉(zhuǎn)角，ξΜ為質(zhì)點在x方向的位移，h為板厚，vx，vy，vz為速度分量。板單元的廣義力和位移如圖1所示。

結(jié)構(gòu)振動波通過內(nèi)力（Qx和 Qy），面內(nèi)力（Nx，Ny和 Nxy）彎矩（Mx和 My）和扭矩（Mxy和 Myx）來傳遞能量，則對于x方向的振動聲強分量可以表示為：

其中內(nèi)力和彎矩分量可由下述公式計算：

對于二維板單元，給出振動聲強的頻域表達(dá)式[9]為：

圖1 板單元的廣義力和位移Fig.1 Plate element with defined force and displacement

流線圖[18]可以直觀表征振動能量傳遞路徑，通過這種流線可視化技術(shù)，可以準(zhǔn)確分析和理解復(fù)雜結(jié)構(gòu)中能量的流動形式以及能量渦流特性。應(yīng)用向量代數(shù)運算公式，流線上應(yīng)滿足

式中，r為能量流動的方向坐標(biāo)。

則對于三維連續(xù)介質(zhì)，流線方程變?yōu)?/p>

對于二維板結(jié)構(gòu)，可以表示如下：

3 板結(jié)構(gòu)振動能量流

在平板結(jié)構(gòu)中，彎曲波攜帶主要的振動能量，并在聲輻射中起主要作用，因此本文對（2）式進(jìn)行簡化，僅考慮彎曲波分量，對其在板厚方向進(jìn)行積分，可以得到單位長度板橫截面中瞬態(tài)能量流的公式為：

而對于耦合結(jié)構(gòu)，縱向、剪切運動與振動能量傳播密切相關(guān)，并可以引起連接構(gòu)件的彎曲振動，不能忽視[4]。因此在研究L形耦合板振動能量分布時，需引入剪切波和縱向波分量。

通過計算單位時間內(nèi)通過振動結(jié)構(gòu)特征面積的能量來獲取各種波形總的振動能量[19]。考慮板的縱向振動模態(tài)，可得縱向波振動能量流為EL：

同理可得板的彎曲波振動能量流為EB：

板的剪切波振動能量流為ES：

其中，CL=為彈性波在板中傳播的波相速度，ρ為單位表面積質(zhì)量密度。則彈性結(jié)構(gòu)中總的能量流E等于上述三種波形能量之和，即：

4 可視化程序?qū)崿F(xiàn)

本文基于MATLAB軟件和APDL程序語言對ANSYS進(jìn)行二次開發(fā)，充分發(fā)揮ANSYS對復(fù)雜結(jié)構(gòu)建模和強大的結(jié)構(gòu)動力分析能力。采用MATLAB作為主控程序，設(shè)置好所有的參數(shù)與選項傳遞給ANSYS（通過文件）并調(diào)用計算。計算結(jié)束后再用MATLAB處理ANSYS的輸出文件,完成自編程序和ANSYS軟件的相互調(diào)用，實現(xiàn)振動能量流的集成可視化顯示。流程圖如圖2所示。

5 數(shù)值計算

5.1 方法驗證

圖2 程序流程圖Fig.2 The flow chart of program

表1 矩形板的具體參數(shù)Tab.1 Parameters of plat plate

圖3 文獻(xiàn)[14]中板結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Plat plate showing positions of force and damper in Ref.[14],the plate was simply supported along the edges

首先為了驗證本文計算方法的準(zhǔn)確性，采用文獻(xiàn)[14]四邊簡支鋼板為例進(jìn)行計算，板的具體參數(shù)如表1所示，結(jié)構(gòu)尺寸，激勵力位置和阻尼器安置位置如圖3所示，邊界條件取四邊簡支，忽略結(jié)構(gòu)阻尼影響，有限元模型由510個8節(jié)點等參shell93單元進(jìn)行模擬，諧響應(yīng)分析采用完全法進(jìn)行計算。振動聲強矢量結(jié)果（聲強矢量未標(biāo)準(zhǔn)化處理）如圖4（a）所示，能量從激勵點流出，匯集到阻尼器位置被吸收，通過與文獻(xiàn)[14]所列結(jié)果進(jìn)行比較可得，本文聲強分量計算方法及可視化程序?qū)崿F(xiàn)是準(zhǔn)確可行的。同時基于公式（9）計算了平板結(jié)構(gòu)中的彎曲波振動能量流如圖4（b）所示。

圖4 本文方法計算振動聲強矢量圖和能量云圖Fig.4 Vector representation of structural intensity and energy distribution for a flat plate

5.2 耦合板振動波傳遞及分布特性

本節(jié)以海洋工程結(jié)構(gòu)中常見的耦合板為研究對象，結(jié)構(gòu)尺寸、簡諧集中力位置（0.6,0.5,0）和阻尼器位置（0,0.7,1.3）如圖5所示，邊界條件取短邊對邊簡支，耦合邊界處取自由，則面內(nèi)波可以在邊界處傳輸能量。有限元網(wǎng)格模型見圖6。材質(zhì)為鋼板，具體參數(shù)見表2,簡諧力、外部阻尼系數(shù)同上。根據(jù)L形耦合板結(jié)構(gòu)固有頻率和諧響應(yīng)計算結(jié)果，選取了有代表性的前四階固有頻率f=8.5Hz，f=32Hz，f=69Hz，f=94Hz進(jìn)行振動聲強參數(shù)的計算，利用可視化技術(shù)給出相應(yīng)的流線圖和能量云圖。

圖5 L形耦合板示意圖 單位（m）Fig.5 L-shaped plate showing positions of force and damper(m)

圖6 有限元模型Fig.6 Finite element mesh of L-shaped plate

表2 L形耦合板的具體參數(shù)Tab.2 Parameters of L-shape plate

由圖7（a）和圖7（b）可以明顯地看出，在激勵頻率為f=8.5Hz時，大部分振動能量從激勵點流出，在阻尼器位置被吸收，能量的源點即為簡諧集中力輸入點，主要匯集于外部阻尼器所在位置，能量的流動路徑比較清晰。可以看到，振動波在傳輸過程中，在耦合邊界處出現(xiàn)了一定的反射。

圖7 振動聲強流線圖（a）和能量云圖（b），f=8.5HzFig.7 Streamline(a)of structural intensity and vibration energy distribution(b)representation for the L-shape plate,f=8.5Hz

圖8 振動聲強流線圖（a）和能量云圖（b），f=32HzFig.8 Streamline(a)of structural intensity and vibration energy distribution(b)representation for the L-shape plate,f=32Hz

對比圖7和圖8看出，振動能量的分布可以非常直觀地顯現(xiàn)出來，能量的強弱分布與振動聲強矢量圖比較吻合。但隨著激勵頻率的不同，能量分布也出現(xiàn)了明顯的變化，從圖7（b）可以看出，能量在激勵點位置、板2的自由邊分布最多，同時只有少部分能量通過耦合邊界到達(dá)阻尼器位置。

隨著激勵頻率的升高，從圖9可以看出，振動能量傳遞路徑更加復(fù)雜，能量從激勵點流出，并沒有完全傳遞到阻尼器位置，而是密集分布在板2，且出現(xiàn)了較明顯的渦流場。大部分的能量匯集在板2渦流場位置和自由邊界處，有一部分的能量傳遞到阻尼器位置點。

當(dāng)激勵頻率的升高到94Hz時，從圖10可以看出，振動能量傳遞路徑更趨復(fù)雜，渦流分布也比較密集。大部分的能量分布在板1簡諧激勵力附近、板2自由邊界處和耦合邊界處。

圖9 振動聲強流線圖（a）和能量云圖（b），f=69HzFig.9 Streamline(a)of structural intensity and vibration energy distribution(b)representation for the L-shape plate,f=69Hz

圖10 振動聲強流線圖（a）和能量云圖（b），f=94HzFig.10 Streamline(a)of structural intensity and vibration energy distribution(b)representation for the L-shape plate,f=94Hz

6 結(jié) 論

本文利用自編程序?qū)崿F(xiàn)了振動聲強及能量可視化技術(shù)，并研究板結(jié)構(gòu)中振動能量流向及分布，得到以下結(jié)論。

（1）本文基于MATLAB軟件和APDL程序的集成可視化技術(shù)可以為結(jié)構(gòu)聲源識別提供直觀的圖像顯示，并可以實現(xiàn)振動結(jié)構(gòu)中能量流傳遞和分布的可視化，流線可視化技術(shù)可以直觀顯示能量的流動路徑和渦流特性，文中算例提供了有力的驗證。振動能量流的集成可視化顯示程序可以方便地應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)物減振降噪工程中。

（2）借助于能量云圖可以更準(zhǔn)確揭示振動能量在結(jié)構(gòu)中的分布，并在分析振動波在復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的傳播機(jī)理及進(jìn)一步實施主/被動控制中提供更準(zhǔn)確的科學(xué)依據(jù)。

[1]Cremer L,Heckl M,Ungar E E.Structure-borne Sound[M].Second Edition.Berlin:Springer-Verlag,2005.

[2]Cuschieri J M,McCollum M D.In-plane and out-of-plane waves power transmission through an L-type junction using mobility power flow approach[J].Journal of the Acoustical Society of America,1996,100(2):857-870.

[3]Wang Z H,Xing J T,Price W G.An investigation of power flow characteristics of L-shaped plates adopting a substructure approach[J].Journal of Sound and Vibration,2002,250(4):627-648.

[4]Kessissoglou N.Power transmission in L-shaped plates including flexural and in-plane vibration[J].J Acoust.Soc.Am.,2004,115:1157-1169.

[5]李天勻,張維衡.L形加筋板結(jié)構(gòu)的導(dǎo)納功率流研究[J].振動工程學(xué)報,1997,10(1):112-117.

[6]周 平,趙德有.基于動態(tài)剛度陣法的加筋板間能量流研究[J].大連理工大學(xué)學(xué)報,2008,48(1):98-104.

[7]伍先俊,朱石堅.基于有限元的功率流計算及隔振系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計技術(shù)研究[J].船舶力學(xué),2005,9(4):138-145.

[8]謝基榕,吳文偉.基于有限元的功率流分析方法及實現(xiàn)[J].船舶力學(xué),2009,13(1):144-149.

[9]Bernhard R J,Bouthier O.Model of the space averaged energetics of plates[J].AIAA Paper 90-3921,1990.

[10]Bouthier O,Bernhard R J.Simple models of energy flow in vibrating plates[J].Journal of Sound and Vibration,1995,182:149-164.

[11]Ichchou M N,Jezequel L.Comments on simple models of the energy flow in vibrating membranes and transversely vibrating plates[J].Journal of Sound and Vibration,1996,195:679-685.

[12]Noiseux D U.Measurement of power flow in uniform beams and plates[J].Journal of the Acoustical Society of America,1970,47(1):238-247.

[13]Pavic G.Measurement of structure borne wave intensity[J].Journal of Sound and Vibration,1976,49(2):221-230.

[14]Gavric L,Pavic G.A finite element method for computation of structural intensity by the normal mode approach[J].Journal of Sound and Vibration,1993,164(1):29-43.

[15]Hambric S A,Taylor P D.Comparison of experimental and finite element structure-borne flexural wave power measurements for straight beam[J].Journal of Sound and Vibration,1994,170(5):595-605.

[16] J,Bochniak W.Vibration energy flow in ribbed plates[J].Mechanics,2006,25(3):119-123.

[17]Khun M S,Lee H P,Lim S P.Structural intensity in plates with multiple discrete and distributed spring-dashpot systems[J].Journal of Sound and Vibration,2004,276(3):627-648.

[18]Xu X D,Lee H P,Lu C,Guo J Y.Streamline representation for vibration intensity fields[J].Journal of Sound and Vibration,2005,280:449-454.

[19]尼基福羅夫·阿·斯.船體結(jié)構(gòu)聲學(xué)設(shè)計[M].北京:國防工業(yè)出版社,1998.