塑性區模型損傷修正及其對聲發射活動的影響

王慧晶，林 哲

（大連理工大學船舶工程學院，遼寧 大連 116024）

1 引 言

塑性區尺寸是描述金屬材料斷裂行為的重要參數之一，它在材料裂紋尖端塑性變形、裂紋擴展及斷裂過程中起著重要的作用。通過對含切口試件的聲發射檢測發現：塑性區的擴展是主要的聲發射源，這說明塑性區尺寸與聲發射之間存在關系。本文通過引入損傷概念對塑性區模型進行了修正，考慮材料中分布的細觀缺陷的發展演化對塑性區的影響，并在塑性區參數與聲發射參數之間建立聯系。

2 損傷演變方程及塑性區修正模型

2.1 損傷變量與有效應力

損傷變量[1]定義為

β反映了材料面積衰減的實際情況，可稱之為真實損傷變量或對數損傷變量。式中A為無損狀態時橫截面積，Ae為損傷后有效承載面積，相應的有效應力為

式中σy為屈服應力。

2.2 損傷演變方程

Dugdale[2]通過拉伸試驗，提出了裂紋尖端的窄塑性區沿裂紋線向兩邊延伸并呈尖劈帶狀的假設，如圖1所示。文獻[3]假設窄塑性區中的損傷β是與新裂尖距離x′=x-a有關的函數：

式中R是塑性區的長度。文獻[4]提出窄塑性區中的損傷與裂紋尖端應變存在關系

Davidson和Lankford[5]的實驗結果表明塑性區內應變變化遵循：當x>a 時，ε∝（x- a）-1/2。 設

圖1 Dugdale損傷模型Fig.1 Dugdale’s damage model

由（4）式簡化后得

2.3 塑性區修正模型

考慮到在x=c處應力強度因子為零，有

由于塑性區內存在孔洞，dσy′可通過dσy乘以權函數得到

為方便計算，采用如下簡化權函數：

由圖2可以看出，簡化的權函數與原權函數基本吻合。

將（2）式和（10）式代入（7）式得：

圖 2 ω（x ）與（x）的比較圖Fig.2 Comparison of ω（x）and （x）

其中，B（ p,q）為 beta 函數，F（ α， β；γ；z）為超幾何函數[7]。 即

圖3為外加載荷與屈服應力不同應力比情況下，由上式計算的塑性區與Dugdale模型、Irwin模型[2]之間的比較。其中，Irwin模型塑性區尺寸與裂紋長度之比為

Dugdale模型為

可以看出，Dugdale模型的塑性區大于本文提出的損傷修正Dugdale模型，而損傷塑性區修正模型又大于線彈性Irwin模型的塑性區。據文獻[8]指出，實際測量的R值均比大范圍塑性屈服區的Dugdale模型值小。這表明，本文的修正使得裂尖塑性區長度的計算值更接近實際。工程中常采用Irwin模型計算塑性區尺寸。為方便工程應用，本文基于損傷修正的Dugdale模型對Irwin模型作出修正，如圖4所示，修正的Irwin模型與損傷的修正Dugdale模型吻合較好。修正的Irwin模型的塑性區尺寸為

圖3 塑性區長度參數的比較Fig.3 Comparison of the length parameters of plastic zone

與原Irwin模型比較，有

圖4 裂紋尖端塑性區示意圖Fig.4 Schematic illustration of plastic zone at crack tip

3 塑性區參數與聲發射參數的關系

切口或含裂紋試件裂紋尖端塑性區內的變形和斷裂活動是主要聲發射源，產生聲發射AE的應力級遠遠低于總屈服應力，故AE活動與裂紋尖端周圍的塑性應變有關，而裂紋尖端應變與塑性區半徑及應力強度因子有關，所以聲發射活動與塑性區半徑和應力強度因子有關。考慮損傷對裂紋尖端塑性區的影響，通過上述修正Irwin模型的方程可求出塑性區的尺寸。塑性區尺寸和半徑分別為

由于塑性區內應變變化遵循[5]：當x′>0時，ε∝（x′）-1/2，x′為距新裂尖的長度。根據假設聲發射計數率與屈服應變εy和最終拉伸強度εu之間的材料塑性區體積增長率成正比[9]，即N∝Vp。

其中B為板厚。比較假設N∝Vp，則

4 計算結果與實驗數據比較

從（15）式可以看出，聲發射總計數N與塑性區半徑ry的函數關系為N∝，與應力強度因子K的函數關系為N∝K4。文獻[10]對兩組單邊切口拉伸試件核級不銹鋼（σy=232MPa）和工業級不銹鋼（σy=207MPa）做拉伸實驗，根據試驗建立的聲發射總計數與塑性區半徑、應力強度因子間的定量關系為N∝、N∝K2.1，這與由（15）式建立的關系 N∝、N∝K2m近似一致。

圖5 Trip鋼的理論結果與試驗值的比較Fig.5 Comparison of theoretical and experimental results for trip steel

圖6 Trip鋼裂紋長度與聲發射總計數之間的關系Fig.6 Relationship between AE total counts and crack length of trip steel

聲發射總計數N與應力強度因子K的理論關系為N∝K4。在多數試驗過程中，材料內形成的微裂紋和裂紋的突進現象引起試樣塑性變形，使指數超出理論值。例如，文獻[11]中承受楔力張開加載（WOL）的trip鋼，試驗測得N與K之間的關系為N=3.96×10-5K4.62，相應的關系如圖5所示，可以看出采用本文提出的塑性區損傷簡化模型得出的計算結果更接近試驗值。由于K=，其中σ為應力，a為裂紋尺寸，當確定應力和幾何因素后，K代入（15）式后，得到聲發射總計數N與裂紋長度之間的關系為N∝a2，即裂紋越長，聲發射總計數越多，如圖6所示。

5 結 論

（1）基于Dugdale塑性區模型，研究裂尖塑性區的損傷分布，存在的孔洞通過權函數表征損傷的演變。修正的塑性區模型能更好地詮釋材料由于微缺陷的產生和發展而引起的逐步劣化。

（2）通過修正的塑性區模型，提出聲發射總計數N與應力強度因子K及塑性區半徑ry之間的關系，與實驗結果一致。說明考慮損傷的塑性區模型，更好地反映聲發射活動中損傷材料破壞的實際過程，有利于從力學行為和物理過程進一步闡述聲發射源機制。

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