水下爆炸及隨機(jī)外力下破損艦船的傾覆概率分析

張 婧，施興華

（江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003）

1 引 言

破損艦船的生命力問題因其具有重要的軍事戰(zhàn)略意義而受到國內(nèi)外許多學(xué)者的關(guān)注。作戰(zhàn)環(huán)境中的水面艦船，除了受到風(fēng)浪等隨機(jī)擾動外，還受到其他非隨機(jī)的不規(guī)則擾動。艦船受到武器攻擊發(fā)生破損后，進(jìn)水產(chǎn)生的固定橫傾角將大大降低其在海上的戰(zhàn)斗力與生命力，在下次攻擊武器的爆炸載荷以及風(fēng)浪載荷聯(lián)合作用下，穩(wěn)性降低，可能造成其整體傾覆。從歷次世界大戰(zhàn)來看，具有強(qiáng)裝甲艦船強(qiáng)度的破壞概率遠(yuǎn)小于整船的傾覆概率，確定該隨機(jī)事件的發(fā)生概率具有重要的意義。

艦船傾覆因涉及到外載荷的隨機(jī)性和大幅度橫搖的強(qiáng)非線性，而使問題十分復(fù)雜。波浪載荷和風(fēng)載荷均具有隨機(jī)性，這就導(dǎo)致艦船傾覆是具有一定概率的隨機(jī)事件。確定該隨機(jī)事件的發(fā)生概率，已成為急需解決的問題。許多學(xué)者在這方面做了大量的研究[1-2]。但目前尚未見到關(guān)于水下爆炸載荷和隨機(jī)風(fēng)浪聯(lián)合作用下破損艦船傾覆概率研究的文獻(xiàn)資料。

本文推導(dǎo)了破損艦船遭受水下爆炸及有色噪聲時的橫搖微分方程。考慮到本文主要研究爆炸載荷對破損艦船橫搖的影響以及高維FPK方程求解繁瑣，故將有色噪聲過程簡化為白噪聲過程，以Gauss-Legendre路徑積分為基礎(chǔ)，給出橫搖角的概率密度函數(shù)隨時間演變的計(jì)算方法，按照現(xiàn)有的傾覆準(zhǔn)則給出預(yù)報(bào)一定裝藥量下艦船傾覆概率的表達(dá)式，并進(jìn)行了實(shí)例分析，對作戰(zhàn)環(huán)境中破損艦船傾覆研究進(jìn)行有益的探索和初步嘗試。

2 作戰(zhàn)條件下破損艦船的環(huán)境載荷

2.1 水下爆炸載荷產(chǎn)生的傾側(cè)力矩

沖擊波隨時間衰減規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)公式為[3]

式中：θ—指數(shù)衰減的時間常數(shù)，對于TNT炸藥而言，θ=（W1/3/R）-0.24W1/3×10-4；pm—壓力峰值[4]，pm=53.3（W1/3/R）1.13，W—裝藥量，R—測點(diǎn)到爆炸中心的距離。

將作用于艦船水下舷側(cè)的爆炸沖擊波載荷視為一個突加傾側(cè)力矩

式中：A1—沖擊波作用面積，取塑性區(qū)域的面積，A1=π [（10～2 0） R0]2，R0—炸藥初始半徑；Me（t）—集中力 P（t）豎向偏心引起的傾側(cè)力矩；Δz1—集中力P（t）作用點(diǎn)離艦船重心的豎向距離。

將（1）式代入（2）式，得到

2.2 隨機(jī)風(fēng)浪擾動力矩

風(fēng)擾動力矩可以看作是平均風(fēng)傾力矩Ma與脈動風(fēng)傾力矩Md（t）兩部分組成，即

式中：ρ—空氣密度；A—艦船結(jié)構(gòu)水線以上部分側(cè)投影面積；Δz—艦船結(jié)構(gòu)水線以上部分側(cè)投影面積的形心至水壓力作用點(diǎn)的距離；U（t）—艦船的航速；υd（z,t）—短周期內(nèi)脈動風(fēng)速，其譜密度Sυd（ω）由文獻(xiàn)[5]確定；υa（z）—平均風(fēng)速[6]；Cm—風(fēng)壓傾側(cè)力矩系數(shù)[7]，

式中：L—艦船結(jié)構(gòu)總長；B—艦船橫剖面寬度；z—艦船結(jié)構(gòu)水線以上部分側(cè)投影面積的形心至水線的距離。

（6）式充分反映了船型主要因素對風(fēng)壓的影響，其變化范圍在0.955～1.418之間，如果Cm取為定值，勢必對有些船舶穩(wěn)性要求過高，而對有些船舶又會顯得不足。因此，根據(jù)船型選取不同的Cm值是較符合客觀實(shí)際的。

波浪擾動力矩為

航速U（t）與給定z處的平均風(fēng)速都是常數(shù)，故由（4）式可知，Ma也是一常數(shù)。脈動風(fēng)的強(qiáng)度隨時間而隨機(jī)變化，是典型的隨機(jī)過程。 由（5）式可知，Md（t）是 υd（z,t）的線性函數(shù)，所以可認(rèn)為Md（t）是平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程。同理，Mw（t）也是平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程。

3 破損艦船橫搖運(yùn)動微分方程

由于海浪及風(fēng)力均為隨機(jī)過程，即使爆炸載荷是確定性載荷，但其作用時間短暫，所以作戰(zhàn)環(huán)境中艦船的運(yùn)動也具有隨機(jī)性。由于爆炸載荷持續(xù)時間一般只有幾秒左右，平均風(fēng)傾力矩作用時間一般在10min以上，所以在爆炸載荷作用過程中，平均風(fēng)傾力矩始終作用在艦船上，可以把爆炸載荷產(chǎn)生的短時力矩及平均風(fēng)傾力矩看作定常傾側(cè)力矩。則破損艦船大幅橫搖運(yùn)動的隨機(jī)微分方程為

初始條件為

式中：φ01—遭多次攻擊后艦船破損進(jìn)水產(chǎn)生的初始橫傾角。這里只考慮艦船的線性橫搖阻尼系數(shù)，則

式中：BL—線性阻尼系數(shù)。

采用線性項(xiàng)加三次項(xiàng)作為回復(fù)力矩模型,能較好地?cái)M合靜穩(wěn)性曲線[10]，則

式中：Δ—排水量；GZ（ φ（t ））—回復(fù)力臂；C3—三次回復(fù)力矩系數(shù)，取為負(fù)值。

將（8）式兩邊同時除以 Jφφ+ΔJφφ，可得

式中：ωφ—為橫搖固有頻率，

隨機(jī)橫搖力矩Y（t）與Z（t）的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)可分別由Mw（t）與Md（t）的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)確定，自相關(guān)函數(shù)分別為 RY（τ）和RZ（τ），功率譜密度分別為

4 非線性隨機(jī)橫搖響應(yīng)的時域分析

4.1 濾波系統(tǒng)的確定

在時域內(nèi)考察一個隨機(jī)過程，Markov過程理論是一個重要方法。構(gòu)造兩個線性濾波器，其輸入為白噪聲過程，輸出則為滿足給定統(tǒng)計(jì)特征值的隨機(jī)過程。為模擬實(shí)際風(fēng)浪，取形狀濾波器分別為

式中：α1，β1，γ1，β2，γ2—控制濾波函數(shù)特性的參數(shù)；Ni（t） （i=1,2 ）—單位白噪聲過程，N1（t）與N2（t）相互獨(dú)立，Ni（t）=dWi（t）/dt，Wi（t）—單位Wiener過程。

而由（14）式和（15）式確定的譜密度分別為：

則令（12）式與（16）式的峰值、卓越頻率、譜面積相等，就可得到濾波參數(shù) α1，β1，γ1，同理可得 β2，γ2。

聯(lián)立（11）、（14）式與（15）式，得到一個新的擴(kuò)維運(yùn)動微分方程組為

4.2 伊藤隨機(jī)微分方程

將微分方程組（18）改寫為狀態(tài)方程組的形式

這樣就建立了求解破損艦船在作戰(zhàn)環(huán)境下橫搖的隨機(jī)微分方程組。

4.3 相應(yīng)的簡化方程

實(shí)際隨機(jī)風(fēng)浪必須處理為有色噪聲，理論上是可以通過增加濾波系統(tǒng)并利用Markov過程理論來求解這一復(fù)雜的問題，但這將出現(xiàn)高維的FPK方程，至今超過三維的FPK方程的計(jì)算量已經(jīng)非常耗費(fèi)計(jì)算機(jī)資源。考慮到本文主要是研究爆炸載荷對艦船傾覆概率的影響，由于爆炸載荷極短時間內(nèi)就達(dá)到最大值，此時平均風(fēng)傾力矩與其相比非常小，所以只考慮脈動風(fēng)的作用，且爆炸載荷強(qiáng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于隨機(jī)風(fēng)浪擾動的強(qiáng)度，在不影響問題結(jié)論的基礎(chǔ)上，可將隨機(jī)風(fēng)浪的有色噪聲簡化為白噪聲過程。即將（19）式簡化為

式中：X1（t）=φ（t ）；X2（t）=（t）；γ—隨機(jī)擾動力矩系數(shù)；N（t）—單位白噪聲過程。

初始條件為

通常上述方程組的求解是通過其相應(yīng)的偏微分方程進(jìn)行的， 即轉(zhuǎn)移概率密度）滿足FPK方程

4.4 路徑積分法求解方程

路徑積分的基本思想就是在空間和時間上分別離散化，以路徑和代替積分，即通過連接短時轉(zhuǎn)移概率密度形成全局轉(zhuǎn)移概率密度，得到狀態(tài)向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)。設(shè)（t）是n維狀態(tài)方程，其演化概率密度為

路徑積分是在縮減的狀態(tài)空間Rs內(nèi)積分，Rs之外的區(qū)域轉(zhuǎn)移概率密度充分小，可忽略不計(jì)，即

Yu[11]等人將（23）式按照Gauss-Legendre積分來離散化，得到基于Gauss-Legendre公式的路徑積分法。已知第（i-1）時刻的每個高斯積分點(diǎn)上的概率密度及相應(yīng)轉(zhuǎn)移概率密度時，借助離散化的概率密度表達(dá)式，可獲得第i時刻任意點(diǎn)的概率密度，因此僅需計(jì)算第i時刻相應(yīng)高斯積分點(diǎn)的轉(zhuǎn)移概率密度。這樣可大大減少計(jì)算量，最終可得到適合編程實(shí)現(xiàn)的表達(dá)式。對于一維的情況，即

式中：K—子區(qū)間數(shù)；Lk—第k子區(qū)間的高斯積分點(diǎn)數(shù)；δk—第k子區(qū)間的長度；xkl—高斯積分點(diǎn)；ckl—相應(yīng)的權(quán)數(shù)。

一般假設(shè)短時轉(zhuǎn)移概率密度是近似高斯分布的。Sun和Hsu[12]提出利用矩方程導(dǎo)出短時轉(zhuǎn)移概率密度的一階矩和二階矩，由于非線性隨機(jī)系統(tǒng)的矩方程一般是無窮層階次、非封閉的，可利用高斯截?cái)喾ǐ@得封閉的矩方程。因此，短時概率密度可寫為

式中：E1（ti），E2（ti）—ti時刻X的一階、二階原點(diǎn)距，可通過封閉的矩方程組[13]解出；σ2（ti）=E2（ti）-[E1（ti）]2。

5 破損艦船的傾覆概率分析

艦船結(jié)構(gòu)傾覆是由于橫搖角過大引起的，當(dāng)橫搖角超過某一閾值，就將一直增大而不會回到平衡位置。艦船的穩(wěn)性消失角是這一閾值的最好近似，因此將艦船結(jié)構(gòu)傾覆定義為其橫搖角大于穩(wěn)性消失角或傾覆角，即

處于正浮狀態(tài)下的艦船，當(dāng)回復(fù)力矩為零時，其橫搖角定義為穩(wěn)性消失角或傾覆角φv，即

得到方程的正根與負(fù)根為：

關(guān)于艦船傾覆問題的討論中，傾覆概率的定義不是很明確，艦船的傾覆是一個不可再現(xiàn)的事件，因此定義在某一固定時刻t，艦船結(jié)構(gòu)的傾覆概率為

式中： f（ φ,t ）—橫搖角邊緣概率密度分布。

由前面的分析可知， f（ φ,t ）與時間及裝藥量密切相關(guān)，所以根據(jù)（26）式可預(yù)報(bào)任意裝藥量下任意時刻破損艦船的傾覆概率。

6 計(jì)算實(shí)例及分析

采用fortran90語言自編程序，對某艦船遭受爆炸載荷、白噪聲風(fēng)浪及平均風(fēng)傾力矩聯(lián)合作用下橫搖傾覆進(jìn)行了分析計(jì)算。爆炸沖擊載荷的參數(shù)見表1。與隨機(jī)擾動及艦船有關(guān)的參數(shù)如表2所示。

表1 與水下爆炸載荷有關(guān)的參數(shù)Tab.1 The parameters of underwater explosions

（1）破損艦船再次受到攻擊時橫搖角概率分布隨時間的變化

破損艦船在裝藥量W分別為0kg，600kg，900kg時橫搖角的邊緣概率密度隨時間的演變?nèi)鐖D1-3所示。

表2 與隨機(jī)擾動及艦船有關(guān)的參數(shù)Tab.2 The parameters of random disturbance and warship

圖1 W=0kg時，t分別為0s，0.1s，1.5s時橫搖角的邊緣概率密度Fig.1 The marginal probability density of rolling angle at 0s,0.1s and 1.5s(W=0kg)

圖2 W=600kg時，t分別為0s，0.1s，1.5s時橫搖角的邊緣概率密度Fig.2 The marginal probability density of rolling angle at 0s,0.1s and 1.5s(W=600kg)

圖3 W=900kg時，t分別為0s，0.1s，1.5s時橫搖角的邊緣概率密度Fig.3 The marginal probability density of rolling angle at 0s,0.1s and 1.5s(W=900kg)

從圖1-3可看出，具有定常側(cè)傾力矩的艦船在隨機(jī)外力作用下橫搖角的概率分布發(fā)生漂移和擴(kuò)散，并且不再圍繞正浮位置分布，而是圍繞定常側(cè)傾力矩造成的橫傾角分布。同一裝藥量下，由于隨機(jī)外力的影響，峰值隨時間的增長而降低，但橫搖角在較大的范圍內(nèi)變化。除了t=0s時刻橫搖角的邊緣概率密度分布不受裝藥量的影響外，其它時刻的峰值隨裝藥量的增加而降低，由定常傾側(cè)力矩造成的傾角增加。

在裝藥量W=0kg時，各分布圖所圍繞的固定橫傾角不變。其它裝藥量的情況時，同一裝藥量下，雖然隨著時間的增長，爆炸載荷產(chǎn)生的力矩減小，導(dǎo)致固定橫傾角呈減小的趨勢，但是前一時刻產(chǎn)生的橫傾角對后一時刻橫搖角的概率分布有累積影響，而且由于隨機(jī)外力的影響，橫搖角的分布逐漸擴(kuò)散。

（2）裝藥量對破損艦船傾覆概率的影響

由以上分析可知，裝藥量對橫搖角的概率分布有明顯的影響，即分布的峰值降低，橫傾角增大。而且裝藥量的增加即固定橫傾力矩的增加將明顯增加傾覆的可能性。按（26）式計(jì)算不同裝藥量不同時刻破損艦船的傾覆概率，結(jié)果如表3所列。

表3 不同裝藥量不同時刻破損艦船的傾覆概率pfTab.3 The capsizing probability pfof damaged warship under different blasting charge at different time

從表3可以看出，對已破損艦船再次受到武器攻擊時，傾覆概率明顯增加。但由于爆炸載荷作用時間很短，故其后傾覆概率有所減小。

7 結(jié) 論

本文對水下爆炸載荷和隨機(jī)風(fēng)浪聯(lián)合作用下破損艦船的橫搖運(yùn)動及其傾覆概率進(jìn)行了分析計(jì)算。由上述理論和實(shí)例分析，可得出如下結(jié)論：

（1）考慮到艦船的結(jié)構(gòu)形式比較特殊，改變傳統(tǒng)的處理方法，將風(fēng)壓傾側(cè)力矩系數(shù)Cm視為變化量，計(jì)入船型因素對風(fēng)擾動力矩的影響，同時考慮了航速對風(fēng)速的影響，即風(fēng)以相對風(fēng)速的形式作用于艦船，給出了計(jì)入航速影響的風(fēng)擾動力矩計(jì)算公式，更符合實(shí)際情況。

（2）算例表明，水下爆炸載荷對橫搖角的概率分布有明顯的影響，即分布的峰值降低，橫傾角增大。而且裝藥量的增加即固定橫傾力矩的增加將明顯增加傾覆的可能性。已破損艦船再次受到武器攻擊時，傾覆概率明顯增加。

（3）本文給出了在水下爆炸及隨機(jī)風(fēng)浪作用下破損艦船大幅橫搖運(yùn)動微分方程，研究了隨機(jī)外力作用下船舶的一維運(yùn)動。雖然這是與傾覆關(guān)系最密切的運(yùn)動模態(tài)，但畢竟尚未給出船舶運(yùn)動的全面描述，和其它運(yùn)動模態(tài)耦合后的艦船橫搖的研究將作為今后進(jìn)一步的研究方向。

（4）對于同時遭受爆炸載荷、隨機(jī)風(fēng)力及海浪的破損艦船，本文引入兩個濾波器，將隨機(jī)動力學(xué)領(lǐng)域理論上較為成熟的路徑積分法推廣應(yīng)用于求解其傾覆概率，即將隨機(jī)微分方程升到五維，通過求解相應(yīng)的FPK方程得到橫搖角的概率密度函數(shù)，由于FPK方程的系數(shù)與風(fēng)浪載荷及爆炸載荷密切相關(guān)，這樣便可以估計(jì)風(fēng)浪載荷及爆炸載荷對艦船傾覆概率的影響。但目前，五維FPK方程還無法求解，這里給出了分析計(jì)算傾覆概率的思路，高維FPK方程的數(shù)值求解有待于以后進(jìn)一步的研究。

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