反例在高等數學教學中的作用與應用

王德印

盤錦職業技術學院（盤錦 124010）

反例在高等數學教學中的作用與應用

王德印

盤錦職業技術學院（盤錦 124010）

實例討論反例在高等數學教學中對學生思維訓練的作用，案例說明該教學法的應用對提高教學效果的體會。

高等數學 反例 作用 應用

1 反例在高等數學教學中的作用

高等數學的反例是指符合某一個命題的條件，但又與該命題結論相矛盾的例子。正確的命題需要嚴密的證明，錯誤的命題則靠反例否定。

1.1 有助于基本概念的深化理解

關于二元函數的極限的概念，現在的描述性定義雖然比過去的“ε?σ”定義簡單，但（x,y）→（x0,y0）是表示點（x,y）以任何方式接近于點（x0,y0），所以在討論極限是否存在時，只要選擇兩條不同路徑，而按這兩條路徑計算的極限值不同，既可說明極限不存在。

例 討論二元函數

→（0,0）時是否存在極限？

1.2 有助于基本定理的理解掌握

在高等數學中，學生對定理條件與結論之間的“充分”、“必要”性的理解通常是學習難點。而反例使學生打開眼界，拓寬思路，從而全面正確理解高等數學的基本定理。

拉格朗日定理是微積分的基本定理，關于它的學習，一般先介紹定理（若函數y=f（x）滿足條件：①f（x）在[a,b]上連續；②f（x）在（a,b）上可導；則在（a,b）內至少存在一點ξ，使得成立），再結合圖形給予證明。對給定的具體函數,要求能夠判斷其是否在所給區間上滿足指定的定理的條件，并能求出滿足定理中的ξ。

1.3 有助于錯誤命題的有效糾正

在一元函數中有兩個重要結論。一是可導必連續，連續未必可導；二是如果f（x）在某某區間（a,b）內只有一個駐點x0，而且從實際問題本身又可以知道f（x）在該區間內必定有最大值或最小值，則f（x0）就是所要求的最大值或最小值。按照常規的思維模式，人們很自然把它們推廣到二元函數。

2 反例在高等數學教學中的應用

在高等數學教學中加強反例思想的滲透，可以強化學生對一些基本概念和定理的學習和理解，并可以激發學生學習數學的興趣，進一步提高教學效果。

2.1 恰當構造反例，加深對概念的理解

理解概念是學生學好高等數學的基礎，也是其能力培養的先決條件。通過反例，從反面消除一些容易出現的模糊認識，嚴格區分那些相近易混的的概念，把握概念的要素和本質。

在高等數學的極限概念教學中，恰當地構造反例，會得到事半功倍的效果。在極限概念的學習中，學生認為：①有界函數的極限一定存在；②如果存在，但不存在，那么不存在。上述兩種想法都是錯誤的。對于①構造反例，因為當x→0時，f（x）不能無限接近于一個確定的常數A，因此，極限不存在；對于②構造反例因為不存在，但

2.2 正確應用反例，加深對定理的理解

定理教學中，反例和證明具有同等重要的地位，通過嚴密的證明才可以肯定一個命題的正確性，而巧妙的反例即可否定一個命題的正確性。

在高等數學的定理教學中，正確地應用反例，能夠全面地理解定理的條件與結論，更好地應用定理解決問題。關于羅爾定理（若函數y=f（x）滿足條件：①f（x）在[a,b]上連續；②f（x）在（a,b）上可導；③f（a）=f（b）。則在（a,b）內至少存在一點ξ，使得 f′（ξ）=0成立）的教學，因為它只是拉格朗日的特例，一般是結合圖形給予說明，不做重點講解。但可以應用反例加深對定理的理解，說明羅爾定理的三個條件是使f′（ξ）=0成立的充分條件，而不是必要條件。

2.3 有效利用反例，糾正習題中的錯誤

學習高等數學需要解題，在解題中要鼓勵學生從多方面進行思考，多角度進行探索，挖掘新思路；鼓勵學生去聯想發揮，改變條件，對習題進行拓寬。

有些失誤難以通過正面途徑檢查出來，而舉反例就能在較短的時間內，較直觀地反映出錯誤所在，而且，由此往往能產生正確的途徑。

“反例”揭示了數學上這種“失之毫厘，差之千里”的特點，達到了教學中那種“打開眼界，拓寬思路”的效果。因此，在高等數學教學中，廣大教師應重視和恰當地應用反例。

[1]同濟大學應用數學系.高等數學.北京:高等教育出版社,2007.

[2]侯風波.應用數學. 沈陽:科學出版社,2007.

[3]馬守春.微積分中反例的作用和構造.高等數學研究,2007（1）.

[4]吳波.淺談高等數學課中微分中值定理教學方法--反例教學法.思茅師范高等專科學校學報,2002（3）.

齊婷婷）