中國剩余定理與插值多項式關系的探究

2011-02-10 01:57:08黃湧輝

長江大學學報(自科版) 2011年13期

黃湧輝

（華南師范大學數學科學學院，廣東廣州510631）

在我國古代數學名著《孫子算經》有這樣一個 “物不知數”問題，“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？”，這就是著名的中國剩余定理。此外，插值法也是一種古老的數學方法。早在1000多年前，我國科學家在研究歷法時就應用了線性插值和二次插值，但它基本理論卻在微積分產生以后才逐步完善的。下面，筆者研究中國剩余定理與插值法之間的關系，并給出數值例子驗證了所得的結論。

1 n次拉格朗日（Lagrange）插值多項式

對于n＋1個互不相同的插值節點xi，i＝0，1，2，…，n，由n次插值多項式的惟一性，可對每個插值節點xi作出相應的n次插值基函數li（x），i＝0，1，2，…，n。要求x0，x1，…，xi－1，xi＋1，…，xn是li（x）的零點，因此可設：

因而有：

作其組合：

那么Ln（x）不高于n次且滿足Ln（xi）＝f（xi），i＝0，1，2，…，n，故Ln（x）是關于插值點x0，x1，…，xn的插值多項式，這種插值形式稱為n次拉格朗日（Lagrange）插值多項式。

2 中國剩余定理

定理1 （中國剩余定理［1］）設m1，m2，…，mn是兩兩互素的自然數，令：

則方程組：

的解為：

式中，M′i是整數，使得 M′iMi≡1（mod mi），i＝1，2，…，n。該方程有且僅有一個小于m 的非負整數解。

推論1［1］若n≥2，m1，m2，…，mn為整數，則同余方程組有解的充要條件是對任意的i，j有（mi，mj）｜bi－bj，其中，（mi，mj）為mi，mj的最大公因數，i，j＝1，2，…，n。

由中國剩余定理可得到如下結論：

定理2 設m1（x），m2（x），…，mn（x）是n個兩兩互素的且次數n≥1多項式，任給n個多項式a1（x），a2（x），…，an（x），則一定存在多項式f（x），使得：

并且f（x）關于m（x）是唯一確定，其中m（x）＝m1（x）m2（x）…mn（x）。

證明先對方程組中的式（1）和式（2）進行討論。由于m1（x）和m2（x）互素，所以利用輾轉相除法找到p（x）和q（x），使得p（x）m1（x）＋q（x）m2（x）＝1。兩邊同時乘以a1（x）－a2（x）得：

即：

也即：

故：

由此可得：

故：

同理可得到方程組中的其余式子。因而定理2得證。

3 關系探究

記mi（x）＝x－bi∈Q［x］，i＝1，2，…，n，其中，bi是互不相等的常數。由于mi（x），（i＝1，2，…，n）為有理數域Q［x］上的不可約多項式，從而mi（x）是兩兩互素的多項式。由于mi（x）≡mi（bi）（mod（x－bi）），（i＝1，2，…，n），由中國剩余定理知，一定存在多項式f（x），使得：