一道微分幾何題的一題多解

何 青，鄒九生

(江西贛南教育學(xué)院，江西 贛州 341000)

一道微分幾何題的一題多解

何 青，鄒九生

(江西贛南教育學(xué)院，江西 贛州 341000)

一題多解對(duì)基本概念、基本技巧的把握是有效的甚至是不可替代的途徑。分別運(yùn)用微分解析幾何和初等解析幾何等方法對(duì)一道課本上的微分幾何習(xí)題從多種角度思考，給出了8種解法。

習(xí)題;微分解析幾何；初等解析幾何；多解

例1 證明曲線x=1+3t+2t2，y=2-2t+5t2，z=1-t2為平面曲線，并求出它所在平面方程。

通過(guò)對(duì)一個(gè)例題從多方位角度思考，能使學(xué)生更深理解和區(qū)別有關(guān)定理和知識(shí)，甚至能跨教材聯(lián)系前后的相關(guān)課程。

1 初等解析幾何證法

證法1 思路分析如下：任取曲線上2點(diǎn)的切線方向，如果2方向不平行，則可以確定由該2方向所確定的平面的法方向。在曲線上取定已知一點(diǎn)(點(diǎn)確定的向量)，證明該方向垂直于曲線上任意點(diǎn)與已知點(diǎn)確定的向量。由此證明曲線上任一點(diǎn)均落在過(guò)已知點(diǎn)且垂直該法向量的平面上。

故平面方程為：

(x-1)·2+(y-2)·3+(z-1)·19=0

即：

2x+3y+19z-27=0

證法2 思路分析如下：可以在曲線上任意取出3個(gè)特殊點(diǎn)，可以確定這3個(gè)點(diǎn)所確定平面的法方向，證明這個(gè)法方向與曲線上任意點(diǎn)與該3點(diǎn)中的一點(diǎn)所確定向量垂直。因：

所以：

證法3 思路分析如下：消去參數(shù)，求出曲線所在平面。由：

消去參數(shù)t整理有：

解得：

2x+3y+19z-27=0

2 微分解析幾何證法

設(shè)船舶j相對(duì)于船舶i運(yùn)動(dòng)的軌跡曲線方程為f(x)，那么船舶i到船舶j的最近距離則可看作是船舶i到曲線f(x)的最近距離見(jiàn)圖1。

則：

即這條曲線上任意一點(diǎn)處副法向量是固定向量，從而曲線是平面曲線。

證法6 思路分析如下：根據(jù)文獻(xiàn)[1]中結(jié)論：證明撓率恒等于0的曲線是平面曲線。因?yàn)椋?/p>

由：

即該曲線在任意一點(diǎn)處的撓率恒等于0，曲線是平面曲線，它們所在平面即是曲線在任一點(diǎn)的密切平面。

令t=0，得：

密切平面方程為：

證法7 思路分析如下：直接求曲線上任一點(diǎn)處的密切平面，得到該曲線任一點(diǎn)處的密切平面是固定平面，與參數(shù)無(wú)關(guān)，從而曲線是平面曲線，即密切平面所在平面。令：

則：

故該曲線在任一點(diǎn)處的密切平面為：

解得方程2x+3y+192-27=0與t無(wú)關(guān)，該曲線的密切平面不隨t的變化而變化，密切平面是固定的，該曲線是平面曲線。

所以可知A、B、C、M共面，即2x+3y+19z-27=0。

3 結(jié) 語(yǔ)

上述8種不同解法分別屬于微分解析幾何和初等解析幾何，可以看到具有不同的幾何或代數(shù)意義，同時(shí)在方法上也有不同的一般指導(dǎo)意義。這些方法對(duì)提高學(xué)生的空間想象能力并加強(qiáng)對(duì)幾何概念的直觀理解有特別作用，同時(shí)也讓學(xué)生集中體會(huì)了微分幾何和空間解析幾何之間的聯(lián)系。解析幾何是微分幾何的基礎(chǔ)，只有掌握了解析幾何的知識(shí)和方法，才能更好學(xué)習(xí)微分幾何。一題多解的目的并不在于“多解”,而在于思維的“多層次”,在于學(xué)生從多解中分析出解法的優(yōu)劣,加深對(duì)有些概念的透徹理解，同時(shí)在于提示教師對(duì)有些概念的深層次理解。可以借助于習(xí)題的講解，使學(xué)生獲得高水平的思維訓(xùn)練,從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

[1]梅向明，黃敬之.微分幾何[M]. 第3版.北京：高等教育出版社，2004.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.05.044

N4

A

1673-1409(2011)05-0127-03