理想平板顫振臨界風速的一種新算法

邱 可，孫作玉

(廣州大學土木工程學院，廣東廣州510006)

在橋梁風工程中，當風速超過顫振臨界風速時，結構以振動方式從氣流中吸取的能量大于被結構阻尼所耗散的能量，從而使結構的振動處于負阻尼的狀態而發生顫振。顫振現象的出現可能導致橋梁結構的整體破壞，所以必須避免顫振現象的發生。因而，判斷顫振臨界狀態，計算顫振臨界風速，對結構的抗風設計有著非常重要的作用。

目前，關于理想平板兩自由度耦合顫振下其臨界風速的理論計算，風工程學者們基于Scanlan［1］顫振分析方法提出了一種將平板顫振臨界風速的確定轉化為兩個方程的共同解問題。但這兩個方程是四次非線性，公式復雜，計算量大。許福友用追趕法［1］計算了平板的顫振臨界風速，雖然達到了較高的精度，但所用的方程組依然是四次非線性復雜方程組，計算過程比較復雜。本文基于平板顫振理論，提出了一種新算法，該方法首先建立了用于確定含有8個顫振導數的顫振臨界風速的兩未知數方程組，并通過設定某一未知數的取值范圍，對其中某一方程轉換成特征方程，得到該方程的精確解，代入另一方程，并對未知數取值范圍進行約束，最后得到了該方程組的近似解。通過算例分析，發現得到顫振臨界風速與追趕法吻合良好，證實了該方法的可靠性和有效性。

1 橋梁斷面運動方程

對于在水平均勻流場中作微幅振動的二維理想薄平板(圖1)，在顫振僅考慮有自激力作用的情況下，具有豎彎和扭轉兩個自由度。橋梁斷面在空氣中的二維耦合顫振的運動方程可以表示為［2］:

式中:m和I分別為橋梁主梁單位長度的質量和質量慣矩;ωh和ωα分別為結構豎向振動和扭轉振動的固有圓頻率;ξh和ξα分別為豎向振動和扭轉振動結構阻尼比;ρ為空氣密度;U為均勻來流風速;B為橋面寬度為折減頻率;ω為振動圓頻率;為顫振導數，均為折減頻率K的函數［3，4］，與橋梁斷面的幾何構型和來流有關。通常被稱為直接顫振導數，而被稱為耦合(交叉)顫振導數;h和α分別為主梁的豎向和扭轉位移。

圖1 理想平板

2 顫振臨界風速方程組推導

在顫振臨界狀態，豎向平動和扭轉二個自由度具有相同的運動頻率［5］，記這一未知頻率為ω0，則可以假設節段模型的豎向簡諧振動和扭轉簡諧振動有如下形式:

式中:h0和α0為豎向和扭轉簡諧振動的振幅;ω0為顫振頻率。ω0為實數條件下，將式(3)代入式(1)和式(2)化簡并且使得式中等號兩邊的實部和虛部分別相等。于是有:

由式(8)～式(9)化簡可得:

3 顫振臨界風速計算方法

式(10)和式(11)含有兩個未知數X和K，其中K隱含在顫振導數和中。而K與顫振圓頻率ω和風速U有關，而X又只與ω有關。該方程組只需求解ω和K這兩個物理量。式(10)和式(11)均為強非線性方程，各有無窮多組解，需采用半逆解法對兩個方程的根循環對比來搜索共同解，計算過程非常復雜，因而理論上的共同解很難獲取。本文通過對方程進行變換，利用式(11)的解代于式(10)，然后進行分析，就可得到該方程組的近似解。在顫振臨界狀態中，它是扭轉發散振動或彎扭復合的發散振動，一般來講，在顫振臨界狀態，振動頻率 ω0處在 ωh和 ωα之間:ωh≤ω0≤ωα。對式(11)進行轉換為如下形式:

式中，［E］為2階單位矩陣。

式(12)可以看作是一個特征方程的形式，對每一個確定的K值，求出一個相應的特征解ω0。搜索顫振臨界風速的近似解的基本步驟如下:

(1)選取一定范圍內的K值，通過式(12)求出一系列相應的正實數特征解ω0，記作ωi，與之對應的K值也記為Ki;

(2)把步驟(1)得出的Ki和ωi值代入式(13)的左邊，并令其絕對值大小等于yi;

(3)選取 ωh≤ωi≤ωα時對應的 yi值，當 yi取得極小值時，求出其對應的K和ω值，分別記為Kj和ωj;

4 算例

在均勻流作用下的一個薄平板，寬度B=0.45 m，質量m=11.25 kg/m，質量慣矩I=0.2828 kg·m2/m，豎彎頻率ωh=12.11rad/s，扭轉頻率 ωα=19.0 rad/s，豎彎阻尼比 ξh=0.005，扭轉阻尼比 ξα=0.008，空氣密度 ρ =1.225 kg/m3，確定其顫振臨界風速。

在［0 4］范圍內每隔0.02取作一個K值，即K=0.02∶0.02∶4。然后通過上述步驟計算出的ω值，如圖2所示。

圖2 振動頻率值

通過圖2中的數值計算yi值，并分析得到K=0.42，ω=14.7907為所求的參數，計算出相應的顫振風速解為Uj=16.6395 m/s。用追趕法［1］計算的顫振臨界風速解結果為16.04 m/s，可見結果吻合良好。

5 結論

基于平板顫振理論，提出了理想平板條件下求其顫振臨界風速的一種新計算方法，并應用該方法對一算例進行了分析。

(1)與其他方法［1，5］相比，該算法列出的方程組簡便，最高次數只有兩次，降低了階次，簡化了計算過程;

(2)與其他方法［1，5］相比，該算法提出的搜索顫振臨界風速解求解過程更簡單，并且計算結果吻合良好，證實了該方法的有效性和適用性。

［1］許福友，陳艾榮，王達磊.搜索平板顫振臨界風速的追趕法［J］.工程力學，2005，22(5)

［2］Scanlan R H.Theaction of flexible bridges under wind I:flutter theory［J］.J.Sound and Vib，1978，60(2):187 －199

［3］李國豪.橋梁結構穩定與振動(修訂版)［M］.王光遠，譯.北京:科學出版社，1996

［4］Scanlan R H.Problematic in formulation of wind － force model for bridge decks［J］.J Styuct Engry ASCE，1993，119(7):1433 － 1446

［5］陳政清.橋梁風工程［M］.北京:人民交通出版社，2005