又見含參題 分離較簡潔
——2011年浙江省數學高考理科壓軸題評析

●施克滿 (樂清中學 浙江樂清 325600)

又見含參題 分離較簡潔
——2011年浙江省數學高考理科壓軸題評析

●施克滿 (樂清中學 浙江樂清 325600)

2011年浙江省數學高考理科試題第22題:

設函數 f(x)=(x－a)2lnx，a∈R．

(1)若x=e為y=f(x)的極值點，求實數a;

(2)求實數a的取值范圍，使得對任意的x∈(0，3e］，恒有 f(x)≤4e2成立(e為自然常數)．

命題目的本題主要考查函數極值的概念、導數運算法則、導數應用、不等式等基礎知識，同時考查推理論證能力、分類討論等分析問題和解決問題的能力．

筆者用分離參數法給出了不同于參考答案的另解．

解(1)略．

(2)①當0＜x≤1時，lnx≤0，對于任意的實數a，恒有

又由x0＞1，注意到函數x2ln3x在［1，+∞)內單調遞增，得 1＜x0≤e．這里的“函數 x2ln3x在［1，+∞)內單調遞增”是命題者的一種太過簡單的寫法，實際上也是要說明的;同樣“函數2xlnx+x在(1，+∞)內單調遞增”也一樣需要說明．

總之，命題者所給出的參考解答對學生的實際情況考慮比較少．從高考閱卷的情況看，考生的解答與參考解答類似的很少．

(2)對于只有一個參變量的問題，高中數學教學中通常強調的一種通法就是分離參數法．這樣做的好處是將問題轉化為求某一個無參函數的最值問題，進而求解．

具體到本題，當1＜x≤3e時，可先將a分離出來，即

這種解答過程“一氣呵成”，也是學生最自然的想法和最自然的表達．從2011年浙江省數學高考閱卷的情況看，這種解法也是最多的．

(3)高考答題的一個顯著特點是時間的限定性，也就是在規定的120分鐘內要完成22個問題的解答．根據羅增儒教授的統計，一套數學高考試卷通常控制在2 000個左右的印刷符號，若以每分鐘閱讀300～400個印刷符號的速度審題，約需5～7分鐘，考慮到有的題目要反復閱讀，實際需要12分鐘;書寫主要用于解答題，約3 000個印刷符號，也就是說，看清題目后直接抄標準答案都需要40分鐘，留給思考、草算、文字組織和復查檢驗的時間只有80分鐘，平均到每一道題，保證不了3分鐘［1］．我們知道能進行壓軸題解答的學生通常是數學能力比較好的學生，他們采用的通常做法應該也就是他們平時用的最熟悉的方法，對于這個問題而言就是分離參數法．這一點也恰恰是中學數學新課程中強調問題的通性通法，在實際教學中注重問題的解決要從問題的本質入手．

(4)美籍匈牙利數學家、數學教育家波利亞在《怎樣解題》一書中指出，解題分4個步驟:第一，理解題目;第二，擬訂方案;第三，執行方案;第四，回顧［2］．從中可以非常清楚地看到解題反思是完整解題的一個必不可少的過程．荷蘭籍國際數學教育大師弗賴登塔爾認為“反思是數學活動的核心和動力”，“沒有反思，學生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平”［3］．通過解題反思可以很好地提高學生的數學意識，優化學生的思維品質，溝通各知識之間的聯系，促進知識之間的同化，形成完整的知識網絡．

通過本題的解答，我們看到浙江省這5年(2007－2011年)的高考函數解答題是一脈相承的，重點都在考查函數極值、導數運算、導數應用、函數的單調性、不等式等基礎知識，同時考查推理論證能力、分類討論思想、數形結合思想、函數與方程思想等基本思想方法．并且這5年的函數問題都是含有參數的，對于參數的處理方法也是不一樣的，可以是分離參數法，也可能是包含在函數中一起討論，至于采用什么處理方法需視具體問題而定．同時還發現在其他省市的高考中也廣泛采用這樣一種含參的形式來進行函數問題的命題，這一點也是教學中值得我們重視的．

結語高考數學試題的參考解答不僅僅是高考評分的主要標準，同時也應成為數學問題解答的典范，對高中數學教學有重要的導向作用，即高考試題的參考解答應該充分體現課程改革的精神和理念．我們通過對問題的分析發現不同解法之間的差別，而高考是有嚴格的時間規定的，因而拿到問題后要迅速解決“從何處入手”、“向何方前進”這2個基本問題．因此根據新課程的要求，應始終堅持對通性通法的研究，并且強調解題的反思，不斷提升學生的學習水平和解決問題的能力．

［1］ 羅增儒．高考臨場20招［J］．中學數學教學參考，2011(3):50-58．

［2］ 波利亞．怎樣解題［M］．涂泓，馮承天，譯．上海:上海科技教育出版社，2002．

［3］ 弗賴登塔爾．作為教育任務的數學［M］．上海:上海教育出版社，1995．