高考創新題的命題走向及解題策略

●胡水林 (元濟高級中學 浙江海鹽 314300)

高考創新題的命題走向及解題策略

●胡水林 (元濟高級中學 浙江海鹽 314300)

《浙江省普通高考考試說明》中對創新意識能力的要求:能發現問題、提出問題，綜合與靈活地應用所學的數學知識、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創造性地解決問題．

在考試中創設新穎的問題情境，構造有一定深度和廣度的數學問題，注重問題的多樣化，體現思維的發散性．精心設計考查數學主體內容、體現數學素質的試題;反映數、形運動變化的試題;研究型、探索型、開放型的試題．

從2004年開始，全國16個省市獨立高考命題，形成了“百花齊放”的局面．審視近幾年的高考數學試題，不難發現:高考數學試題正經歷著一個從“知識立意”到“問題立意”，再發展為以“能力立意”的過程，目的是突出考查學生的數學能力，并發掘學生的數學潛能，以符合新時代的人才要求．

創新題是近幾年高考數學試題中備受青睞的一種題型．它多姿多彩的格調、清晰優美的風采、發散開放的形式、四兩撥千金的巧妙，構成了高考試題中一道亮麗的風景線．如何引導學生立足于數學思想、數學系統，運用創新思維，“以子之矛攻子之盾”，從而突破層層表象的迷霧，抓住隱含的數學本質問題呢?仔細研究這些試題可以使我們明晰高考數學命題的動向和趨勢，以幫助師生制定相應的解題策略，從而提高高三數學復習迎考的針對性和有效性．

1 以初等數學知識點為創新點命制試題

1．1以函數知識為背景

(2010年浙江省數學高考理科試題)

創意分析本題主要考查了函數的概念、定義域、值域、圖像和對數函數的相關知識點，對數學素養有較高要求，體現了對能力的考查，屬中檔題．

1．2 以數列定義為背景

創意分析本題以考生熟悉的等差、等比數列的定義為命題的出發點，創造性地構造“等差比數列”的新定義，在新定義下判斷命題真假．這樣命制體現了試題背景的公平性，考查了考生知識的遷移能力和應變能力．

解題策略透過新定義的表象，抓住問題的本質即等差、等比數列的概念，進行檢驗．答案選D．

1．3 以推遞數列為背景

例3定義一種運算“*”:對于自然數滿足以下運算性質:

創意分析本題以規定了一種新的運算“*”形式命題，而本質以考生熟悉的遞推數列為命題的出發點，考查學生的閱讀能力和轉化能力．

解題策略關健是要讀懂題意，例如考生將“1*1”讀懂為“a1”，將“n*1”讀懂為“an”，則問題可轉化為:已知 a1=1且 an+1=an+1，則an等于多少?即可知選D．

1．4 以直角坐標系為背景

圖1

例4如圖1，平面中2條直線l1和l2相交于點O，對于平面上任意一點M，若p，q分別是點M到直線l1和l2的距離，則稱有序非負實數對(p，q)是點M的“距離坐標”．已知常數p≥0，q≥0，給出下列命題:

①若p=q=0，則“距離坐標”為(0，0)的點有且僅有1個;

②若 pq=0，且 p+q≠0，則“距離坐標”為(p，q)的點有且僅有2個;

③若pq≠0，則“距離坐標”為(p，q)的點有且僅有4個．

上述命題中，正確命題的個數是 ( )

A．0 B．1 C．2 D．3

(2006年上海市數學高考試題)

創意分析本題以學生熟悉的直角坐標系為母體，設計了“距離坐標”新定義，把一個動點到2條相關直線的距離所形成的有序非負實數對(p，q)定義為點的“距離坐標”，在新定義下判斷幾個命題的真假．這類創新題考查學生能否讀懂題意，是否能將信息遷移．因而，這類創新題難度不大，但對閱讀能力、理解能力、知識遷移能力、應變能力等要求相對較高．

解題策略①當p=q=0時，則點M只能落在直線l1和l2相交點O處，命題正確．

②當 pq=0，且 p+q≠0 時，例如 p=0，q≠0，則點M只能落在直線l1上，故只有2個點．

③若pq≠0時，點M可能落在直線l1和l2外，且到直線l1和l2的的距離分別是p，q，這樣的點共有4個．

故選D．

1．5 以分段函數為背景

例5在實數的原有運算法則中，我們補充定義新運算“⊕”如下:當 a≥b時，a⊕b=a;當 a＜b時，a⊕b=b2，則函數 f(x)=(1⊕x)·x－ (2⊕x)(x∈［－2，2］)的最大值等于(“·”和“－”仍為通常的乘法和減法) ( )

A．－1 B．1 C．6 D．12

創意分析本題以考生熟悉的分段函數為命題的出發點，定義了一種新運算“⊕”．在這種新運算下，又有“·”和“－”通常的乘法和減法運算．這類創新題考查學生能否正確理解新運算的定義和新舊運算之間的混合運算的適應能力．

解題策略由題意得

畫圖可知函數的最大值是6．故選C．

2 以新課程新增知識點為創新點命制試題

“堅持數學應用，考查應用意識”是近幾年高考命題者堅持的一個命題方向，試卷突出新增加的如概率、導數等知識的應用性，反映出中學課程新增加的數學內容在解決實際問題中的重要作用．研究型、探索型、開放型試題是創新型試題的基本題型，有利于測試考生的能力與素質，有利于考查考生的探究精神．

例6如圖2，一個正五角星薄片(其對稱軸與水面垂直)勻速地升出水面，記t時刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)=0)，則導函數y=S'(t)的圖像大致為 ( )

圖2

(2010年江西省數學高考理科試題)

創意分析本題考查了閱讀和理解能力，同時考查了學生對新知識、新事物的接受能力和加以簡單運用的能力．既考查了應用意識，又考查了探究精神．要求解題者通過觀察、閱讀、歸納、探索進行遷移，即讀懂和理解新情境，獲取有用的新信息，然后運用這些有用的信息進一步推理，綜合運用數學知識解決問題的能力和探索能力．

解題策略本題考查函數圖像、導數圖像、導數的實際意義等知識，最初零時刻和最后終點時刻沒有變化，導數取0，因此排除選項C;總面積一直保持增加，沒有負的改變量，排除選項B;考察選項A和D，差異在于兩肩位置的改變是否平滑，考慮到導數的意義，判斷此時面積改變為突變，產生中斷，故選A．

3 以競賽數學知識點為創新點命制試題

3．1 以函數迭代為背景

例7 若f(n)為n2+1(n∈N*)的各位數字之和，如:142+1=197，1+9+7=17，則 f(14)=17;記 f1(n)=f(n)，f2(n)=f(f1(n))，…，fk+1(n)=f(fn(n))，k∈ N*，則 f2008(8)=＿＿．

創意分析本題定義了一個新的函數f(n)為n2+1(n∈N*)的各位數字之和，以競賽數學中的函數迭代定義fm(n)，從而求值．

3

．2 以格點(整點)為背景

創意分析本題以“格點”為背景，創造性地定義了“k階格點函數”，而讓學生判斷哪些函數是“一階格點函數”，讓學生在讀懂新定義情況下，判斷哪些函數圖像上有且只有一點橫坐標、縱坐標均為整數．背景新穎，難度不大．

解題策略函數①只經過點(0，0)，函數②只經過點(1，3)，函數④只經過點(1，0)，而函數③經過點(0，1)，( －1，3)，( －2，9)，……．故答案是①②④．

3．3 以高斯函數背景

例9對于任意實數x，符號［x］表示x的整數部分，即是不超過x的最大整數，當x是整數時［x］就是x．函數f(x)=［x］叫做“高斯函數或取整函數”，則［log21］+［log22］+［log23］+［log24］+… +［log22 008］=＿＿ ．

創意分析本題給出“高斯函數”的定義，在高斯函數定義下求對數的值，關鍵是考查學生對x≤［x］＜x+1的理解和運用能力．

創意分析本題以“歌德巴赫曾研究過的問題”為背景，考查學生對極限思想與無窮項求和記號的理解，命制了讓學生通過對題中“記號”進行觀察、分析、歸納、總結，創造性地考查學生“研究性學習”的理念和方法．

4 以高等數學知識點為創新點命制試題

高等數學的一些基本思想、基本概念、基本方法為設計創新型試題提供了深刻的背景，這是因為高等數學的基本思想和方法是考查學生進一步學習潛能的良好素材．另外需要注意到，命題者大多數是大學教師，他們在命題時會受到自身學術興趣和研究背景的影響．高考創新型試題一般都有比較深刻的高等數學背景，這類題目形式新穎，在課本例習題、復習資料和模擬試題中難以找到．

解答這類題目沒有現成的方法可借鑒，會使一些考生感到難以人手，從而使該類題目有很好的區分度，因此命題教師十分青睞含有高等數學背景的試題．

4．1 以列行式為背景

4．2 以矩陣為背景

創意分析本題以“矩陣”為背景定義了新運算，并定義了運算的幾何意義，其實質是考查學生初等數學中“映射”的概念，即:在平面上的點(x，y)在映射 f下變換成點(ax+by，cx+dy)．這樣命制體現了試題背景的公平性，考查了學生對知識的遷移能力．

解題策略 由題意得

4．3 以狄利克雷函數為背景

創意分析本題設計了狄利克雷函數這個特殊函數，考查特殊函數的圖像、極限、導函數和一次迭代等概念，明確點函數的圖像、極限、導數等．

解題策略由題意得點函數的圖像不是2條平行直線，當x→∞時的極限不存在，而f［f(x)］=1，故選 D．

4．4 以利普希茨條件為背景

例14定義:若存在常數k，使得對定義域D內的任意 2 個 x1，x2(x1≠x2)，均有

創意分析本題設計了定義“利普希茨條件”，考查學生對新知識的理解和運用能力．

解題策略由題意任意2個x1，x2(x1≠x2)∈［1，+∞)，得

4．5 以微積分思想為背景

圖3

例15曲線C:y=2x(0≤x≤2)兩端分別為 M，N，且NA⊥x軸于點A．把線段 OA分成n等份，以每一段為邊作矩形，使與x軸平行的邊的一個端點在C上，另一端點在C的下方(如圖3)．設這n個矩形的面積之和為Sn，則

創意分析本題以高等數學中的微積分思想為背景，考查學生的等比數列求和公式、求極限的方法等．本題設計背景新穎、思想超前、難度適中．

解題策略將曲邊梯形分割為n個矩形的面積之和Sn，而Sn又是等比數列的前n項的和，求出Sn，再求出所求極限，答案為24．

5 結束語

沒有創新就沒有發展;沒有發展，事物就會失去存在的價值．在與時俱進的時代理念下，高考數學的創新發展勢在必然．創新并不可怕，可怕的是面對創新題我們卻無所作為．因此作為一線教師，作為學生學數學的領航員，必須做到以下幾點:

(1)更新教學理念，激發有效課堂，注重通過多種形式與途徑在課堂中培養學生的創新思維;

(2)要拓寬視域，研究高考創新題的題型、解法和走勢，從中摸索到一些規律性的東西來指導創新數學教學;

(3)要關注生活，將生活引入數學課堂，讓數學課堂關注生活問題，通過暗示、誘導、逆向啟發等多種手段訓練并培養學生運用數學知識解決生活問題的思維與能力;

(4)要學生創新，教師得先創新，要努力學習新課程理念，探索新課程標準下的數學創新教學的有效途徑，爭創一個能解會編、能教會導創新題的身體力行的創新型教師．