巧用必要條件 突破解題難點(diǎn)

●蔣惠光 胡文婷 (奉賢中學(xué) 上海 201400)

巧用必要條件 突破解題難點(diǎn)

●蔣惠光 胡文婷 (奉賢中學(xué) 上海 201400)

上海市高中一年級(jí)第一學(xué)期數(shù)學(xué)教材(試用本)第23頁(yè)給出了一個(gè)關(guān)于“子集與推出關(guān)系”的定理:“設(shè)A，B是2個(gè)非空集合，A={a|a具有性質(zhì)α}，B={b|b具有性質(zhì)β}，則A?B與α?β等價(jià)”．這個(gè)定理告訴我們:“若β是α的必要條件，則A?B”．利用必要條件與集合之間的這種關(guān)系，常常能夠幫助我們?cè)诿鎸?duì)一些比較復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，巧妙地化解難點(diǎn)，找到解題的突破口．本文將通過(guò)對(duì)幾個(gè)典型問(wèn)題的剖析，闡述在有關(guān)問(wèn)題中利用必要條件解題的一些常用方法和技巧．

1 題設(shè)條件特殊化——探求目標(biāo)所在

都成立，這是一個(gè)具有一般性的結(jié)論，蘊(yùn)含著特殊情形．充分利用“若等式對(duì)一切正整數(shù)都成立，則當(dāng)n=1，2，3時(shí)等式必成立”這一邏輯關(guān)系，即“等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立”的必要條件是“當(dāng)n=1，2，3時(shí)等式成立”，由此得到一個(gè)方程組，順利地求出了a，b，c的可能值，后面用數(shù)學(xué)歸納法證明就水到渠成了．通常，一個(gè)具有一般性的結(jié)論在某些特殊情形下會(huì)變得比較簡(jiǎn)單，原來(lái)難覓蹤影的目標(biāo)往往在特殊情形下就會(huì)暴露出它的“原形”，從而為后續(xù)的解題打開了“突破口”，這種“從一般到特殊”的思路是一種常用的解題方法．

2 題設(shè)條件寬泛化——鎖定目標(biāo)范圍

(1)將 f(x)化為 Asin(ωx+φ)+B(其中 A＞0，ω＞0)的形式;

用同樣的方法進(jìn)行驗(yàn)證可知a=4，5，6都滿足題設(shè)，但a=7不滿足．

綜上所述，a 的取值為3，4，5，6．

3 題設(shè)條件具體化——揭示目標(biāo)性質(zhì)

評(píng)析本題的難點(diǎn)在于題設(shè)條件“a1a2…an=a1+a2+…+an”是一個(gè)含有n個(gè)未知量的不定方程，比較抽象，難以直接上手．此時(shí)需要設(shè)法變更條件，使之更加具體、具有“可操作性”．為此，從題設(shè)條件推出所求目標(biāo) a1，a2，…，an滿足性質(zhì)“a1·a2·…·an－1＜n”和“n＞(n－1)!”(n≥4)，也就是說(shuō)這2個(gè)不等式成立是題設(shè)成立的必要不充分條件．由于這2個(gè)不等式與n建立了直接而具體的聯(lián)系，使我們能夠從中推出當(dāng)n≥4時(shí)問(wèn)題無(wú)解，并求出了唯一解．這種將原來(lái)比較抽象的題設(shè)條件具體化的方法是一條重要的解題途徑．

4 題設(shè)條件簡(jiǎn)單化——分步逼近目標(biāo)

由此可知所求的函數(shù)是唯一的，即f(x)=x+1，x∈Q．經(jīng)檢驗(yàn)知，它滿足題設(shè)條件(1)和(2)．

評(píng)析這是一道國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題，有相當(dāng)?shù)碾y度，要想一步到位直接求出滿足題設(shè)條件的函數(shù)f(x)絕非易事．先簡(jiǎn)單后復(fù)雜、從低級(jí)到高級(jí)，這是我們普遍遵循的一種思維方式．本題從題設(shè)所包含的最簡(jiǎn)單情形開始研究:當(dāng)y=1時(shí)，容易推出結(jié)論:f(x+1)=f(x)+1;利用這一遞推關(guān)系式可得到f(x+n)=f(x)+n和f(n+1)=n+2，這就把結(jié)論推廣到了整數(shù)的情形;再進(jìn)一步，利用有理數(shù)都可以表示為(m，n∈Z，且 m≠0)的形式，運(yùn)用已得到的結(jié)論推出=+1，從而求得函數(shù)．

總之，利用必要條件解題是一種“以退為進(jìn)”的解題策略，其關(guān)鍵在于設(shè)計(jì)一個(gè)恰當(dāng)?shù)摹氨匾獥l件”，使之比原來(lái)的題設(shè)條件具有更強(qiáng)的“可操作性”，更容易入手，從此打開解題的突破口．這種方法對(duì)于不少較有難度的數(shù)學(xué)問(wèn)題，尤其是對(duì)“求滿足某種性質(zhì)的元素或探索其是否存在”這一類數(shù)學(xué)問(wèn)題往往是非常有效的!同時(shí)，運(yùn)用此法解題還有利于學(xué)生深刻理解充分條件、必要條件和充要條件等重要數(shù)學(xué)概念，真正弄清它們之間的邏輯關(guān)系．這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、收斂思維能力，形成思維的多樣性，提升思維品質(zhì)都有很好的幫助，值得在日常的教學(xué)活動(dòng)中加以充分利用．

［1］ 蔣惠光．一道自主招生試題的拓展與研究［J］．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2010(8):41．

［2］ 殷啟正，陳志友．國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克(IMO)思想方法［M］．濟(jì)南:山東教育出版社，1993．