正弦定理、余弦定理在立體幾何中的推廣

●常國良 (泰興中學 江蘇泰興 225400)

正弦定理、余弦定理在立體幾何中的推廣

●常國良 (泰興中學 江蘇泰興 225400)

數學命題的推廣是數學發展不可缺少的手段，是一項富有挑戰性和創新性的活動．近幾年的高考試題也加強了對這方面的考查，給考生耳目一新之感．本文給出正弦定理和余弦定理在立體幾何中的推廣，供參考．

1 在三棱柱中的推廣

圖1

如圖1所示，設三棱柱ABC-A1B1C1的側面ABB1A1的面積為 S1，側面 ACC1A1的面積為 S2，側面 BCC1B1的面積為S3，二面角A-CC1-B，C-BB1-A，B-AA1-C 的大小分別為 α，β，γ，面 A0B0C0為三棱柱的一個直截面．

推廣1在三棱柱ABC-A1B1C1中，有

2 在三棱錐中的推廣

推廣3在三棱錐中，各側面的面積與其所對棱長的積同該側棱所在二面角正弦的比都相等．

如圖 2所示，在三棱錐 P-ABC中，PA=a，PB=b，PC=c，S△PBC=S1，S△PCA=S2，S△PAB=S3，二面角 C-PA-B，A-PB-C，B-PC-A的大小分別為 θ1，θ2，θ3，則

證明過點P作PO⊥面ABC，PD⊥AB，點O，D為垂足，連結OD．由三垂線定理的逆定理，知OD⊥AB，因此∠PDO為二面角P-AB-C的平面角，即∠PDO= θ，于是

圖2

圖3

推論在對棱分別相等的三棱錐中，側棱與其所對二面角的正弦的比相等．

推廣4在三棱錐中，它的任意一個面的面積的平方，等于其他3個面的面積的平方和，減去這3個面中每個面的面積與它們所夾二面角余弦積的和的2倍．

如圖3，在四面體 A-BCD 中，設頂點 A，B，C，D所對面的面積分別為 S1，S2，S3，S4，其中每 2 個面所夾的二面角分別為 αij(i，j=1，2，3，4，i≠j)，則