寧波市高中青年數學教師“說題”大賽試題評析

●張振繼 (寧波萬里國際學校 浙江寧波 315040)

寧波市高中青年數學教師“說題”大賽試題評析

●張振繼 (寧波萬里國際學校 浙江寧波 315040)

2010年10月26日，浙江省寧波市舉行城區高中青年數學教師“說題”比賽，此種形式的比賽在寧波歷史上還是第一次．本文就“說題”中的幾道試題進行評析，供教學時參考．

本次活動共分3組，每組4人，一共有12人參加，第1～4人說第1題，第5～8人說第2題，第9～12人說第3題．每人給出思考準備時間15分鐘，“說題”時間15分鐘．以下筆者逐題進行分析．

題1 設{an}是由正數組成的等比數列，Sn是其前n項和，證明:

(1995年全國數學高考文科試題)

命題立意本題考查等比數列的前n項和公式、對數函數的單調性及不等式的證明方法，屬于中等難度的題目．

本題還可以用數學歸納法(探究)，這里略．

題目點評在利用等比數列前n項和公式求解時，應注意對公比q進行分類討論．但如果利用和數列{Sn}之間的遞推關系，那么便可回避分類討論，優化解題過程．

一般地，在等比數列{an}中，前n項和為

成立，并證明你的結論．

(1995年全國數學高考理科試題)

題2設二次函數f(x)=ax2－2x－2a(a∈R，a≠0)，若集合A={x|f(x)＞0}，集合 B={x|1＜x＜3}，滿足A∩B≠φ，求a的取值范圍．

命題立意本題考查二次函數、不等式的解集、集合語言之間的轉換，屬于難題．

思路分析直接利用A∩B≠φ，或從反面入手求解．

解法探究若通過求不等式f(x)＞0的解集來求解，由于含有參數，則討論起來比較復雜．

解法1(直接法)由A∩B≠φ，得存在x∈(1，3)，使得 f(x) ＞0有解(解集非空)．

(1)當a＞0時，結合二次函數的圖像得

解法2(間接法)由 A∩B=φ，得當x∈(1，3)時，不等式f(x)≤0恒成立．

題目點評本題通過解不等式f(x)＞0的解集求解，計算量大而復雜，難度較大．若充分利用數形結合思想，則可以化難為易;另外利用補集思想處理，比較理想，值得回味與深思．

相關鏈接:

1．已知集合 A={x|－8≤x≤6}，B={x|x≤m}，若 A∪B≠B，且 A∩B≠φ，則 m 的取值范圍是＿＿．

(2005年全國“希望杯”邀請賽高一試題)

2．設函數f(x)=ax2－2x+2 對任意x∈(1，4)都有f(x)＞0成立，求實數a的取值范圍．

題3已知直線l是圓x2+y2=1的一條切線，它與拋物線y=x2－4交于點A，B，P為拋物線的頂點，求△PAB重心G的縱坐標的取值范圍．

命題立意本題考查直線與圓相切、直線與拋物線相交的基礎知識，以及數形結合思想、方程函數思想．

思路分析設出點A，B的坐標，將重心G的縱坐標表示為點A，B橫(縱)坐標的函數，然后通過求最值解決．

解法探究 解法1設直線l的方程為y=kx+b(k不存在時不符合題意)．因為l是圓x2+y2=1的一條切線，所以

下仿照解法1解之，這里略．

題目點評本題入手容易，關鍵是進行函數建模，即將重心G的縱坐標表示為點A，B橫(縱)坐標的函數，然后利用直線與圓相切、直線與拋物線相交、聯立方程組等知識加以解決．

相關鏈接:

已知點A(0，2)和拋物線y2=x+4上2個點B，C，使得AB⊥BC，求點C的縱坐標的取值范圍．

(2002年全國數學聯合競賽試題)