簡論學生數學編題策略

●牟素珍 (城北中學 浙江樂清 325600) ●吳立建 (樂清市教研室 浙江樂清 325600)

簡論學生數學編題策略

●牟素珍 (城北中學 浙江樂清 325600) ●吳立建 (樂清市教研室 浙江樂清 325600)

學生編題到目前為止還沒有明確和統一的定義，仁者見仁、智者見智．筆者認為學生編題是根據自己對所學知識的理解，在給出某個數學對象的基礎上，進行再加工、再創造后，編擬出新的數學問題．學生編題的過程是從一個簡單的問題出發，逐步演繹深化、探究創新的過程．讓學生編題不僅可以加深學生對所學知識的理解，而且有助于培養思維的獨立性和創造性;對防止題海戰術，提高課堂效率也大有裨益．因此，筆者結合自己的所教、所感談談學生數學編題策略，供參考．

1 擬制題

擬制題一般以原有題為基礎，對其進行一定變形后成為另一形式的題，俗稱為改編題．這樣可以通過對典型題進行適當的剖析、深入研究、充分演變，揭示其深刻性，領悟其奧妙性．

1．1改變問題的條件

改變問題的條件，就是對某一個問題的條件進行變化探討，并針對問題的內涵與外延進行深入與擴展，得到一類變式題組．通過對問題的分析解決，掌握某類問題的題型結構，深入認識問題的本質，有利于培養學生思維的連動性和變通性．

例1如圖1，一只螞蟻從棱長為2的正方體的頂點A爬到與它相距最遠的另一個頂點G，則螞蟻爬行的最短路程是多少?

變化1如圖2，一只螞蟻從長為3、寬為1、高為2的長方體頂點A爬到與它相距最遠的另一個頂點G，則螞蟻爬行的最短路程是多少?

圖1

圖2

變化2如圖3，圓錐底面半徑為1，母線長為3，一只螞蟻從底面圓周上的點B出發，沿圓錐側面爬行到圓錐AB的軸截面上的另一母線AC的中點D，問螞蟻沿怎樣的路線爬行，可使路程最短，最短路程是多少?

(浙教版九年級上冊93頁練習題)

變化3如圖4，螞蟻從圓柱母線AB的端點A沿著圓錐側面爬到點B，若圓柱底面半徑為1，高為3，則螞蟻爬行的最短路程是多少?

圖3

圖4

編題意圖此題將引例中的正方形演變為長方形、圓錐、圓柱，通過對螞蟻爬行的最短路程的求解，掌握立體圖形上兩點之間最短距離的求法．就是把立體圖形展開，轉化為平面圖形，再利用兩點之間線段最短去求解．

在擬制時，可以嘗試把問題條件中的圖形進行轉化，可將特殊圖形向普通圖形進行轉化;特殊圖形(如特殊的三角形)之間進行相互轉化;三角形的角平分線向高線、中線轉化;看是否還存在某些相同的方法或結論．也可對條件中的數量關系進行改變．

1．2 改變問題的設問方向

改變問題的設問方向，就是針對綜合性較強的數學問題，引導學生將其分解為幾個基本問題，通過對基本問題的求解，逐步達到解決問題的目的．當一個問題獲得解決后，啟發探索問題解決后產生的一系列更深刻的數學問題，從而培養學生思維的廣闊性和深刻性．例如在初三專題復習時擬制了如下題目:

圖5

例2已知在△ABC中，∠B=90°，O 是 BA上的一點，以點O為圓心，OB為半徑的圓與BA交于點 E，與 AC切于點 D，AD=2，BE=3，如圖 5．設 P 是線段BA上的動點(點 P與點 A，B不重合)，BP=x．

(1)求AE的長;

(2)當x為何值時，以P，A，D為頂點的三角形是等腰三角形?

變化1當x為何值時，以P，A，D為頂點的三角形與△ABC相似?

變化2當x為何值時，PD+PC的和最小?

變化3當點P運動時，四邊形PBCD的面積與x有何關系?

編題意圖把知識點進行整合與滲透，讓學生學會綜合運用所學的知識與技巧，去解決有關問題．并掌握解決動態幾何型問題的策略:化動為靜——利用運動中特殊點的位置將圖形分類;靜中求動——針對各類圖形，分別解決動態問題．

改變習題的設問方向，進行多角度、多方位、多層次的討論和思考，使知識點融會貫通，從而建立起高效、合理的知識結構，更好地培養學生綜合運用知識解決問題的能力．

1．3 變靜態為動態

變靜態為動態，就是以基本圖形為“基準點”，通過基本圖形的運動，將一個問題轉換成更一般的問題，把所研究的圖形擴展到更大范圍內進行考查，開闊解決問題的視野，培養舉一反三、觸類旁通的思維品質和創新精神．以浙教版八年級上冊第27頁練習2為例:

如圖6，在等腰△ABC中，AB=AC，點D為BC的中點，則點D到AB和AC的距離相等．請說明理由．

圖6

圖7

變化1如圖7，在等腰△ABC中，AB=AC，點D為BC的一個動點(中點除外)，則點D到AB和AC的距離相等嗎?當點D運動到與點B或點C重合時，你發現了什么?

圖8

圖9

如果讓點D運動到CB的延長線上(如圖8)，結果如何?再進一步，若點D是正三角形內(如圖9)或外(如圖10)的一點，關于高線之間又有怎樣的數量關系?

編題意圖不斷的變換問題的條件和結論，讓學生學會用“同一圖形的面積相等，表示方法不同”證明一類含有線段的等式，揭示問題的實質與條件、結論之間的內在聯系．

由于運動而導致圖形的形狀發生變化，從而導致數量關系的變化，而這種數量關系恰好就是問題所研究的．通過探究問題實質的變與不變，學會從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律．

圖10

1．4 從具體到一般

從具體到一般就是將原問題的條件在元素的數量上或幾何緯度上進行推廣以尋求更普遍的規律;幾何中常表現為線段或邊數、角度的增加;代數中常表現為變量個數的遞增、常量向變量的轉換，從而培養學生的變換能力及思維的靈活性和多向性．以浙教版教科書七年級上冊第156頁練習3(1)為例:

在圖11中有幾條線段?把它們都寫出來．

變化1如圖12，在直線a上取n個不同的點，那么直線a上一共有多少條線段?

圖11

圖12

圖13

變化2如圖13，若變成角，則圖中一共有多少個銳角?

變化3平面內n個不同的點中任意3個點都不在同一條直線上，那么過其中每2個點畫直線，一共可以畫出幾條直線?

變化4一次聚會出席的每位代表都和其他代表各握過一次手，統計結果表明，一共握手45次，問參加聚會的代表有多少人?

(浙教版教科書八年級下冊第33頁練習5)

編題意圖在解決復雜的計數問題時，應尋找其特有的規律，這樣才能做到不重不漏．從本題可以看出，有時記住一些常見且有用的知識結論，可以迅速、有效的聯系問題中的未知與已知，從而達到解題的目的．

在找規律過程中，會涉及到一個或者幾個變化的量，通常按照一定的順序給出，且包含事物的序列號，要善于總結、發現規律，并按規律去解題．相近、相似的同類數學題可從中領略多題一解、異形同解的妙趣．

2 編制題

編制題就是學生根據自己的體驗結合數學知識創造出新的練習題，一般要對原問題進行抽象加工，俗稱原創題．學生除了要具備相應的數學知識外，還要具備一定的生活常識、想像力及創造力．

2．1 編制基礎知識題

新知識點若不經過及時的復習、反思，則很容易遺忘．數學復習從梳理基礎知識入手，通過對所學的知識進行加工、整理，并納入相應的“知識庫”，使之結構化、系統化，形成“知識網絡”．這樣，運用時可準確、迅捷地從“知識庫”中提取有效的知識信息解決問題，進而掌握《課程標準》中應掌握的知識，形成《課程標準》中應形成的能力．例如在復習“等腰三角形的性質”時，可這樣編制:

問題1已知在△ABC中，AB=AC，你可得出什么結論?

問題2在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，你能求出△ABC的面積嗎?

問題3如圖14，在△ABC中，AB=AC，點M為BC的中點MH⊥AB于點H，ME⊥AC于點E則MH=ME?如果點M為BC上的動點，那么結論還成立嗎?，，

圖14

問題4在△ABC中，AB=AC，點E在AC上，D是BA延長線上一點，且AD=AE，DE的延長線交BC于點F，則DF⊥BC嗎?

編題意圖進一步理解和掌握等腰三角形的知識要點，學會靈活運用所學知識解決問題．在解題過程中，不斷學習和積累解題經驗，提高分析問題、解決問題的能力．

對于編制基礎知識題，學生應先對照教材把知識點系統地梳理一遍，然后根據重點、難點，設計有層次、有梯度、題型多變的練習題，完善知識結構、梳理知識網絡，提高自主學習的能力．

2．2 編制實際應用題

對于編制實際應用題，一般是用一段文字描述一個與自己生活經驗貼近的故事或事件．它需要學生學會用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的方法了解世界，逐步學會“做數學”和“數學地思考”．

2．2．1 將生活問題數學化

將生活問題數學化，就是學生運用所學的知識解決日常生活中的數學問題．它需要學生用數學的眼光去觀察周圍的生活現象，思考能否用數學的知識、方法、觀點和思想去解決所遇到的問題，體會數學的應用價值．筆者在初三總復習講解“如何解決實際問題”時，曾給出2個數據讓學生嘗試編題:

教師看見一家商店廣告上醒目地寫著大削價:大杯10元/只，小杯8元/只．現在請你添加合理的情境和數據，使之成為一個完整的實際問題，并能運用所學的知識解決．

在教學過程中，把學生編制的以下問題作為研究對象:

(1)王老師買了13只杯子作為運動會的獎品．已知大杯10元/只，小杯8元/只，共花了114元．請問:王老師買了大杯、小杯各幾只?

(2)小明“五一”節去超市買杯子，其中大杯10元/只，小杯8元/只，付了30元找回2元，問小明買了幾個杯子?

(3)冰冰準備在家舉辦生日晚會．她去買杯子，大杯10元/只，小杯8元/只．總共買15只杯子．如何買才能使總價格不超過120元?

(4)某商店水杯的進價為4元/只，售價為10元/只，每天可賣100只．經市場調查，每降價1元，每天可多售出20只，問單價為多少元時，每天獲利最大?

從學生熟悉的生活情景出發，選擇學生身邊感興趣的事物，提出有關的數學問題，以激發學生的興趣與動機，使學生初步感受數學與日常生活的密切聯系．

2．2．2 將數學問題生活化

現實生活是數學的豐富源泉，只要細心觀察就不難發現，生活中到處都有數學知識．我們可以把所學的數學知識應用到生活中去，并體驗數學來源于生活又服務于生活的樂趣．例如在復習“圓的基本性質”時可這樣編題:

2011年3月11日，日本氣象廳表示，當地時間14時46分，日本東北部海域發生里氏8．9級地震并引發海嘯，造成重大人員傷亡和財產損失．

問題1受11日大地震的影響，日本東京電力公司福島第一核電站3號機組當地時間14日上午11點過后發生氫氣爆炸．在爆炸中某排污管道井蓋炸裂(如圖15)，你能盡快找出圓心的位置嗎?

問題2如圖14，經過測量得井蓋的直徑為2 m，在福島電站工作人員的搶修下，井蓋在當天下午3點修復好．安裝時發現污水正快速流出，此時的液面寬度剛好為1．5 m(如圖16)，請你求出污水的最大深度．

圖15

圖16

圖17

問題3半小時后，井蓋裝好．晚上7時工作人員通過電腦顯示發現污水管液面已恢復到正常深度水位1．6 m(如圖17)，你能求出此時液面CD的寬嗎?

在現實世界中，我們要開闊視野、拓展思維，認真地鉆研教材，用生活中的事情呈現教學內容，創設生活情境，體驗數學知識與日常生活的密切聯系．

以上編題的方法在實際運用中可以互相結合、靈活運用．在編題時，要目的明確、表述清楚、準確無誤、設問可解．在此基礎上，盡量突出習題的應用性、層次性、開放性．通過編題，讓學生在無窮的變化中領略數學的魅力，在曼妙的演變中體會數學的快樂，自覺地學習和感悟數學，從而促進有效建構．

［1］ 王偉．數學變式百例精講［M］．寧波:寧波出版社，2006．

［2］ 徐衛東．變式習題 變換思維［J］．中學數學教育，2009(7-8):63-65．

［3］ 王明山．題的理解進展探究［J］．數學通報，2011(1):42-45．