數學高考中二次函數綜合題突破

●馬喜軍 (元濟高級中學 浙江海鹽 314300)

數學高考中二次函數綜合題突破

●馬喜軍 (元濟高級中學 浙江海鹽 314300)

二次函數是中學代數的重要內容之一.作為一種最基本的初等函數,通過它可以研究函數的許多性質,如:單調性、奇偶性、最值等.二次函數可以與一元二次方程、一元二次不等式建立聯系,其中涉及到函數與方程、等價轉化、數形結合等重要的數學思想.因此,將二次函數列為高考的重點內容不為過.

1 考試要求

在《普通高中數學課程標準》中這樣描述:(1)通過已學過的函數特別是二次函數,理解函數的單調性、最大(小)值及其幾何意義;(2)結合二次函數的圖像,判斷一元二次方程根的存在性及根的個數,從而了解函數的零點與方程的根的聯系;(3)通過函數圖像了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系.在浙江省新課程高考《考試說明》中明確強調了二次函數的定義、圖像以及性質;運用二次函數、一元二次方程及一元二次不等式之間的聯系去解決有關問題;滲透數形結合及等價轉化等數學思想.

2 考點回顧

近幾年高考對二次函數的考查還滲透到了各個知識點的銜接處,一般出現在各部分的把關題處,命題的主要亮點是“3個二次”的等價運用、導數以及解析幾何等高中主體知識的有機結合.考查的重點是利用二次函數的圖像與性質、等價轉化相關函數的最值、方程根的分布、函數的零點以及不等式的范圍等問題.

3 命題走勢

數學高考對數學知識的考查注重學科的內在聯系和知識的綜合性;對數學思想和方法的考查注重與數學知識的考查相結合;對數學能力的考查注重創新意識,主要采用設計新穎的問題,構造有一定深度和廣度的數學問題來實現.二次函數與一元二次方程及一元二次不等式之間有著密切的聯系,在高中數學中應用十分廣泛,并對考查學生的數學能力有重要的意義,因此以二次函數為命題背景仍將是一個熱點.具體表現在:(1)在選擇題、填空題中,主要考查二次函數的圖像與性質;(2)以二次函數的零點、二次方程根的分布、含參的二次函數在給定區間上的最值、含參的二次不等式的解法與恒成立為觸角,與三角函數、指數函數、對數函數以及冪函數等的復合運用以及導數、解析幾何的交匯銜接.

4 典例剖析

4.1 數形結合型

例 1函數 y=x2-2x在區間[a,b]上的值域是[-1,3],則點(a,b)的軌跡是圖 1中的 ( )

圖1

A.線段 AB和線段 A D

B.線段 AB和線段 CD

C.線段 A D和線段 BC

D.線段 A C和線段 B D

解決有關二次函數的性質問題,主要突出其圖像、定義域、值域、對稱性、單調性等.此題主要借助函數圖形的對稱性:在不同的定義域上產生了相同的值域——稱之為“同族函數”.

解令 y=3,即 x2-2x=3,解得 x1=3,x2=-1.因為當 x=1時,y=-1,所以當 a=-1時,1≤b≤3,即線段 AB;當 b=3時 ,-1≤a≤1,即線段 A D.故選 A.

點評在此類題型中,最重要的是借助二次函數的圖像,理清變量間的對應關系.還可以將其變式為求|a-b|的最大值或者最小值.

4.2 轉換變量型

例 2對于滿足|a|≤2的所有實數 a,求使不等式 x2+a x+1＞2a+x恒成立的 x的取值范圍.

分析在不等式中出現了 2個字母:x及 a,關鍵在于該把哪個字母看成變量.顯然,可將 a視作自變量,則上述問題轉化為在[-2,2]內關于 a的一次函數大于 0恒成立的問題.

解原不等式轉化為

設 f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,則 f(a)在[-2,2]上恒大于 0,因此

點評 對于多個變量問題學生一般把握不好,主要困難在于處理字母參數的先后次序安排不好.一般情況下是先利用函數性質消除 x,轉化為 2個變量,然后再根據條件限制的字母是否為主元來采取轉換變量、變量分離,還是分類討論.

4.3 分離變量型

(1)求 m,n的值;

(2)當 x∈ [1,+∞)時,判斷 f(x)的單調性并證明;

分析(1)略.

(2)利用定義法或導數法加以證明.

(3)如例 2中限制了字母參數范圍的“3個二次”問題可以通過轉換變量來加以化解,而本題限制了自變量的范圍,一個比較簡潔的方法就是分離變量,將含有自變量的放在一起,構造一個新的函數后再研究新函數的最值.

解(1),(2)略.

點評此類問題單刀直入,緊抓最終的目標,先簡化等式或不等式的一邊,然后利用函數的性質研究新函數的最值.此法也可以推廣到次數更高的問題.學生面對這類題型的最大問題就是一方面在復雜的問題情境中很難將目標字母理清楚;另一方面,對于式子 2(x-1)的分析,如果 x∈ (0,4),使得式子 2(x-1)有正有負也有 0,那么就要進行分類討論,更要關注不等號的方向.學生常見的錯誤就是對不等式的 2邊分開討論.當然,此題也可以用分類討論方法解決.

4.4 知識交匯型

在很多問題背后都參雜著多個知識點,尤其是在 2個或多個知識點的交匯處構造的題目,對于學生來講是難以把握的.一元二次函數、一元二次方程以及一元二次不等式有著密切的關系,其中更是涉及到函數與方程思想、等價轉化思想、數形結合思想等,因此在考題中占有絕對的主力位置.正是如此,對學生的綜合能力提出了更高的要求.

例 4已知集合 A={(x,y)|y=-x2+m x-1}與集合 B={(x,y)|x+y-3=0,0≤x≤3},若A∩B為單元素集合,求實數 m的取值范圍.

分析本題看似是集合中的交集運算,可以等價轉化為二次函數的圖像與一條線段有且僅有一個公共點,即一元二次方程在[0,3]上有且只有一個根,等價于二次函數在[0,3]上有一個零點.

解由題意知,y=-x2+m x-1與 y=3-x(0≤x≤3)有且只有一個交點,即 -x2+m x-1=3-x(0≤x≤3)有且只有一個實數根,因此 x2-(m-1)x+4=0在[0,3]內恰有一根.設 f(x)=x2-(m-1)x+4,f(x)經過定點(0,4),則

點評“3個二次”的聯動是非常重要的,強調的是函數零點、方程的根以及不等式解集的端點之間的等價轉化,有著嚴格的對應關系,且比較抽象,因此對學生的要求也特別高.

4.5 控制字母對應型

含字母參數的一元二次函數基本上都涉及分類討論,但對于字母所處的位置采取不同的策略也是因題而異,而且要分清它們的對應關系、主次關系以及處理的先后次序.

例 5已知函數 g(x)=a x2-4x+1,對于正實數 a,總存在一個最大的正數 m,使得 g(x)在[0,m]上,|g(x)|≤3恒成立,求 m的表達式及 m的最大值.

分析本題的關鍵是找準切入點,把握好 x,a,m間的對應關系.而此題討論的不是開口方向,也不是對稱軸,而是根據絕對值的情況及分析頂點值與 -3的情況來控制 a的范圍,影響 m的發展.

點評 由于二次函數的對稱性,因此 x,a,m之間的對應關系顯得重要而復雜.建立如此復雜的知識網絡與等價對學生具有很高的要求,當然也是正確反映高考對學生數學素養以及數學思維品質考查的實質.

精題集粹

圖2

(1)若 f(0)≥1,求實數 a的取值范圍;

(2)求 f(x)的最小值.3.已知關于 x的二次方程x2+2m x+2m+1=0.

(1)若方程有 2個根,其中一根在區間(-1,0)內,另一根在區間 (1,2)內,求實數 m的取值范圍;

(2)若方程 2個根均在區間(0,1)內,求實數m的取值范圍.

4.設 f(x)=x2+2a x,x∈ [-1,1].

(1)若 f(x)＞2a恒成立,求 a的取值范圍;

(2)若 f(x)＜2a+3恒成立,求 a的取值范圍.

5.設 f(x)=x2+b x+c(b,c∈ R),對任意實數α,β恒有 f(sin α)≥0,且 f(2+cos β)≤0.

(1)求證 :b+c=-1,且 c≥3;

(2)若 f(sin α)的最大值為 8,求 b,c的值.

參考答案