2011年數學高考模擬卷(六)

2011年數學高考模擬卷(六)

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的4個選項中，只有1項是符合題目要求的.

( )

A．-1+i B.1-i C.1+i D.-1-i

2.已知命題p:?m∈R，m+1≤0,命題q:?x∈R,x2+mx+1gt;0恒成立.若p∧q為假命題，則實數m的取值范圍是

( )

A.m≥2 B.m≤-2 C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2

3.已知直線m，n與平面α，β,給出下列3個命題：①若m∥α，n∥α,則m∥n;②若m∥α,n⊥α,則n⊥m;③若m⊥α,m∥β,則α⊥β.其中真命題的個數是

( )

A．0 B．1 C．2 D．3

圖1

4.已知在等差數列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,則數列{bn}的前5項和S5等于

( )

A.30 B.45 C.90 D.186

( )

圖2

6.閱讀如圖2所示的程序框圖，若輸入的N=100，則輸出的結果為

( )

7.設平面α,β,γ兩兩互相垂直,且3個平面α,β,γ有一個公共點A,現有一個半徑為1的小球與α,β,γ這3個平面均相切,則小球上任一點到點A的最近距離為

( )

8.某地為廣州亞運會招募了20名志愿者，他們的編號分別是1，2，…，19，20．若要從中任意選取4人再按編號大小分成2組去做一些預備服務工作，其中2個編號較小的人在一組，2個編號較大的在另一組,那么確保5號與14號入選并被分配到同一組的選取種數是

( )

A.16 B.21 C.24 D.90

圖3

9.圖3展示了一個由區間(0,1)到實數集R的映射過程：區間中的實數m對應數軸上的點M；將線段AB圍成一個圓，使端點A，B恰好重合(從A到B是逆時針)；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為(0,1)，直線AM與x軸交于點N(n,0)，則m的象就是n，記作f(m)=n.下列說法中正確命題的是

( )

C.f(x)是奇函數 D.f(x)的圖像關于y軸對稱

( )

二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分.

13.已知kgt;0,函數f(x)=kx2-lnx在其定義域上有2個零點，則實數k的取值范圍是________.

14.設等比數列{an}的前n項之積為Tn.若存在m∈N*，m≥2,使得amam+1=1，則對于任意的n∈N*,且m≤2m-1,等式T2m-n=Tn恒成立.請用類比的方法，寫出等差數列{bn}中相應的正確命題________.

17.在直角坐標系中,橫坐標、縱坐標均為整數的點稱為格點.若函數f(x)的圖像恰好通過k(k∈N*)個格點，則稱函數f(x)為k階格點函數.下列函數：

其中是一階格點函數的有________.

圖4

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

18.甲、乙2位同學參加數學競賽培訓，現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取5次，繪制成莖葉圖(如圖4).

(1)現要從中選派一人參加數學競賽，從統計學的角度考慮，你認為選派哪位學生參加合適？請說明理由；

圖5

(2)若將頻率視為概率，對同學乙在今后的3次數學競賽成績進行預測，記這3次成績中高于80分的次數為X，求X的分布列及數學期望EX.

19.如圖5，A,B是單位圓O上的動點，且A,B分別在第一、二象限.C是圓與x軸正半軸的交點，△AOB為正三角形.若點A的坐標為(x,y),記∠COA=α．

(2)求|BC|2的取值范圍.

20.如圖6，AB為圓O的直徑，點E,F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD和圓O所在的平面互相垂直．已知AB=2,EF=1．

(1)求證：平面DAF⊥平面CBF；

圖6

(2)求直線與平面所成角的大小；

(3)當AD的長為何值時，二面角D-EF-B的大小為60°？

(1)求曲線C的方程；

(3)若λ∈[2,3]，求|PQ|的取值范圍.

(1)求函數f(x)的表達式；

參考答案

14.設等差數列{bn}的前n項之和為Sn.若存在m∈N*，m≥2，使得bm+bm+1=0，則對于任意的n∈N*，且n≤2m-1,等式S2m-n=Sn恒成立.

18.解(1)本小題的結論唯一但理由不唯一，只要考生從統計學的角度給出其合理解答即可得分.由莖葉圖知,甲、乙同學的成績分別為：

甲：82 81 79 88 80

乙：85 77 83 80 85

派乙參賽比較合適，理由如下：

③若從學生得82分以上(含82分)去分析：

(2)記同學乙在一次數學競賽中成績高于80分為事件A，則

X可能取值為：0，1，2，3，其分布列如表1所示.

表1 X的分布列

因此

19.解由已知條件知

從而

于是

(2)由△ABC為正三角形，得

∠AOB=60°.

又由A在第一象限，B在第二象限得

因此

于是

從而

|BC|2= |OC|2+|OB|2-

2|OC|·|OB|cos∠COB=

20．(1)證明由平面ABCD⊥平面ABEF,CB⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB，得CB⊥平面ABEF.又AF?平面ABEF，得AF⊥CB.因為AB為圓O的直徑，所以

AF⊥BF,

從而

AF⊥平面CBF.

由AF?平面ADF，得平面DAF⊥平面CBF．

(2)解根據第(1)小題的證明，可知AF⊥平面CBF，從而FB為AB在平面CBF上的射影，因此∠ABF為直線AB與平面CBF所成的角.又由AB∥EF，知四邊形ABEF為等腰梯形.過點F作FH⊥AB，交AB于點H,AB=2,EF=1，則

在Rt△AFB中，根據射影定理AF2=AH·AB，得AF=1，從而

得

∠ABF=30°，

即直線AB與平面CBF所成角的大小為30°．

(3)解過點A作AM⊥EF，交EF的延長線于點M，連結DM．由第(1)小題的證明，知DA⊥平面ABEF，從而DM⊥EF，于是∠DMA為二面角D-FE-B的平面角，即∠DMA=60°.在Rt△AFH中，

得

又因為四邊形AMFH為矩形，得

x1+1=λ(x2+1),

(1)

即

x1=λ2x2.

(3)

式(3)代入式(1)得

λ2x2+1=λx2+λ，

即

λx2(λ-1)=λ-1.

又λ≠1，得

由式(2)知，

-y1=-λy2，

(3)解由第(2)小題知

得

x1x2=1,

于是

又由y1y2gt;0，得

y1y2=4,

因為λ∈[2,3]，所以

從而

即

22．解(1)將函數y=f(x+1)的圖像向右平移一個單位，得到函數y=f(x)的圖像,于是函數y=f(x)的圖像關于點(0,0)對稱，即函數y=f(x)是奇函數，從而

f(x)=a1x3+a3x，

得

f′(x)=3a1x2+a3.

由題意得

解得

從而

經檢驗滿足題意.

(2)由第(1)小題可得

f′(x)=x2-1.

又由x21-1，x22-1∈[-1,1]，得

解得

所以

即

于是 |f(xn)-f(ym)|=f(ym)-f(xn)lt;

(供稿人：邸士榮)