巧用湊配法速解高考數學題

●沈建軍 (蕭山區第十一中學 浙江杭州 311201)

巧用湊配法速解高考數學題

●沈建軍 (蕭山區第十一中學 浙江杭州 311201)

1 方法掃描

湊配法是對數學式子進行一種定向變形(譬如配成“完全平方”)的技巧,通過配方找到已知和未知的聯系,從而化繁為簡.何時配方,需要我們適當預測,并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧,從而完成配方.

最常見的配方方法是進行恒等變形,使數學式子出現完全平方.它主要適用于在已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數、二次代數式的討論與求解,或者缺 x y項的二次曲線的平移變換等問題.

2 命題趨勢

湊配法是數學思想的具體體現,是解決問題的重要手段,它不僅有明確的內涵,而且具有可操作性,有實施的步驟和做法,事半功倍是它們共同的效果.

筆者預測 2011年的數學高考試題中,部分涉及函數性質、三角函數變形及求值、方程不等式的參數最值、解析幾何求值等知識點的題目會用到湊配法.

3 典例解析

點評本題解答的關鍵在于將 2個已知和一個未知轉換為 3個數學表示式,觀察和分析 3個數學式,容易發現使用配方法將 3個數學式進行聯系,即聯系了已知和未知.這也是使用配方法的一種解題模式.

類題演練 1已知長方體的全面積為 11,其12條棱的長度之和為 24,則這個長方體的一條對角線長為 ( )

解設長方體 3條棱長分別為 x,y,z,則依條件得

點評關于實系數一元二次方程問題,總是先考慮根的判別式“Δ”.已知方程有 2個根時,可以恰當運用韋達定理.本題由韋達定理得 p+q,p q后,觀察已知不等式,從其結構特征聯想到先通分后配方,表示成 p+q與 p q的組合式.假如本題不對“Δ”討論,結果將出錯,即使有些題目可能結果相同,但解答是不嚴密、不完整的,這一點要尤為注意和重視.其幾何意義是平面內動點P(x,0)到定點 M(2,3)和N(5,-1)的距離之和(如圖1),要求其值域只要求其最值即可.易知當點 M,N,P共線(即點 P在線段 M N上)時,f(x)取得最小值,此時

圖1

又 f(x)無最大值,故函數的值域為[5,+∞).

點評若問題條件中的數量關系有明顯或隱含的幾何意義與背景,或能以某種方式與幾何圖形建立起聯系,則可考慮通過構造幾何圖形將題設中的數量關系直接在圖形中得以實現,然后借助圖形的性質在所構造的圖形中尋求問題的結論.構造的圖形最好是簡單而又熟悉其性質的圖形,包括平面幾何圖形、立體幾何圖形及通過建立坐標系得到的解析幾何圖形.

點評本題通過配方簡化了所求的表達式;巧用 1的立方虛根,活用 ω的性質,計算表達式中的高次冪.一系列的變換過程有較大的靈活性,要善于聯想和展開.

點評本題解題之成功在于充分運用配方,將根式化為分式.

類題演練 5一幢 33層的大樓有一部電梯停在第一層,它一次最多能容納 32人,而且只能在第2層至第 33層中的某一層停一次.對于每個人來說,他往下走一層感到 1分不滿意,往上走一層感到 3分不滿意.現在有 32人在第一層,并且他們分別住在第 2至第 33層的每一層.問:電梯停在哪一層,可以使得這 32個人不滿意的總分達最小?最小值是多少(有些人不乘電梯而直接從樓梯上樓)?

解當電梯停在 27層時,最小值為 316分.易知,這 32個人恰好是第 2層至第 33層各住一人,對于每個乘電梯上下樓的人,他所住的層數一定不小于直接上樓的人所住的層數.事實上,設住 s層的人乘電梯,而住 t層的人直接上樓,s＜t,交換 2人的上樓方式,其余的人不變,則不滿意總分減少.設電梯停在第 x層,在第一層有 y人沒有乘電梯而直接上樓,那么不滿意總分為

4 思維總結

湊配法(即配方法)使用的最基本的配方依據是二項完全平方公式(a+b)2=a2+2a b+b2,將這個公式靈活運用,可以得到各種基本的配方形式,譬如: