數學高考中的計數原理芻議

●張春杰 (杭州學軍中學 浙江杭州 310012)

數學高考中的計數原理芻議

●張春杰 (杭州學軍中學 浙江杭州 310012)

1 考試要求

(1)掌握分類計數原理與分步計數原理,并能用它們分析和解決一些簡單的應用問題;

(2)理解排列的意義,掌握排列數計算公式,并能用它解決一些簡單的應用問題;

(3)理解組合的意義,掌握組合數計算公式和組合數的性質,并能用它們解決一些簡單的應用問題.

2 考點回顧

分類計數原理與分步計數原理、排列、排列數公式、組合、組合數公式、組合數的 2個性質、排列組合應用題.

3 命題走勢

本部分是高考的必考內容,每年都有一道選擇題或者填空題.縱觀近 3年的高考試題,從難度程度看,排列組合試題時難時易.目前在考查能力、思想、應用、創新、綜合的趨勢下,排列、組合試題的難度中等偏上,有關排列、組合的應用題常以現實生活、社會熱點為載體,同時也考查 2個基本原理.

4 典例剖析

例 1將標號為 1,2,3,4,5,6的 6張卡片放入 3個不同的信封中.若每個信封放 2張,其中標號為 1,2的卡片放入同一信封,則不同的方法共有( )

A.12種 B.18種 C.36種 D.54種

分析 本題實際上是先分組再排列的問題,只不過標號為 1,2的卡片需要在同一個信封里.

評注本題主要考查排列組合知識,考查考生分析問題的能力.

例 2某單位安排 7位員工在 10月 1日至 7日值班,每天 1人,每人值班 1天,若 7位員工中甲、乙排在相鄰 2天,丙不排在 10月 1日,丁不排在 10月 7日,則不同的安排方案共有 ( )

A.504種 B.960種

C.1 008種 D.1 108種

分析約束條件有些繁雜,抓住甲、乙必須相鄰這個條件進行討論.

評注在限制條件比較多的排列組合問題中應抓住問題的關鍵,合理地進行分類討論

圖1

例 3如圖 1,用 4種不同顏色給圖中的 A,B,C,D,E,F這 6個點涂色,要求每個點涂一種顏色,且圖中每條線段的 2個端點涂不同顏色,則不同的涂色方法有 ( )

A.288種 B.264種

C.240種 D.168種

分析由題目的對稱性,可考慮 D,E,F,B用了幾種顏色.

解法 1(1)若 B,D,E,F用 4種顏色,則有×1×1=24種涂色方法;

因此共有 24+192+48=264種不同的涂色方法.故選 B.

解法 2可以“無中生有”想象.上下各增加一個頂點,它們也連線,顏色可以相同也可以不同,這里增加的 2個頂點顏色相同,其他 3個頂點的顏色不同有 2種.如果新增加的頂點顏色不同,那么相當于 4個元素的錯位排列,有 9種,因此共有(2+9)=264種方法.故選 B.

評注幾何圖形的染色問題是排列組合問題中的亮點和難點.

例 4有 4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重 ”、“立定跳遠 ”、“肺活量 ”、“握力 ”、“臺階”5個項目的測試,每位同學上、下午各測試一個項目,且不重復.若上午不測“握力”項目,下午不測“臺階”項目,其余項目上、下午都各測試一人,則不同的安排方式共有＿＿ 種.

分析注意到上午的測試項目和下午剛好有一項不同,可以先分組后排列.

解先分為 4組.若“臺階”和“握力”在一組,則有 2種分組辦法;若“臺階”和“握力”不在一組,則有=9種分組辦法.再由 4個同學選擇,同乘,共有 264種方法.

本題主要考查排列與組合的相關知識點,突出考查分類討論思想和數學思維能力.

例 52位男生和 3位女生共 5位同學站成一排,若男生甲不站 2端,3位女生中有且只有 2位女生相鄰,則不同排法的種數是 ( )

A.60 B.48 C.42 D.36

分析這里有特殊元素甲,可以從甲入手處理,也可以從 2位女生相鄰處理.

解從 3名女生中任取 2人“捆”在一起記作A(A共有=6種不同排法),剩下一名女生記作 B,2名男生分別記作甲、乙,則男生甲必須在 A,B之間(若甲在 A,B兩端,則為使 A,B不相鄰,只有把男生乙排在 A,B之間,此時就不能滿足男生甲不在 2端的要求),此時共有 6×2=12種排法(A左 B右和 A右 B左),最后在排好的 3個元素中選出 4個位置插入乙,因此共有 12×4=48種不同排法.

評注實際上目前高考中的排列組合問題元素個數不是很多,但約束條件比較多,思維的深度增加,因此考慮的角度很多.這些方面值得廣大考生關注.

精題集粹

1.將 5名同學分配到宿舍 A,B,C中,每個宿舍至少安排 1名學生,其中同學甲不能分配到宿舍A,那么不同的分配方案有 ( )

A.76種 B.100種 C.132種 D.150種

2.若 a,b,c是取自集合{1,2,3,4,5,6,7}中 3個不同的數,且滿足 a b+b c+c a為奇數,則 a,b,c不同選取方法共有 ( )

A.132種 B.96種 C.60種 D.24種

3.有 8張卡片分別標有數字 1,2,3,4,5,6,7,8,從中取出 6張卡片排成 3行 2列,要求 3行中僅有中間行的 2張卡片上的數字之和為 5,則不同的排法共有 ( )

A.1 344種 B.1 248種

C.1 056種 D.960種

4.若 m,n均為非負整數,在做 m+n的加法時各位均不進位(例如:134+3 802=3 936),則稱(m,n)為“簡單的”有序數對,而 m+n稱為有序數對(m,n)的值,那么值為 1 942的“簡單的”有序對的個數是 ( )

A.150 B.300 C.480 D.600

5.用 4種不同的顏色為正方體的 6個面著色,要求相鄰 2個面顏色不相同,則不同的著色方法有( )

A.24種 B.48種 C.72種 D.96種

6.用 0,1,2,3,4這 5個數字組成無重復數字的五位數,其中恰有 1個偶數數字夾在 2個奇數數字之間,這樣的五位數的個數有 ( )

A.48 B.12 C.36 D.28

7.如圖 2,用 6種不同的顏色給圖中的 4個格子涂色,每個格子涂一種顏色,要求相鄰的 2個格子顏色不同,且 2端的格子的顏色也不同,則不同的涂色方法共有＿＿ 種.

圖2

10.某高三學生希望報名參加某 6所高校中的3所學校的自主招生考試,由于其中 2所學校的考試時間相同,因此該學生不能同時報考這 2所學校,則該學生不同的報名方法種數是＿＿(用數字作答).

參考答案

1.B 2.A 3.B 4.B 5.D 6.D