高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法與應(yīng)試技巧透視

●馬茂年 (杭州市第十四中學(xué) 浙江杭州 310003)

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法與應(yīng)試技巧透視

●馬茂年 (杭州市第十四中學(xué) 浙江杭州 310003)

眾所周知,高考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)面廣、量大,使不少考生感到畏懼、無從下手.在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的最后階段,如何科學(xué)、合理、高效率地安排好數(shù)學(xué)復(fù)習(xí),對(duì)高考成績(jī)的提高將起到很大的作用.如何才能提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的針對(duì)性和實(shí)效性呢?需要“三問”:第一要問“學(xué)懂了沒有”,即解決是什么的問題,學(xué)了什么知識(shí);第二要問“領(lǐng)悟了沒有”,即解決為什么的問題,用了什么方法;第三要問“會(huì)用了沒有”,即解決做什么的問題,解決了什么問題.下面具體說說高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法和應(yīng)試技巧指導(dǎo).

1 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)方法指導(dǎo)

1.1 梳理知識(shí),形成網(wǎng)絡(luò)

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的最后階段,要仔細(xì)推敲《考試說明》,分清哪些內(nèi)容只需一般理解,哪些內(nèi)容應(yīng)重點(diǎn)掌握,哪些知識(shí)要求靈活運(yùn)用和綜合運(yùn)用.然后結(jié)合課本,把知識(shí)點(diǎn)從整體上再理一遍.譬如:函數(shù)內(nèi)容可分為概念、性質(zhì)、特殊函數(shù)、抽象函數(shù)這 4大主線,每條主線又有若干支線,一條支線又可分為若干分線,最后形成網(wǎng)絡(luò).當(dāng)梳理過程遇到不明了的問題時(shí)應(yīng)翻書對(duì)照.具體地說就是,在學(xué)習(xí)中要駕馭好 3條線:知識(shí)(結(jié)構(gòu))是明線(要清晰、明了,編成一張知識(shí)的網(wǎng)絡(luò));方法(能力)是暗線(要提煉、領(lǐng)悟);思維(訓(xùn)練)是主線(要重視、加強(qiáng)).通過研究《考試說明》應(yīng)明確“考什么”、“考多難”、“怎樣考”這 3個(gè)問題.縱觀近幾年浙江省的數(shù)學(xué)高考,我們發(fā)現(xiàn)命題的試題都比較新穎、活潑.因此在最后復(fù)習(xí)階段要加強(qiáng)對(duì)新題型的練習(xí),揭示問題的本質(zhì),創(chuàng)造性地解決問題.

1.2 重視課本,注重方法

數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)的最后階段應(yīng)注重“看”:把課本內(nèi)容包括正文和習(xí)題完整地看一遍,將知識(shí)要點(diǎn)用框圖的形式勾勒出來,在理解知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程的基礎(chǔ)上,熟記數(shù)學(xué)概念、定義、公式、定理等,鞏固并完善自身的知識(shí)結(jié)構(gòu).還應(yīng)注重“想”:對(duì)課本中的每道題不必一一做一遍,要多想想本題解決的關(guān)鍵是什么?涉及哪些知識(shí)點(diǎn)?涉及哪些思想方法?嘗試變更條件(或結(jié)論),會(huì)有怎樣的結(jié)論或需要補(bǔ)充什么條件?更應(yīng)注重“練”:挑選部分有代表性的習(xí)題演練一遍,體會(huì)如何運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決問題,提煉具有普遍性的解題方法,以不變應(yīng)萬變.

掌握數(shù)學(xué)思想方法可從 2個(gè)方面入手:一是歸納重要的數(shù)學(xué)思想方法;二是歸納重要題型的解題方法.在數(shù)列求和時(shí),常用公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法以及迭代法、歸納證明法、待定系數(shù)法等.還要注意典型方法的適用范圍和使用條件,防止形式套用時(shí)導(dǎo)致錯(cuò)誤.深入理解一個(gè)概念的多種內(nèi)涵,對(duì)一道典型題應(yīng)盡力做到從多條思路用多種方法處理,即一題多解;對(duì)具有共性的問題要努力摸索規(guī)律,即多題一解;不斷改變題目的條件,從各個(gè)側(cè)面去檢驗(yàn)自己的知識(shí),即一題多變.

1.3 查漏補(bǔ)缺,對(duì)癥下藥

相當(dāng)一部分考生因?yàn)闀?huì)做的題做錯(cuò)而得分不高.究其原因,有知識(shí)方面的,也有方法方面的.因此,要加強(qiáng)對(duì)以往錯(cuò)題的研究,找出錯(cuò)誤的原因,對(duì)易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行列舉、易誤用的方法進(jìn)行歸納.每天必須堅(jiān)持做適量的練習(xí),特別是重點(diǎn)和熱點(diǎn)題型,保持思維的靈活和流暢.

每次考試或多或少會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤,這并不可怕,重要的是避免類似的錯(cuò)誤重現(xiàn).因此平時(shí)注意把錯(cuò)題記下來,做錯(cuò)題筆記包括 3個(gè)方面:(1)記下錯(cuò)誤是什么,最好用紅筆劃出;(2)錯(cuò)誤原因是什么,從審題、題目歸類、重現(xiàn)知識(shí)和找出答案這 4個(gè)環(huán)節(jié)來分析;(3)錯(cuò)誤糾正方法及注意事項(xiàng).

1.4 研究考題,總結(jié)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)能力的提高離不開做題.要通過一題聯(lián)想到多題,要著重研究解題的思維過程,弄清基本數(shù)學(xué)知識(shí)和基本數(shù)學(xué)思想在解題中的意義和作用,研究運(yùn)用不同的思維方法解決同一數(shù)學(xué)問題,在分析解決問題的過程中既構(gòu)建知識(shí)的橫向聯(lián)系又養(yǎng)成多角度思考問題的習(xí)慣.要重視和加強(qiáng)選擇題的訓(xùn)練和研究.不能僅僅滿足于答案正確,還要學(xué)會(huì)優(yōu)化解題過程,以贏得足夠的時(shí)間思考和解答高檔題.要不斷積累解選擇題的經(jīng)驗(yàn),盡可能小題小做,除了運(yùn)用直接法解題外,還要靈活運(yùn)用特殊值法、排除法、檢驗(yàn)法、數(shù)形結(jié)合法、估計(jì)法等來解題.在做解答題時(shí),書寫要簡(jiǎn)明、扼要、規(guī)范,只要寫出“得分點(diǎn)”即可.

1.5 吃透評(píng)分,沉著應(yīng)戰(zhàn)

一些學(xué)生在考試時(shí),題題被扣分,原因大多是答題不規(guī)范,抓不住得分要點(diǎn),思維不嚴(yán)謹(jǐn).這與平時(shí)不善于歸納、總結(jié)有關(guān).建議在臨考前做一做近2年的高考試題(或有標(biāo)準(zhǔn)答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的綜合卷),精心研究并吃透評(píng)分標(biāo)準(zhǔn),力爭(zhēng)減少無謂的失分.

2 高考數(shù)學(xué)選擇題和填空題求解策略

要想確保在有限的時(shí)間內(nèi),對(duì) 10道選擇題和7道填空題作出有效的抉擇和求解,明晰解題思路是十分必要的.一般說來,數(shù)學(xué)選擇題和填空題有著特定的解題思路.

2.1 仔細(xì)審題,吃透題意

審題是正確解題的前題條件.通過審題,可以掌握用于解題的第一手資料——已知條件,弄清題目要求.

審題的關(guān)鍵在于:(1)將有關(guān)概念、公式、定理等基礎(chǔ)知識(shí)加以集中整理.凡在題中出現(xiàn)的概念、公式、性質(zhì)等內(nèi)容都是平時(shí)理解、記憶、運(yùn)用的重點(diǎn),也是解選擇題和填空題首先需要回憶的對(duì)象.

(2)發(fā)現(xiàn)題材中的“機(jī)關(guān)”— —題目中的一些隱含條件,往往是該題“價(jià)值”之所在,也是失分的“隱患”.

除此而外,審題的過程還是一個(gè)解題方法的抉擇過程,開拓的解題思路能使我們心涌如潮,適宜的解題方法則幫助我們事半功倍.

2.2 反復(fù)析題,去偽存真

析題就是剖析題意.在認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上,對(duì)全題進(jìn)行反復(fù)的分析和解剖,從而為正確解題尋得路徑.因此,析題的過程就是根據(jù)題意,聯(lián)系知識(shí),形成思路的過程.對(duì)于選擇題中一些似是而非的選項(xiàng),可以結(jié)合題目將選項(xiàng)逐一比較,用一些“虛擬式”的“如果”,加以分析與驗(yàn)證,從而提高解題的正確率.

2.3 抓往關(guān)鍵,全面分析

在解題過程中,通過審題、析題后找到題目的關(guān)鍵所在是十分重要的.從關(guān)鍵處入手,找到突破口,聯(lián)系相關(guān)知識(shí)進(jìn)行全面的分析并形成正確的解題思路,從而可以化難為易、化繁為簡(jiǎn),解出正確的答案.

2.4 反復(fù)檢查,認(rèn)真核對(duì)

在審題、析題的過程中,由于思考問題不全面,往往會(huì)導(dǎo)致“失根”、“增根”等錯(cuò)誤,因此反復(fù)地檢查、認(rèn)真地進(jìn)行核對(duì),也是解選擇題和填空題必不可少的步驟之一.

當(dāng)然,僅僅有思路還是不夠的,“解題思路”在某種程度上來說,屬于理論上的“定性”,要想解具體的題目,還得有科學(xué)、合理、簡(jiǎn)便的方法.

(1)直接計(jì)算法

有些選擇題和填空題是由計(jì)算題、應(yīng)用題、證明題、判斷題改編而成的.這類題型可直接從題設(shè)的條件出發(fā),利用已知條件、相關(guān)公式、公理、定理、法則,通過準(zhǔn)確的運(yùn)算、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评怼⒑侠淼尿?yàn)證得出正確的結(jié)論,從而確定選擇支的方法.

例 1將 5名志愿者分配到 3個(gè)不同的奧運(yùn)場(chǎng)館參加接待工作,每個(gè)場(chǎng)館至少分配 1名志愿者的方案種數(shù)為＿＿.

(2)利用特值法

有些選擇題和填空題用常規(guī)方法直接求解比較困難,若根據(jù)答案中提供的信息,選擇某些特殊情況進(jìn)行分析,或選擇某些特殊值進(jìn)行計(jì)算,或?qū)⒆帜竻?shù)換成具體數(shù)值代入,把一般形式變?yōu)樘厥庑问?再進(jìn)行判斷,則十分簡(jiǎn)單.

(4)分析試探法

對(duì)于綜合性較強(qiáng)、選擇對(duì)象比較多的試題,可以根據(jù)題意建立一個(gè)幾何模型、代數(shù)構(gòu)造,然后通過試探法來選擇,并注意靈活運(yùn)用上述方法.

例 4在正方體 ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱 A A1,C C1的中點(diǎn),則在空間中與 3條直線A1D1,E F,CD都相交的直線 ( )

A.不存在 B.有且只有 2條

C.有且只有 3條 D.有無數(shù)條

分析在 E F上任意取一點(diǎn) M,直線 A1D1與M確定一個(gè)平面,這個(gè)平面與 CD有且僅有 1個(gè)交點(diǎn) N,當(dāng) M取不同的位置確定不同的平面,從而與CD有不同的交點(diǎn) N,而直線 M N與這 3條異面直線都有交點(diǎn).故選 D.

3 高考數(shù)學(xué)中檔題解題思路突破

對(duì)于數(shù)學(xué)高考中的中檔題,有人順?biāo)浦?水到渠成;有人冥思苦想,難以入門.其實(shí),這一切都緣于數(shù)學(xué)解題時(shí)的解題思路是否正確.下面筆者從以下幾個(gè)側(cè)面出發(fā)談點(diǎn)認(rèn)識(shí),供大家參考.

3.1 從數(shù)學(xué)的概念和性質(zhì)中挖掘解題思路

3.2 從數(shù)學(xué)形式的轉(zhuǎn)化和過程中明晰解題思路

分析在已知的函數(shù)表達(dá)式中,由于 2個(gè)根號(hào)內(nèi)的函數(shù)單調(diào)性不一致,因此很難直接判斷出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.在一般情況下,研究函數(shù)的性質(zhì)首先應(yīng)考慮化簡(jiǎn)解析式,然后再對(duì)其簡(jiǎn)化的解析式進(jìn)行分析、考查,這樣可使得求解目標(biāo)更集中、解答更簡(jiǎn)明.

3.3 從數(shù)學(xué)的等價(jià)變形和轉(zhuǎn)換中破解解題思路

例 72 008個(gè)乒乓球(大小相同)分別放入編號(hào)為 1,2,3,…,10的盒子中,要求第 i個(gè)盒子至少放 i個(gè)乒乓球,那么不同的放法有多少種?

分析 先確保 i號(hào)盒子放有 i個(gè)乒乓球,則有1+2+… +10=55個(gè);再考慮其余 2 008-55=1 953個(gè)乒乓球放入 10個(gè)盒子中的放法,相當(dāng)于將這些球用 9塊隔板隔開.由于留下來的這些球各個(gè)盒子可放可不放,因此可視隔板為特殊的球參與“組合”,球的不同放法等價(jià)于從 1 953+9=1 962個(gè)元素中選 9個(gè)元素(作為隔板),當(dāng)這 9個(gè)元素位置確定了,隔板的位置也確定了,同時(shí)球的放法也就確定了.這 9個(gè)元素共有種選法,因此不同的放法有種.

3.4 從求解和求證的目標(biāo)推理中擊活解題思路

3.5 從探索和尋求數(shù)學(xué)解題規(guī)律中發(fā)現(xiàn)解題思路

3.6 從對(duì)特殊性的探究和證明中感悟解題思路

3.7 從數(shù)形結(jié)合的解題過程中品味解題思路

3.8 從數(shù)學(xué)題目的具體特點(diǎn)中思索解題思路

例 12 設(shè)集合 A={(x,y)|x,y,1-x-y是三角形的 3條邊長(zhǎng)},則 A所表示的平面區(qū)域(不含邊界的陰影部分)是 ( )

分析此題為選擇題,按直接法求解,需先利用三角形兩邊之和大于第三邊列出不等式組,進(jìn)而畫出相應(yīng)的區(qū)域,從而確定相應(yīng)的答案,這樣解答十分繁瑣.不如變通思路,用排除法進(jìn)行求解.在第2個(gè)圖形中取點(diǎn) M(0.1,0.1),則 1-x-y=0.8,這樣,三角形兩邊之和小于第三邊,不可能,排除選項(xiàng)B;在第 3個(gè)圖形中,點(diǎn) N(0.4,0.7)在陰影部分內(nèi),而 1-x-y＜0,不合題意,故排除選項(xiàng) C;以同樣的方法可排除選項(xiàng) D.故應(yīng)選 A.

4 高考數(shù)學(xué)壓軸題預(yù)測(cè)和類型歸析

壓軸題是高考試題的主要表現(xiàn)形式,其特點(diǎn)是考查考生對(duì)高中數(shù)學(xué)各組塊知識(shí)的交匯、綜合能力、運(yùn)算變形能力、信息整合能力、數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用能力及創(chuàng)新思維能力.解答壓軸題的關(guān)鍵是做好審題和探究解題思路這 2個(gè)環(huán)節(jié):審題時(shí)必須明確目的性、提高準(zhǔn)確性、注意隱含性;探究解題思路時(shí)應(yīng)力求從各個(gè)側(cè)面、不同角度分析條件與結(jié)論之間的關(guān)系,充分挖掘隱含條件,破除定式化.解答壓軸題還必須注意設(shè)計(jì)有效的解答步驟、完整的表達(dá)形式、清晰的輔助圖形.解答壓軸題還要注意:(1)語言轉(zhuǎn)換能力.每道數(shù)學(xué)綜合題都是由一些特定的文字語言、符號(hào)語言、圖形語言所組成.解綜合題往往需要有較強(qiáng)的語言轉(zhuǎn)換能力.(2)概念轉(zhuǎn)換能力.綜合題的轉(zhuǎn)譯常常需要有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)概念的轉(zhuǎn)換能力.(3)數(shù)形轉(zhuǎn)換能力.解題中的數(shù)形結(jié)合就是對(duì)題目的條件和結(jié)論既分析其代數(shù)含義又分析其幾何意義,力圖在代數(shù)與幾何的結(jié)合點(diǎn)上找出解題思路.運(yùn)用數(shù)形轉(zhuǎn)換策略解題時(shí)要注意特殊性,否則會(huì)出現(xiàn)漏洞.

4.1 涉及函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、不等式、二項(xiàng)式定理等知識(shí)的壓軸題

評(píng)析本題是涉及函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、不等式、二項(xiàng)式定理等知識(shí)的綜合題,其主要應(yīng)用化歸、討論、歸納等數(shù)學(xué)思想解決問題.運(yùn)用扎實(shí)的基本知識(shí)理解和轉(zhuǎn)換綜合題,只要基本知識(shí)點(diǎn)熟悉,知識(shí)交匯思路清晰,確定解題途徑也將水到渠成.

4.2 借助導(dǎo)數(shù)方法解決函數(shù)單調(diào)性、最值問題的壓軸題

例 14已知函數(shù) f(x)=+l n x-a x.

(1)若 f(x)在(0,1)上是增函數(shù),求 a的取值范圍;

評(píng)析本題是借助導(dǎo)數(shù)方法解決函數(shù)單調(diào)性、最值問題的基本綜合性問題.導(dǎo)數(shù)方法的引入給函數(shù)背景的高考試題增添了活力,也極大地拓展了試題的外延,增強(qiáng)了函數(shù)的應(yīng)用功能.

4.3 涉及函數(shù)、方程、不等式與解析幾何等綜合問題的壓軸題

評(píng)析本題是一道涉及函數(shù)、方程、不等式與解析幾何的綜合題,是一道考知識(shí)、考能力的好題.按步思維,層層遞進(jìn),直逼目標(biāo),這是解答數(shù)學(xué)綜合題的通法,尤其是借助函數(shù)圖像、方程的曲線等有利于綜合解題能力的提高.

4.4 涉及函數(shù)、解析幾何、方程、恒成立等綜合問題的壓軸題

評(píng)析在解決第(1)小題時(shí),根據(jù)題意勾畫草圖是正確解決問題的保證;在解答第(2)小題中,無理式的分子有理化是順利證明不等式的關(guān)鍵所在;把第(3)小題轉(zhuǎn)化為斜率的范圍問題,巧妙地用具體的論證形式表達(dá)抽象的問題.

4.5 涉及方程、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等綜合問題的壓軸題

評(píng)析本題中 3個(gè)小題的 3種解題思路都很新:第(1)小題采用根與系數(shù)的關(guān)系含而不露地表達(dá)自己的意思,顯得非常老道;第(2)小題用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的思路是超前的和有力度的;第

(3)小題巧妙利用函數(shù)的單調(diào)性,并使右端自變量的絕對(duì)值與函數(shù)值的絕對(duì)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

4.6 涉及解析幾何、平面向量等綜合問題的壓軸題

圖1

評(píng)析運(yùn)算變形能力是成功解決綜合題的保證,尤其是在解析幾何問題中表現(xiàn)得比較突出.許多問題的思路方法的確定是建立在上一步驟的運(yùn)算結(jié)果的基礎(chǔ)上的.

4.7 涉及解析幾何、不等式、最值等綜合問題的壓軸題

(3)在滿足第(2)小題條件的橢圓上是否存在點(diǎn) P,使得從 P向圓所引的 2條切線互相垂直,如果存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,說明理由.

評(píng)析運(yùn)算能力固然重要,但回避繁重的運(yùn)算的數(shù)學(xué)思想方法的靈活性就顯得更為重要.如果有比較扎實(shí)的數(shù)學(xué)思想方法功底,有較強(qiáng)的把握數(shù)學(xué)問題、剖析數(shù)學(xué)問題的能力,那么產(chǎn)生問題的妙解就不足為奇了.

4.8 涉及解析幾何、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、二項(xiàng)式定理等綜合問題的壓軸題

評(píng)析本題的解決可以搜尋“常用數(shù)列遞歸方法”和“an與 p n+q的大小比較的基本思路”的信息資源庫(kù),從而合理地選擇問題的解決方法.