論行星運動時其向心力與萬有引力間的關系

葉玉琴

(安慶市第二中學 安徽 安慶 246000)

1 問題的由來

偶聽一次我校高一物理公開課“太陽與行星間的引力”，在“思考與討論”環節中有這樣一道題.

【題目】 地球等行星的實際運動為橢圓，如圖1所示.那么在近日點A，行星所受太陽的引力比它轉動時所需的向心力大還是小？在遠日點B呢？

授課教師是這樣分析的：考慮近日點A時，作出過A點的繞太陽運動的圓軌道，如圖虛線圓1.與圓軌道1相比，地球的橢圓運動是離心運動，即在A點，地球的萬有引力小于它的向心力；同理，在遠日點B時，作出過B點的繞太陽運動的圓軌道，如圖虛線圓2.與圓軌道2相比，地球的橢圓運動是近心運動，即在B點，地球的萬有引力大于它的向心力.

圖1

此分析得到了大部分教師的支持，但筆者和部分教師對此分析提出質疑，認為行星在近日點、遠日點時的向心力均等于它受到的萬有引力；因而引發了一場爭論.

2 爭論的焦點

繞太陽做橢圓軌道運動的行星“在近日點A的向心力大于萬有引力、在遠日點B的向心力小于萬有引力”還是“行星在近日點、遠日點時的向心力均等于它受到的萬有引力”？

作為“前者觀點”的反方代表，筆者深入地思考了這個問題，并從以下幾個方面詳盡地論證了行星運動時向心力與萬有引力間的關系.

3 歸謬論證

假定“繞太陽做橢圓軌道運動的行星在近日點A萬有引力小于向心力、在遠日點B萬有引力大于向心力”這個觀點正確.令太陽質量為M，行星質量為m，近日點到太陽的距離為r1，遠日點到太陽的距離為r2，同時根據橢圓的對稱性知近日點和遠日點的軌道曲率半徑相等，用r表示，行星在近日點和遠日點的速度分別為v1，v2，則有

(1)

(2)

由(1)、(2)式必得出

r1v1>r2v2

顯然這個結論與開普勒第二定律相矛盾，也即說明假定是不成立的.

反之，若“行星在近日點、遠日點時的向心力均等于它受到的萬有引力”這個觀點正確，那么就有

(3)

(4)

由(3)、(4)式可以得出

r1v1=r2v2

這與開普勒第二定律在近日點和遠日點的特殊表達式相符合，說明“行星在近日點、遠日點時的向心力均等于它受到的萬有引力”這個觀點可能是正確的.

4 引用論證

引用1：如圖2所示，做圓周運動的沙袋正在加速的情況，F是繩對沙袋的拉力.根據F產生的效果，可以把F分解為兩個相互垂直的分力:跟圓周相切的分力Ft和指向圓心的分力Fn.Ft產生圓周切線方向的加速度，簡稱為切向加速度.切向加速度是與物體的速度方向一致的，它改變了物體速度的大小.Fn產生指向圓心的加速度，這就是向心加速度，它始終與速度方向垂直，其表現就是改變了速度的方向.

圖2

運動軌跡既不是直線，也不是圓周的曲線運動，可以稱為一般曲線運動，如圖3所示.盡管這時曲線各個地方的彎曲程度不一樣，但在研究時，可以把這條曲線分割為許多極短的小段，每一段都可以看作一小段圓弧.這些圓弧的彎曲程度不一樣，表明它們具有不同的半徑.注意到這點之后，在分析質點經過曲線上某位置的運動時，就可以采用圓周運動的分析方法進行處理了[1].

這段引用材料清楚地表明：一般曲線運動(自然包含橢圓運動)中，合外力在指向圓心方向的分力即始終與速度方向垂直的Fn就是向心力.在地球繞太陽的橢圓運動中，其中近日點和遠日點時，地球受到太陽的萬有引力恰好垂直速度方向且指向太陽，即此時萬有引力的切線分力為零，也就是說萬有引力既是合外力又是向心力[1].

圖3

這段引用材料的觀點與材料“引用1”的觀點完全相同，只不過表述方式有所不同；是通過在自然坐標系中用矢量形式表達，并且還引入了曲率圓和曲率半徑的概念.

引用3：[例題][3]低速迫擊炮彈以發射角45°發射，其初速率v0=90 m/s，在與發射點同一水平面上落地，不計空氣阻力，求炮彈在最高點和落地點其運動軌跡的曲率.

解:將炮彈視作質點，不計空氣阻力，炮彈作拋體運動，軌跡為拋物線.如圖4所示.

圖4

在直角坐標系xOy中，炮彈運動的速度與加速度為

v=v0cosαi+(v0sinα-gt)j

a=g=-gj

式中i，j分別為x，y方向的單位矢量.

(1)在最高點，vy=v0sinα-gt=0.所以

v=v0cosαi

以投射處為坐標原點，按拋物線軌跡建立自然坐標系，以質點運動方向為正方向.在最高點，切向單位矢量τ與i方向一致，法向單位矢量n與j方向相反.故

v=v0cosααn=g

因為

所以

把已知數據v0=90 m/s,α=45°和g=9.8 m/s2代入可得

所以

將已知數據代入，得

在這段引用材料中，不難看出，它直接在使用材料“引用1”中所闡明的觀點：合外力在指向圓心方向的分力即始終與速度方向垂直的Fn就是向心力.在本例中的“最高點”時，重力與速度垂直，故題解中有αn=g.在“落地點”時，重力與速度夾45°，所以題解中有an=gcos(-45°).

以上三個引用材料都能說明一個觀點，即在任意曲線運動(當然包括橢圓運動和拋體運動)中，物體受到的合外力在垂直速度方向上的分力就等于物體在該處的向心力，而行星繞太陽作橢圓運動時，在近日點和遠日點，合外力即萬有引力恰好垂直速度方向，即無切向分力，也就是說此時行星的合外力即萬有引力全部充當向心力.

5 推理論證

假設某質量為m的行星繞太陽做橢圓運動，已知軌道半長軸為a，半短軸為b，半焦距為c，證明此行星在近日點和遠日點的向心力與太陽對它的萬有引力相等.設太陽質量為M，引力常量為G.

圖5

(1)求v1，v2.

根據機械能守恒定律及開普勒第二定律，可列式如下

(1)

(a-c)v1=(a+c)v2

(2)

由以上兩式可解得

(2) 求曲率半徑ρ.

(3)求向心力Fn.

將前面(1)問中求得的近日點速度v1、遠日點速度v2以及(2)問中求得的近日點、遠日點處的曲率半徑ρ代入向心力公式，即行星在近日點的向心力為

行星在遠日點的向心力為

由橢圓的基本性質知橢圓半長軸a、半短軸b、半焦距c三者之間的關系為a2=b2+c2.

所以行星在近日點的向心力

即等于行星在近日點的萬有引力

行星在遠日點的向心力

即等于行星在遠日點的萬有引力

以上表明，繞太陽做橢圓軌道運動的行星在近日點、遠日點時的向心力均等于它受到的萬有引力.但除此兩點之外的其它任一位置，它的向心力均不等于它受到的萬有引力，而是等于它受到的萬有引力在垂直于速度方向即法向上的分量.

更一般的結論是，作任意曲線運動的質點任一位置時，它所受到的合外力在法向的分力即為該點的向心力.

6 檢驗論證

將質量為m的物體以初速度v0水平拋出，不計空氣阻力.以拋出點為坐標原點、初速度v0的方向為x軸正方向、豎直向下方向為y軸正方向建立平面直角坐標系xOy，根據平拋運動的性質，則物體m的軌跡方程為

那么在拋出點的向心力

即物體m在拋出點的向心力等于它的重力mg.

在平拋運動的其它任意位置，同樣可得到重力在法向上的分量與該位置的向心力相等的結論，證明略.

這再一次表明：作任意曲線運動的質點任一位置時，它所受到的合外力在法向的分力即為該點的向心力.

參考文獻

1 人民教育出版社課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書物理·必修2.北京：人民教育出版社，2004.54

2 倪致祥，朱永忠，袁廣宇，黃時中.大學物理學·上冊.合肥：中國科技大學出版社，2007.21～22

3 漆安慎，杜嬋英.力學基礎.北京：高等教育出版社，1986.43～44