淺析線性變量的平均值及其應用

周峰

(淮安市新馬高級中學 江蘇 淮安 211700)

1 線性變量平均值的定義

當物理量y隨著物理量x變化時，若x的變化范圍為x1～x2，則在這段范圍內，y相對于x的平均值是

當y隨著x做線性變化時，令y=kx+b，代入積分式得

2 中學物理中的線性變量的平均值

圖1

3 線性變量平均值的應用及典型錯誤

【例1】螞蟻離開蟻巢沿直線爬行，它的速度與到蟻巢中心的距離成反比，當螞蟻爬到與蟻巢中心的距離L1=1 m的A點處時，速度是v1=2 cm/s.試問螞蟻從A點爬到與蟻巢中心的距離L2=2 m的B點所需的時間為多少？

圖2

由v1L1=v2L2，得v2=1 cm/s.

4 對線性變量平均值的深入理解及錯因分析

5 高考鏈接

【例2】(2006年高考江蘇卷第19題)如圖3所示，頂角θ=45°的金屬導軌MON固定在水平面內，導軌處在方向豎直、磁感應強度為B的勻強磁場中.一根與ON垂直的導體棒在水平外力作用下以恒定速度v0沿導軌MON向右滑動，導體棒的質量為m，導軌與導體棒單位長度的電阻均為r.導體棒與導軌接觸點為a和b，導體棒在滑動過程中始終保持與導軌良好接觸.t=0時，導體棒位于頂角O處.求

圖3

(1)t時刻流過導體棒的電流強度I和電流方向.

(2)導體棒作勻速直線運動時水平外力F的表達式.

(3)導體棒在0～t時間內產生的焦耳熱Q.

(4)若在t0時刻將外力F撤去，導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x.

對于第(3)問，有

解法一：t時刻導體棒的電功率為

因為P∝t，如圖4(a)，所以

圖4

解法二：t時刻導體棒的電功率為

P=I2R′

由于I恒定，R′=v0rt∝t，如圖4(b)所示.

因此

第(4)問可應用微積分思想，采用動量定理、動能定理或牛頓第二定律多種解法求解.具體過程此處不再討論.