從開普勒定律到萬有引力定律

于永剛

(安國中學 河北 保定 071200)

高中階段，由于缺少數學知識，從開普勒定律到萬有引力的推導只能在簡化之后的圓軌道上進行.甚至大學階段，普通物理的教材中，也采用了這個方法.本文力圖從原始的橢圓軌道入手，導出萬有引力定律.當然，這個過程不可能不涉及高等數學的知識.首先做一個準備工作，然后再集中考慮推導的過程.如果“準備”中的知識已完全清楚，則可以直接考慮定律的推導.

1 準備

1.1 極坐標中的橢圓方程

橢圓定義為到定點的距離與到定直線的距離之比為常數e，且e<1時的點的集合.

如圖1所示，在極坐標中，Ox為極軸，l是垂直于極軸的定直線，它與O點的距離為p.由橢圓的定義可知

可得

(1)

圖1

1.2 極坐標中的位置矢量

r=ri

(2)

圖2

式(2)中等號右邊的r表示的是位矢的大小，i表示的位矢的方向.但是應當注意的是，不管是r還是i，都不一定是常量.這和直角坐標系中的單位向量是常量是有區別的.

另外，r和i都是θ的函數，在運動學中θ又是時間t的函數.所以，r和i都是時間t的函數，所以也可以說位置矢量r是時間的函數.

在這里，必須清楚的是，極坐標中的矢量表示和用極坐標表示函數關系并不完全是一回事.若用極坐標表示數量關系，只需要用標量式r=r(θ)即可，在表示矢量時，不得不在這個基礎上加上了單位矢量i.

1.3 極坐標中的速度和加速度

下面先求單位矢量對時間的導數.

圖3

在圖3中，以Ox方向為x軸，O為原點，垂直Ox向上為y軸建立直角坐標系，用ξ，η表示沿x軸、y軸的單位矢量，則i，j可分別表示為

i=cosθξ+sinθη

-sinθξ+cosθη

因此

對比j的表達式有

(3)

(4)

下面對位矢函數r=ri求導，這樣可以得到在極坐標系中的速度公式

(5)

將上面得到的速度公式再次求導，可以得到加速度的表達式

其中

(6)

(7)

分別表示徑向加速度和橫向加速度.

2 推導

開普勒定律包括三大定律.

開普勒第一定律(橢圓定律)：每一個行星都沿各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點上.

開普勒第二定律(面積定律)：在相等時間內，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的.

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開普勒第三定律(調和定律)：各個行星繞太陽公轉周期的平方和它們的橢圓軌道的半長軸的立方成正比.

由(7)式可知

在極坐標中，θ為變量，所以當它由θ變為θ+dθ過程中，極徑r掃過的面積的微元(用一個扇形的面積近似代替，這和直角坐標系中用矩形的面積近似代替曲邊梯形是相似的)為

設角度由θ變為θ+dθ過程中經歷的時間為dt,上式兩邊除以dt，由開普勒第二定律知，在任意相等的時間里行星和太陽的連線(極徑)掃過的面積相等(是一個常量).即

也就是

此“常量”是上式中“常量”數值的2倍.

故

這就是說

(8)

(9)

對時間t求導可得

(10)

可得

(11)

再次對時間求導可得

即

(12)

代入(12)式可得

(13)

由(6)可知

對上式右邊分數線上下同乘以r2有

(14)

由開普勒第三定律知

(15)

式中a是行星公轉軌道的半長軸，T是行星公轉的周期.而單位時間內行星與太陽的連線掃過的面積，即面積的變化率為

(16)

式中a，b分別表示橢圓的半長軸與半短軸，而πab表示的是橢圓的面積.

因此有

(17)

(18)

將(18)式代入(14)式有

(19)

(20)

當θ=π時

(21)

如圖4所示，OB為r1，AO為r2.可知

r1+r2=2a

(22)

圖4

將(20)、(21)式代入(22)式可得

pe=a(1-e2)

(23)

因此

代入(19)式可得

(24)

上式中，4π2k是與軌道無關的量，負號的含義是ar的方向與矢徑r的方向相反.至此，由開普勒定律推導出了徑向加速度與距離的平方成反比，從而不難推得引力與距離平方成反比關系.

在(24)式的基礎上，乘以行星與太陽的折合質量

就可以得到

即

(25)

這正是想要的結果.

至此萬有引力定律得證.