淺談Mathematica在波動光學教學中的應用

聶淼 儲德林 陶宗明

(解放軍陸軍軍官學院物理教研室 安徽 合肥 230031)

汪國安

(合肥市政務區第八中學 安徽 合肥 230000)

1 引言

波動光學是大學物理中的重要內容，主要研究光的波動性規律及其應用[1].在傳統的教學中，一般是根據光程差與波長的關系，定性地推導光強分布情況，在幻燈片或黑板上給出靜態的相對光強分布曲線和明暗相間的條紋.這種教學模式往往使學生感到枯燥、抽象或印象不深.本文初步探討在教學中引入Mathematica軟件，對傳統的教學方式進行優化，使學生樂于接受.

Mathematica是一款集數值計算、仿真模擬和圖形處理等多種功能于一身的應用軟件.它功能強大，使用簡便，是利用現代信息技術進行大學物理教學改革的有力工具[2].教學當中，筆者對楊氏雙縫干涉、單縫衍射、圓孔衍射等實驗應用Mathematica軟件進行了仿真模擬，取得了非常理想的教學效果.本文選取光柵衍射實驗，通過改變光波波長、單縫寬度以及光柵常量等調節參數，應用Mathematica軟件實時動態模擬相對光強分布和衍射圖樣.

2 光柵衍射實驗仿真模擬

大量等寬、等間距平行狹縫組成的光學系統稱為光柵.設狹縫寬度為a，光柵常量為d，光柵縫數為N，入射光波長為λ.可見光透過光柵將產生一組明暗相間的衍射條紋.根據光柵衍射光強公式，利用Mathematica軟件在課堂上實時動態地進行仿真模擬，引導學生觀察光波波長、單縫寬度、光柵常量等參數與光強分布之間的依賴關系，并初步定性地總結出光柵衍射規律，從而激發學生濃厚的學習興趣，達到發現知識的更高境界.

一般光學教材都給出了光柵衍射光強分布[3]

(1)

在教學中，根據(1)式，利用Mathematica軟件中Manipulate[expr,{u,umin,umax}]和Plot[expr,{x,xmin,xmax}]等命令函數，可以模擬出光柵衍射相對光強分布曲線和衍射圖樣.下面分三種情況展開討論.

2.1 單縫衍射(N=1)

運行軟件，界面如圖1所示.首先在工具欄中點擊“File”新建一個Notebook.nb.然后選擇控制變量函數Manipulate[]和繪圖函數Plot[].再利用工具欄中Palettes輸入公式，其主要功能是向程序中輸入各種數學符號和公式，主要包括三部分：Calculator、Basic Commands以及Typesetting，這也是該軟件最常用的工具.

圖1 Mathematica軟件界面簡介

程序中函數Plot[]繪制單縫衍射和光柵衍射兩條曲線， θ表示衍射角，變化范圍可表示為{θ,-0.015,0.015}；PlotRange、AxesLabe以及PlotStyle分別表示坐標范圍、坐標屬性和繪圖屬性；四個變量波長λ、縫寬a、光柵常量d以及光柵縫數N由函數Manipulate[]控制.

取光柵縫數N=1，則(1)式即為單縫衍射的光強分布.模擬時取初始值λ=623.8 nm，a=0.2 mm，d=0.5 mm，按“Shift”和“Enter”即可運行程序，運行結果如圖2所示.

圖2 單縫衍射的相對光強分布

圖2中虛線表示單縫衍射形成的相對光強分布，實線表示光柵衍射的相對光強分布.從中可以看出，實線與虛線重合，即光柵衍射變為單縫衍射.演示時可以利用滑動條或直接輸入數據很方便地改變相應參數，如改變光波波長λ使其變短，單縫寬度a變寬，則λ和a比值減小，衍射花樣逐漸壓縮成一條亮線；反之，λ愈大或a愈小，中央明紋的寬度愈大，說明衍射現象就越顯著.

2.2 楊氏雙縫干涉(N=2)

用類似的方法，取縫數N=2，則(1)式即為楊氏雙縫干涉的光強分布表達式.模擬時取λ=623.8 nm，a=20 μm，d=80 μm，結果如圖3所示.

從圖中可以看出雙縫衍射的光強分布情況.單縫衍射的相對光強分布形成一個“包絡線”，如圖3中虛線所示即雙縫干涉條紋受到單縫衍射的調制.如果調節單縫間距，還可以觀察到隨著單縫間距越小相鄰明條紋的間距會越大.

圖3 雙縫衍射的相對光強分布

2.3 光柵衍射(N=100)

當N取較大時，則(1)式即為光柵衍射的光強分布表達式.現取N=100，λ=623.8 nm，a=10 μm，d=40 μm作光柵衍射的相對光強分布，如圖4所示.

圖4 光柵衍射的相對光強分布

利用控制變量函數Manipulate[]和密度繪圖函數DensityPlot[f,{x,xmin,xmax},{{y,ymin,ymax}}]可以得到光柵衍射仿真模擬圖，程序如圖5所示，其中變量c表示圖像的寬度，AspectRatio表示圖像的長寬比例，PlotPoints表示繪圖點數，ImageSize表示圖像大小，其他變量如圖1.同樣按“Shift”和“Enter”運行程序，運行結果如圖6所示.

圖5 光柵衍射仿真程序

圖6 光柵衍射仿真模擬程序運行結果

3 結論

通過光柵衍射仿真模擬并結合教學中的經驗，筆者認為將Mathematica軟件應用于波動光學教學，效果非常明顯.一是可以生動形象地在課堂上把干涉和衍射實驗結果模擬出來；二是可以通過調節參數，實時動態地模擬干涉和衍射實驗的變化情況，增強教學的生動性、形象性和互動性；三是可以顯著地加深學生的感性認識，提高學習興趣和學習效果.

參考文獻

1 陶宗明.大學物理.上海：上海交通大學出版社，2000.142

2 楊鳳梅.信息技術進課堂——巧用Mathematica化解物理教學難點.教育信息化，2004，6(1)：41～43

3 姚啟鈞.光學教程.北京:高等教育出版社,1989.149～150