最小二乘法在熱溫特性實驗中的應用*

余雪里

(武漢工程大學理學院 湖北 武漢 430073)

1 引言

大學物理實驗是高校培養學生綜合應用能力的重要基礎課程.對評價學生實驗能力十分重要.實驗數據的處理和作圖是大學物理實驗能力考察中的一個重要環節[1～3].溫度和電阻是大學物理中需要關注的重要的物理量.熱電阻溫度特性測量實驗就是基于此而開設的.Pt100鉑電阻是一種利用鉑金屬導體電阻隨溫度變化的特性制成的溫度傳感器，測溫范圍為-200 ～650 ℃，在此范圍內Rt與t的關系復雜.基于大學物理實驗的基礎性，鉑電阻的測溫范圍選擇在0～100 ℃[4].對于Pt100鉑電阻溫度傳感器在0～100 ℃范圍內，Rt的表達式可近似為Rt=R0(1+A1)t.對于式中R0與A1的值，最直接的方法就是用作圖法來求值，但作圖法有其缺陷.一方面，其結果誤差較大；另一方面，在0～100 ℃范圍內鉑電阻隨溫度變化不明顯，增加了作圖的難度，處理也較麻煩，其結果的誤差可能更大.

最小二乘法又稱最小平方法，是以誤差理論為依據的較為嚴格且被廣泛應用的數據處理方法.應用最小二乘法原理從實驗數據求出經驗方程稱為方程的回歸分析或曲線的擬合問題[5～6].回歸分析過程就是應用最小二乘法對大量的觀測數據進行處理，從而得出較為符合物理量之間客觀規律的數學表達式，也可以進行直線擬合分析.為說明方便，這里只討論如何根據最小二乘法的要求建立直線趨勢或回歸方程，并求解待定參數.由此，如果把最小二乘法應用于熱電阻溫度特性測量實驗中的數據處理，問題就迎刃而解了.

2 實驗背景介紹

2.1 用直流電橋法測量熱電阻

把四個電阻R1,R2,R3,Rt連成一個四邊形回路ABCD,每條邊稱作電橋的一個“橋臂”.在四邊形的一組對角接點A，C之間連入直流電源E，在另一組對角接點B，D之間連入平衡指示儀表.B，D兩點的對角線形成一條“橋路”，它的作用是將橋路兩個端點電位做比較.當B，D兩點電位相等時，橋路中無電流通過，指示器示值為零，電橋達到平衡.指示器指零，有UAB=UAD,UBC=UDC,電橋平衡，電流Ig=0,流過電阻R1，R3的電流相等，即I1=I3.同理I2=IRt.因此

直流平衡電橋(惠斯通電橋)的電路如圖1所示.

圖1

2.2 實驗方法

按原理圖接線，將控溫傳感器Pt100鉑電阻(A級)，插入干井爐中心，另一只待測試的Pt100鉑電阻插入另一井，從30 ℃起開始測試，然后開啟加熱器，每隔10 ℃控溫系統設置一次，控溫穩定后，調整電阻箱R3，使輸出電壓為零(實際上是指輸出電壓絕對值最小)，電橋平衡，依次按要求測量，計算待測Pt100鉑電阻的阻值(R1,R2用金屬膜精密電阻,R3用精密電阻箱).

3 實驗數據記錄

熱電阻溫度特性測量實驗中所用實驗儀器為FD-TTT-A溫度傳感器溫度特性實驗儀一臺，ZX21直流多值十進電阻箱一個.數據獲取的環境溫度為28.6 ℃，濕度為34%.數據記錄于表1.

表1 Pt100電阻溫度特性數據

4 應用最小二乘法進行數據處理

應用最小二乘法作直線擬合，求出Pt100鉑電阻溫度特性的結果，得出溫度系數A1和R0的值.將Pt100鉑電阻溫度傳感器關系式Rt=R0(1+A1t)改寫為Rt=R0+R0A1t.為了計算方便，令yi=Rt,xi=t,a=R0,b=R0A1,可列下表2.

表2 預處理數據

對任何一組測量值(xi,yi),需要計算其相關系數，以判別線性回歸是否合理.相關系數是反映所有的實驗數據點和設定的回歸方程是否相適應的量，一般以r表示.相關系數為一純數：-1

r(xi,yi)=

=±0.999 7

因為|r|→1，所以Rt與t線性相關，公式Rt=R0(1+A1)t成立.又根據最小二乘法相關公式可得

由上面的結果與關系式中的設定可得出溫度系數A1和R0的值

對于Pt100鉑電阻溫度傳感器在0～100 ℃范圍內，Rt的表達式可近似線性表示為

Rt=99.85(1+0.003 9t) Ω

5 結束語

本文用最小二乘法對Pt100鉑電阻溫度特性實驗中的數據做了處理，不僅減小了實驗誤差， 而且避免了手工繪圖時的困擾，適用于學生對物理實驗的數據處理和分析.

參考文獻

1 余雪里，李端勇，張昱，秦平力，大學物理實驗課的綜合成績評定.物理通報,2010(3):11～13

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