高中物理中傳送帶問題的基礎(chǔ)模型和解決方法

薛甫

(睢寧縣城北中學(xué) 江蘇 徐州 221200)

傳送帶問題是高中物理教學(xué)和高考考查的一種常見力學(xué)模型.此類問題一般從兩個(gè)方面展開：一是受力和運(yùn)動(dòng)分析，受力分析的關(guān)鍵是注意摩擦力突變(大小、方向)——發(fā)生在物體的速度和傳送帶速度相同的時(shí)刻；運(yùn)動(dòng)分析中的關(guān)鍵是相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度大小和方向的變化——物體和傳送帶對(duì)地速度的大小和方向的比較；二是功能關(guān)系分析，注意功能關(guān)系：WF=ΔEk+ΔEp+Q, 其中WF為傳送帶做功，ΔEk,ΔEp為傳送帶上的物體的動(dòng)能和重力勢能的變化，Q是由于摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能.

解決此類問題時(shí)，要注意分析物理過程，構(gòu)建清晰的物理模型，從而將一個(gè)復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為若干簡單的小問題，進(jìn)而找出它們之間的聯(lián)系，運(yùn)用相關(guān)的物理規(guī)律求解.

1 水平傳送帶

情景一：如圖1(a)所示，傳送帶以速率v勻速運(yùn)行，AB間的距離為L，現(xiàn)在將小物塊從A點(diǎn)輕輕地放于傳送帶上，經(jīng)一段時(shí)間物塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn).

分析：小物塊放在傳送帶瞬間的速度可視為零.它所受到傳送帶的滑動(dòng)摩擦力水平向右，受力情況如圖1(b)所示.小物塊在合力作用下，從A點(diǎn)向右相對(duì)于地面做勻加速運(yùn)動(dòng).如果能達(dá)到物塊和傳送帶無相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢，之后小物塊隨著傳送帶一起向右做直線運(yùn)動(dòng).

圖1

【例題1】傳送帶以速率v=2 m/s勻速運(yùn)行，AB間的距離為L=10 m，現(xiàn)在將小物塊從A點(diǎn)輕輕地放于傳送帶上，它們之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，如圖1(a)所示.求物塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B所需的時(shí)間.

解：小物塊加速階段的加速度由μmg=ma,得

a=μg=2 m/s2

加速到v所需的時(shí)間為

加速階段的位移為

物塊勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

所以物塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B所需的時(shí)間為

t=t1+t2=5.5 s

圖2

情景二:如圖2所示，水平傳送帶在外部電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下以速度v勻速運(yùn)行.現(xiàn)將一質(zhì)量為m的物塊以速度-v沿水平方向扔在傳送帶上，經(jīng)一段時(shí)間與傳送帶保持相對(duì)靜止.

分析：物塊從與傳送帶接觸到二者相對(duì)靜止，這一過程可以分為兩個(gè)階段：第一階段，物塊在滑動(dòng)摩擦力作用下向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，直到速度減為零，這個(gè)階段摩擦力對(duì)物塊做負(fù)功；第二階段，物塊在摩擦力作用下向右做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，直到速度增大到v,之后同傳送帶保持相對(duì)靜止，這一階段摩擦力做正功.

【例題2】如圖3所示，足夠長的水平傳送帶以速度v沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，傳送帶的右端與光滑的曲面的底部連接，曲面上的A點(diǎn)距離底部的高度為h=0.45 m.一物塊從A點(diǎn)靜止滑下，再滑上傳送帶，經(jīng)過一段時(shí)間又返回曲面，g=10 m/s2,則下列說法正確的是

A.若v=1 m/s,則物塊能回到A點(diǎn)

B.若v=3 m/s,則物塊能回到A點(diǎn)

C.若v=5 m/s,則物塊能回到A點(diǎn)

D.無論v等于多少,物塊均能回到A點(diǎn)

圖3

(1)若v0>v，物塊加速至v后就以速度v做勻速運(yùn)動(dòng)至右端，沿曲面上升的高度h′將小于h，即不能到達(dá)A點(diǎn).

(2)若v0≤v，物塊一直加速運(yùn)動(dòng)至右端時(shí)速度恰為v0=3 m/s，物塊沿曲面上升的高度h′將等于h，即能回到達(dá)A點(diǎn).

所以，本題應(yīng)該選擇B，C.

點(diǎn)評(píng)：處理水平傳送帶問題，首先是要對(duì)放在傳送帶上的物體進(jìn)行受力分析，通過比較物體初速度與傳送帶的速度的關(guān)系，分清物體所受的摩擦力是動(dòng)力還是阻力；其次是分析物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即對(duì)靜態(tài)—?jiǎng)討B(tài)—終態(tài)做分析和判斷，對(duì)其全過程做出合理的分析、推斷，進(jìn)而用相關(guān)的物理規(guī)律求解.

2 傾斜的傳送帶

情景一：如圖4(a)所示，傳送帶順時(shí)針勻速運(yùn)行，且足夠長.現(xiàn)將物體輕輕放在傳送帶上的A端，物體經(jīng)過一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)到另一端B點(diǎn).

分析：將物塊輕輕放在傳送帶上后，物塊所受滑動(dòng)摩擦力方向沿斜面向下，受力情況如圖3(b)所示，物塊將做勻加速直線運(yùn)動(dòng).當(dāng)速度達(dá)到v后，如果mgsinθ>f,將繼續(xù)向下加速運(yùn)動(dòng)，直到運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn).如果mgsinθ≤f，物塊將隨傳送帶一起勻速運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)，物塊受力情況如圖4(b)所示.

圖4

圖5

【例題3】如圖5所示，傾角為θ=37°的傳送帶AB段長為L=16 m, 以勻速率10 m/s沿逆時(shí)針方向運(yùn)行，將一個(gè)物塊輕輕放在傳送帶的A端，若物塊與傳送帶間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，則物塊運(yùn)動(dòng)到B端所需時(shí)間為多少？(sin37°≈0.6，cos37°≈0.8)

解：設(shè)物塊接觸傳送帶后加速下滑的加速度為a1，由牛頓第二定律得

mgsinθ+μmgcosθ=ma1

因而

速度達(dá)到v所需的時(shí)間為

物塊達(dá)到速度v后的加速度為a2, 由牛頓第二定律得

mgsinθ-μmgcosθ=ma2

故

設(shè)后一階段運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2,由位移公式得到

求解得到t2=1 s (t2=-11 s不合題意，舍去).所以物塊運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t=t1+t2=2 s.

圖6

情景二：如圖6所示，傳送帶順時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)，且足夠長，現(xiàn)將物體輕輕放在傳送帶上的A端，物體經(jīng)一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)到另一端B點(diǎn).

分析：將物體輕輕放于傳送帶上的A點(diǎn)后，物塊所受傳送帶的滑動(dòng)摩擦力的方向沿斜面向上.

如果mgsinθ>f時(shí)，物塊不能向上傳送.

如果mgsinθ≤f時(shí)，物塊做勻加速直線運(yùn)動(dòng).當(dāng)達(dá)到v后，將和傳送帶保持相對(duì)靜止，勻速運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn).

【例題4】傾角為θ的傳送帶AB段足夠長，且長為L，以勻速率v沿順時(shí)針方向運(yùn)行,如圖6所示.若將一個(gè)質(zhì)量為m的小物塊輕輕放在傳送帶的A端.若物塊與傳送帶間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，則把物塊從A端運(yùn)動(dòng)到B端,電動(dòng)機(jī)為此而多做的功是多少？(不計(jì)輪軸處的摩擦)

解：設(shè)物塊做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度為a, 由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得到

μmgcosθ-mgsinθ=ma

a=g(μcosθ-sinθ)

加速階段的位移為

傳送帶在此時(shí)間內(nèi)通過的位移為

此過程產(chǎn)生的熱量

物塊從B點(diǎn)到A點(diǎn)機(jī)械能的增加量為

把物塊從B端運(yùn)動(dòng)到A端電動(dòng)機(jī)為此而多做的功是

W=Q+ΔE=

點(diǎn)評(píng)：處理傾斜傳送帶問題，也要先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，再判斷摩擦力的大小和方向.這類問題特別要注意，若傳送帶勻速運(yùn)行，則不管物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何，物體與傳送帶間的摩擦力都不會(huì)消失.