“動能定理”教學中的四點拓展

閆峰

(徐州市第一中學 江蘇 徐州 221140)

1 “化曲為直、化變為恒” 思想的應用

人教版高中《物理·必修2》動能定理中通過“物體在恒力作用下做直線運動”的情境推導得到動能定理.對于變力作用、物體做曲線運動的情況教材沒有深入討論，只是做出了如下表述“當物體受變力作用，或做曲線運動時，仍可采用過去的方法，把過程分解成許多小段，認為物體在每小段運動中受到的是恒力，運動的軌跡是直線，這樣也能得到動能定理.”那么究竟如何借助上述思想推導出動能定理呢？現從高中物理教學的角度嘗試如下.

設一質點在平面內沿曲線路徑由1運動到2，質點質量為m，所受合力為F.現將軌跡分為n小段，質點在每一小段內的位移稱為元位移Δsi(i=1，2，…，n)，質點的運動可看作由許多元位移組成，如圖1所示.

圖1

解析：因為元位移Δsi很小，故可近似認為

(1)在Δsi內合力Fi(i=1，2，…,n)不變；

(2)Δsi的方向為該段位移起點處曲線的切線方向.

由(1)、(2)兩步得

對上式求和

考慮到在曲線運動中vτ2=v2，且m為恒量，上式即為

或

該式表示的物理意義為“質點動能的增量等于作用于質點的合力所作的功”即動能定理.

2 質點系的動能定理及其應用

高中階段主要是對單個質點使用動能定理，以至于不少教輔資料都將動能定理的研究對象表述為單個質點.實際上，如同牛頓第二定律，動能定理不但適用于單個質點，也適用于質點系，質點系動能定理的表述為“質點系動能的增量在數值上等于一切外力所作功與一切內力所作功的代數和”即

W外總+W內總=ΔEk.

【例1】如圖2(a)所示，有一光滑的“T”形支架，在它的豎直桿上套有一個質量為m的物體a，用長為l的不可伸長的細繩將a懸掛在套于水平桿上的小環b下，b的質量也為m.開始時a處于靜止狀態，細繩處于豎直狀態.今用水平恒力F=3mg拉小環b使a上升.求當拉至細繩與水平桿成θ=37°角時，a的速度為多大?

圖2

解析：將a，b和繩看作質點系統.在外力方面，F做正功，a的重力做負功

W外總=Flcosθ-magl(1- sinθ)

在內力方面，繩與a之間、繩與b之間有相互的拉力作用，但相互拉力做功的代數和為零.由此可知本題中W內總=0.

由質點系動能定理得

因繩不可伸長，由圖2(b)知

vasinθ=vbcosθ

解得

【例2】 a，b，c三物體由不可伸長的輕繩和兩定滑輪連接，如圖3(a)所示.體積很小的物體a疊放在平板b的右端，平板長l=0.4 m，物體的質量分別為ma=mb=1 kg、mc=2 kg，a，b之間以及b與水平桌面之間的動摩擦因數μ=0.25，整個系統從靜止開始運動，求a滑離b時各物體的速度?(g=10 m/s2)

圖3

解析：將a，b，c及輕繩看作一質點系統.如圖3(b)所示，在外力方面，c的重力mcg作正功、桌面對b的摩擦力f作負功

W外總=mcgsc-fsb

在內力方面，a,b間的滑動摩擦力f1和f2都作負功、繩與a，b，c之間雖有相互的拉力作用，但相互拉力作功的代數和為零，W內總= -f1sa-f2sb.

因繩不可伸長，有

va=vb=vc=v

由質點系動能定理得

其中

f=μ(ma+mb)gf1=f2=μmag

sa=sb=sc=0.5l

解得

v=1 m/s

3 動能定理在非慣性系中的應用

由于動能定理是在牛頓運動定律的基礎上推得的，因此只能在慣性系中使用.但是有些問題在慣性系中分析比較繁瑣，而在非慣性系中考慮反而比較簡單.那么在非慣性系中能否使用動能定理呢？在引入慣性力后，也可以在非慣性系中討論質點動力學問題而保持質點動力學方程的形式不變，動能定理的形式是依然成立的，此時動能定理中的速度應理解為相對非慣性系的速度.

圖4

解析：選半球體為參考系.設滑塊剛離開半球體時的速度為v，滑塊受到的慣性力為F.由動力學方程有

由非慣性系中的動能定理有

其中

解得

h=0.81R

4 贗動能定理及其應用

圖5

如圖5所示，穿無摩擦溜冰鞋的溜冰者站在水平地面上，用手推墻，使自己向后運動.溜冰者所受的外力(重力、地面和墻面對人的彈力)不做功，人獲得的動能是內力做功的結果.但是沒有外力是不能改變系統質心的運動狀態的，即沒有外力是不能改變質心平動動能的，那么外力和質心的平動動能間的定量關系如何呢？

外力對質點系的贗功定義為

式中Fi為作用于質點系的第i個外力，rC為質心的位矢.由此可得

上式表明“作用于一個質點系的合外力所作的贗功，等于該質點系質心平動動能的增量”這就是贗動能定理.贗動能定理能夠幫助學生理解外力不做功時系統質心的平動動能如何改變，高中教學中向學生簡單介紹還是有意義的.

【例4】如圖6所示，把質量均為m的兩個小鋼球用長為2l的線連接，放在光滑的水平面上.在線的中點O作用一個恒定的拉力F，其方向沿水平方向且與開始時連線的方向垂直；連線非常柔軟且不會伸縮，質量可忽略不計.經過若干次碰撞后，最后兩個鋼球一直在接觸狀態下運動，若此時繩中點的位移為s，那么系統因碰撞而失去的能量是多少?

圖6

分析：本題的關鍵是要求得兩小球最后的共同速度，對繩球系統使用贗動能定理得

這里vC是系統質心的速度，當然也是最終兩小球的共同速度；求得此速度后該題得到解決(以下略).

動能定理是高中物理的重點教學內容.在教學中教師如何適時滲透科學探究的思想、引導學生從多角度認識同一物理規律，筆者在此進行了粗淺的探索，歡迎大家批評指正.