妙用另類加速度 巧解“勻”變速運(yùn)動(dòng)

李維兵

(南通高等師范學(xué)校 江蘇 南通 226100)

歷史上有些科學(xué)家曾把在相等位移內(nèi)速度變化相等的單向直線運(yùn)動(dòng)稱為“勻變速直線運(yùn)動(dòng)”(現(xiàn)稱“另類勻變速直線運(yùn)動(dòng)”)，

另類加速度表達(dá)式為

其中v0和vt分別表示某段位移x內(nèi)的初速度和末速度.A>0表示物體做加速運(yùn)動(dòng)，A<0表示物體做減速運(yùn)動(dòng)，且A不變 .偉大的物理學(xué)家牛頓也曾經(jīng)在他的名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書中寫到：如果一個(gè)物體受到的阻力與其速度成正比，則阻力使它損失的運(yùn)動(dòng)正比于它在運(yùn)動(dòng)中所掠過(guò)的距離.下面證明之.

設(shè)物體所受力F=kv

由牛頓第二定律得F=ma

即

取Δt很短 ，則

設(shè)Δx為在很短的時(shí)間Δt內(nèi)發(fā)生的位移，即

Δx=vΔt

則

對(duì)上式兩邊求和，可得

故整個(gè)過(guò)程速度的變化和位移之間的關(guān)系為

1 流體阻力作用下的另類勻變速直線運(yùn)動(dòng)的探究

【例1】質(zhì)量為 0.5 t的摩托艇，在水面上以30 m/s速度行駛，摩托艇受到的阻力與速度成正比，其比例系數(shù)為200 N·s·m-1.問(wèn)：在關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，摩托艇還能向前滑行多遠(yuǎn)距離？

分析：本題研究的是摩托艇從制動(dòng)到停止的過(guò)程.在這個(gè)過(guò)程中，摩托艇所受的阻力是隨速度的變化而變化的，屬于變加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a是變化的，用原有的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式不可以求解；但是通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，阻力與速度的比例系數(shù)與質(zhì)量的乘積是定值，即另類加速度恒定，應(yīng)屬于另類勻變速直線運(yùn)動(dòng).

解析:由題意

由公式vt-v0=Ax，可得

在關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，摩托艇還能向前滑行75 m.

2 安培力作用下的另類勻變速直線運(yùn)動(dòng)的探究

【例2】如圖1所示，導(dǎo)體棒MN放在光滑的金屬導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，除電阻R外，其他電阻不計(jì).整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，若導(dǎo)體棒MN的質(zhì)量為m，長(zhǎng)為L(zhǎng)，給MN棒一個(gè)水平向右的初速度v0，因感應(yīng)電流作用，MN棒將減速運(yùn)動(dòng)，求導(dǎo)體棒向前滑行的距離.

分析：本題研究的是導(dǎo)體棒在安培力作用下的減速過(guò)程.在這個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)體棒所受的安培力是隨速度的變化而變化的，屬于變加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a是變化的，用原有的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式不可以求解；但是通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)安培力與速度成正比，其比例系數(shù)與質(zhì)量的乘積是定值，即另類加速度恒定.應(yīng)屬于另類勻變速直線運(yùn)動(dòng).

圖1

解析：由題意可知

即

且F安與v反向.

由公式vt-v0=Ax可得

3 另類加速度在多個(gè)力作用下的變速運(yùn)動(dòng)中巧妙應(yīng)用

【例3】設(shè)質(zhì)量為m的雨滴從高處由靜止開始豎直下落，所受空氣阻力f和其速度v成正比，經(jīng)H高度速度達(dá)到穩(wěn)定.重力加速度為g，求：

(1)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的速度；

(2)經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間達(dá)到穩(wěn)定.

分析：本題研究的是雨滴下落模型.在整個(gè)過(guò)程中，雨滴受重力和空氣阻力兩個(gè)力作用，其中重力不變，空氣阻力和下落的瞬時(shí)速度成正比，做加速度a減小的加速，雖然阻力與速度成正比，但由于重力的存在，不滿足A恒定，故該題也不屬于另類勻變速直線運(yùn)動(dòng).此時(shí)可以利用運(yùn)動(dòng)的合成和分解的思想來(lái)將該直線運(yùn)動(dòng)分解成只受重力的勻變速直線運(yùn)動(dòng)和只受阻力的另類勻變速直線運(yùn)動(dòng).

解析：(1)由牛頓第二定律得

mg-kv=ma

當(dāng)a=0時(shí)速度達(dá)到最大，即

(2)利用運(yùn)動(dòng)的分解將該運(yùn)動(dòng)分解成

1)只在重力作用下的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)速度變化

Δv1=gt

2)只在阻力作用下的另類勻變速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)速度變化

由于是同一直線運(yùn)動(dòng)的分解，故

Δv=Δv1+Δv2

即

解得

【例4】如圖2(a)，相距為L(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌水平放置，導(dǎo)軌一部分處在垂直導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，OO′為磁場(chǎng)邊界，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)軌右側(cè)接有定值電阻R，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì).在距OO′為L(zhǎng)處垂直導(dǎo)軌放置一質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的金屬桿MN.若MN桿在恒力作用下由靜止開始向右運(yùn)動(dòng)，其速度-位移的關(guān)系圖像如圖2(b)所示，則

(1)在此過(guò)程中電阻R上產(chǎn)生的電熱Q1是多少？

(2)MN桿從開始運(yùn)動(dòng)到離開磁場(chǎng)所用的時(shí)間是多少？

圖2

分析：本題涉及到兩個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中的做加速度a減小的加速運(yùn)動(dòng)，離開磁場(chǎng)后做恒力F作用下的勻加速直線運(yùn)動(dòng).在磁場(chǎng)中導(dǎo)體棒在水平方向受恒力和安培力兩個(gè)力作用，其中安培力和物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度成正比，做加速度a減小的加速，雖然安培力與速度成正比，但由于恒力F的存在，不滿足A恒定，故該題也不屬于另類勻變速直線運(yùn)動(dòng).此時(shí)也可以利用運(yùn)動(dòng)的合成和分解的思想來(lái)將該水平方向的直線運(yùn)動(dòng)分解成只受恒力F的勻變速直線運(yùn)動(dòng)和只受安培力的另類勻變速直線運(yùn)動(dòng).

解析：(1)MN桿在位移L到3L的過(guò)程中，由動(dòng)能定理

MN桿在磁場(chǎng)中發(fā)生L過(guò)程中，恒力F做的功等于MN桿增加的動(dòng)能和回路產(chǎn)生的電能

(2)MN桿在離開磁場(chǎng)前，水平方向上受安培力F安和外力F作用，將該運(yùn)動(dòng)分解成

1)只在恒力作用下的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)速度變化

由于在同一直線上的分解，故

Δv=Δv1+Δv2

即

解得

4 應(yīng)用另類加速度巧解高考?jí)壕眍}

【例5】(2009年高考江蘇卷第15題)如圖3所示.

圖3

兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌間距為l、 足夠長(zhǎng)且電阻忽略不計(jì)，導(dǎo)軌平面的傾角為α，條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向與導(dǎo)軌平面垂直.長(zhǎng)度為2d的絕緣桿將導(dǎo)體棒和正方形的單匝線框連接在一起組成“┬?”型裝置，總質(zhì)量為m，置于導(dǎo)軌上.導(dǎo)體棒中通以大小恒為I的電流(由外接恒流源產(chǎn)生，圖中未畫出).線框的邊長(zhǎng)為d(d

(1)裝置從釋放到開始返回的過(guò)程中，線框中產(chǎn)生的焦耳熱Q；

(2)線框第一次穿越磁場(chǎng)區(qū)域所需的時(shí)間t1；

(3)經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)時(shí)間后，線框上邊與磁場(chǎng)區(qū)域下邊界的最大距離xm.

解答：命題者提供的解答：(1)、(3)略.

(2)采用微元法求解：設(shè)線框剛離開磁場(chǎng)下邊界時(shí)的速度為v1，則接著向下運(yùn)動(dòng)2d.

由動(dòng)能定理

裝置在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的合力

F=mgsinα-F′

感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ε=Bdv

安培力F′=BI′d

由牛頓第二定律，在t到t+Δt時(shí)間內(nèi)，有

解得

分析：本題是2009年江蘇高考最后一題，難度相當(dāng)大，主要原因就是線框在穿越磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)做加速度a減小的加速直線運(yùn)動(dòng)，這在高中階段用常規(guī)的運(yùn)動(dòng)方法是無(wú)法解答的，而命題者命題的意圖是采用了微元的思想，而在高中階段，微元法解題是學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn).現(xiàn)在分析可知，線框在磁場(chǎng)中沿斜面方向受重力沿斜面的分力和安培力兩個(gè)力作用，其中重力沿斜面的分力是恒定的，安培力和物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度成正比，故跟上面的規(guī)律相似，可以利用運(yùn)動(dòng)分解的思想來(lái)將該斜面方向的直線運(yùn)動(dòng)分解成只受恒力的勻變速直線運(yùn)動(dòng)和只受安培力的另類勻變速直線運(yùn)動(dòng).

解析：設(shè)線框剛離開磁場(chǎng)下邊界時(shí)的速度為v1，則接著向下運(yùn)動(dòng)2d.

由動(dòng)能定理

在此過(guò)程中，線框在離開磁場(chǎng)前，在斜面方向上受向上安培力F安和沿斜面向下的重力的分力作用，將該運(yùn)動(dòng)分解成

1)只在重力沿斜面分力F=mgsinα作用下的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)速度變化

Δv1=gsinαt1

由于在同一直線上的分解，故

Δv=Δv1+Δv2

綜上所述，另類加速度可以用于解決變速運(yùn)動(dòng)的題型，它的適用條件是研究對(duì)象所受的合力或者是它受到的某個(gè)力要符合與物體的瞬時(shí)速度成正比關(guān)系，比如像流體的阻力、勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的安培力等.