小數(shù)時延補償算法的設計及應用*

江 悟，舒逢春

(中國科學院上海天文臺，上海 200030)

小數(shù)時延這個概念是隨著信號離散化處理產(chǎn)生的，在連續(xù)信號處理中無需將小數(shù)時延和整數(shù)時延進行區(qū)別對待。在A/D過程中，通過采樣將信號離散化，如果兩路來自同一信號源的信號不同步，時間差是采樣間隔的非整數(shù)倍，這時就會出現(xiàn)小數(shù)時延。小數(shù)時延補償在數(shù)字信號處理中很常見，最典型的有聲學信號處理中的回聲消除、多采樣率轉換等。在VLBI系統(tǒng)中［1］，一條基線兩臺站接收到的同一衛(wèi)星或射電源信號存在時延差，在相關處理過程中，嘗試對齊來自兩個接收站的信號，也就是通過時延補償使得兩個站的信號同步，但相關處理是在數(shù)據(jù)采集終端之后，如果兩臺站信號的時延差不是恰好等于采樣間隔的整數(shù)倍，那么就無法通過采樣點的平移實現(xiàn)兩站信號的同步，這時候進行小數(shù)時延補償將無法避免。在VLBI數(shù)據(jù)處理過程中，小數(shù)時延補償又叫做小數(shù)比特改正。

圖1 VLBI中兩站接收的信號的時延示意圖Fig.1 Illustration of signal delay between two VLBI stations

目前的VLBI測角精度達到了毫角秒量級;在深空探測任務中，利用VLBI技術解算航天飛行器下行載波的相位時延精度有望達到皮秒量級;在天線組陣過程中，需要對射頻載波的相位同步，這些都需要精確的時延補償技術作為保障。雖然現(xiàn)在的A/D轉換器可以達到1 GHz甚至更高的采樣頻率，但是相關中心與VLBI臺站距離較遠，受目前傳輸帶寬的限制，不宜采用過高的采樣頻度，所以采用較低的采樣頻率，利用精確的時延補償技術符合當前的需要。現(xiàn)行的小數(shù)比特改正的辦法是基于頻域線性相位加權的方法:在視頻頻段乘以一個條紋相位旋轉因子φ=2πfTfbit，這種針對的是寬帶VLBI，在窄帶VLBI中，只需要在對應的頻點fk乘以φ=2πfkTfbit即可。本文重點介紹基于時域的一些小數(shù)時延補償?shù)乃惴ǎ⑼ㄟ^仿真分析基于Farrow結構的Lagrange插值方法在寬帶VLBI中作為小數(shù)比特改正的適用情況。

1 基本原理和算法

時域中小數(shù)時延濾波器大體上分為3個方向:一是Farrow提出并陸續(xù)發(fā)展起來的Farrow結構的FIR濾波器組［2］;一是基于多速率采樣和插值的方法;一是采用最小均方誤差逼近的方法，也有一些綜合的方法，比如將插值與FIR濾波器組相結合。當然還有采用全通濾波器來設計，但是考慮到VLBI相關處理過程中的線性相位的要求，一般都用FIR濾波器實現(xiàn)。文［3］做了很多全面細致的工作，并分類總結了小數(shù)時延的濾波器設計、性能及其實現(xiàn)方法，得出的結論是對一般的小數(shù)時延改正Lagrange插值是較好的選擇，而當時延是一個變化的量時，即需要不斷更新時延量的大小時，采用Farrow結構的濾波器組是一種較好的容易實現(xiàn)時延控制的方案。

1.1 基本原理

D取小數(shù)時，hid(n)呈現(xiàn)無限沖激響應的特點，這在實際處理時很難實現(xiàn)，只能用一個有限沖激響應的系統(tǒng)(FIR)近似達到這個理想響應的效果。設有限沖激響應為h(n)(n=0，1，…，N)，其傅里葉變換 H(ejω)為 H(ejω)=，取其與理想的頻域響應 Hid(ejω)之差 E(ejω) 衡量近似的效果，E(ejω)=H(ejω) －Hid(ejω)。

1.2 最小均方 (LS)誤差逼近方法

從理想系統(tǒng)的時域響應可以看到，sinc函數(shù)的函數(shù)值隨n的增大趨近于0，因此可以取sinc函數(shù)的有限項代替理想的系統(tǒng)響應，并可以由此計算出其逼近誤差E，

這就是LS逼近方法的基本思想。當然可以通過加窗、平滑過渡帶等方法達到更好的逼近效果［1］。

1.3 Lagrange插值算法

Lagrange插值則是從另外一個角度考慮逼近理想系統(tǒng)響應的效果，在計算逼近誤差的頻域響應時，讓其在某一頻率值取得誤差的最小值。通常將這個誤差最小值設在頻率0，因為處理的信號一般是低頻信號。這樣就得到:

得到矩陣的解恰好就是經(jīng)典的Lagrange插值函數(shù)，

1.4 Farrow 濾波器組

上面討論的方法都有一個特點，當時延量D連續(xù)變化時，每次都需要重新計算并更新FIR濾波器的系數(shù)，這在實際處理中特別是實時信號處理中比較困難，為了解決這個問題，F(xiàn)arrow提出一種基于Farrow結構的FIR濾波器組的實現(xiàn)方法［2］，能方便處理連續(xù)變化的延時量，系統(tǒng)結構框圖如圖2，這樣不需要更新濾波器組的系數(shù)，只需要調(diào)節(jié)延時量單元即可。

圖2 Farrow結構濾波器組框圖Fig.2 Block diagram of filter groups of the Farrow structure

Farrow結構的思想是從另外一個方面，用以時延D為變量的多項式逼近理想系統(tǒng)的響應，設采樣間隔為Tsampl，D=aTsampl，濾波器組的系統(tǒng)函數(shù)可以表示成:

因為時延量是連續(xù)變化的，所以系數(shù)Cn，m的求取應滿足使逼近誤差式 (7)最小，

式中，(ω0，ω1)、(a0，a1)分別表示信號的頻帶范圍和時延量變化范圍。將上面系統(tǒng)函數(shù)式(6)轉換到含中間變量的表達形式，

恰好對應圖2的系統(tǒng)框圖，關于濾波器組系數(shù)的詳細計算過程將在下節(jié)作進一步描述。

2 基于Lagrange插值的Farrow濾波器組仿真及應用

前面提到在一般的小數(shù)時延處理中，Lagrange插值是較好的選擇，若涉及到連續(xù)變化的時延系統(tǒng)，則需采用Farrow結構的濾波器組，下面結合Lagrange插值和Farrow結構設計一個可以進行時延控制的Farrow-Lagrange(F-L)濾波器組，介紹其原理、實現(xiàn)方法，并通過仿真分析它的性能。

2.1 F-L濾波器組的設計

根據(jù)1.4介紹的原理，現(xiàn)在將Farrow結構和Lagrange插值結合起來，讓濾波器組的Cn(a)(Cn系數(shù)滿足Larange插值特征，讓m(m=0，1，…，P)組濾波器的系數(shù)Cn，m滿足Farrow結構的逼近準則。這樣各系數(shù)的具體計算過程也可以分成兩步:

(1)將時延量的變化范圍(a0，a1)(一般在濾波器階數(shù)的中間值附近取值)分成多個區(qū)間，細分的方式可以是均勻分割或者根據(jù)時延量的統(tǒng)計特點進行非均勻分割，這里取均勻分割，則第q個分割點的值dq可以表示成:

根據(jù)Lagrange插值函數(shù)式(5)針對每個dq設計一個FIR濾波器hdq(n)(n=0，1，…，N)，濾波器的階數(shù)N+1將對應濾波器組的階數(shù)，一般取4階，也可以達到線性相位的要求，這樣就得到Q+1個N+1階插值濾波器。

(2)對每個分割點時延量dq對應的N+1階濾波器的系數(shù)hdq(n)(q=0，1，…，Q)，用含dq的P階多項式在一定準則下擬合，這里一般用最小均方誤差準則。

寫成矩陣的形式是DQCn→hQ，n，式中，

一般情況下，P＜Q，所以系數(shù)Cn只能使得式(10)右邊的求和逼近于左邊而不能完全吻合，這里一般用基于最小均方誤差準則的多項式擬合求解。這樣將得到濾波器組的所有n階系數(shù)，同樣的方法可以得到其余N階系數(shù)。

當然，F(xiàn)arrow結構濾波器組的系數(shù)還有其他求解方式，也可以將hdq(n)換成通過其他逼近方法得到的系數(shù)向量求解濾波器組系數(shù)。文［4］提出了一種改進的Farrow結構，濾波器組的其余分支都是由前兩個濾波器分支與簡單濾波器單元級聯(lián)加權后得到的，并將時延變量單元換成 (1－2 d)，0＜d＜0.5。

2.2 仿真結果及分析

頻域線性相位加權，sinc函數(shù)逼近和Lagrange插值的方法各有自己的誤差來源，圖3利用1500 Hz的正弦波作為輸入信號，比較了3種方法的補償效果。從圖中可以看到，頻域線性相位加權方法的誤差是由于時域上對信號進行截斷引起的，類似于吉布斯現(xiàn)象，而且是不可避免的。sinc函數(shù)逼近的方法主要受濾波器長度的影響，濾波器的階數(shù)越多，誤差越小。Lagrange插值相對于sinc函數(shù)逼近的方法需要的濾波器階數(shù)較少，補償效果也比較好。總的來說，3種方法都是頻率分辨率越高或者濾波器階數(shù)越多，補償?shù)男Ч驮胶谩?/p>

圖3 3種小數(shù)時延補償方法的比較Fig.3 Comparison between three methods of compensation for fractional delay

同樣也仿真了時延可調(diào)的Farrow結構濾波器組，分析了濾波器組的頻率響應包括幅頻響應和相位響應。圖4是用3次多項式擬合的每個濾波器長度為16的F-L濾波器組，其本質(zhì)是Lagrange插值的濾波器，但是經(jīng)過擬合后能夠適應不同的小數(shù)時延變化量。這也就是Farrow結構的作用。同時，從仿真圖可以看出，相位時延的線性范圍有限，并且最后都趨向于最接近的整數(shù)時延點。如果有用信號的頻率范圍覆蓋到高頻部分，相應的濾波器的階數(shù)應該增加。但是，濾波器在設計時，一般要求時延值在濾波器長度的中間值附近補償效果最好，所以在實際設計時需要權衡濾波器長度與計算量和實時性等要求。

圖4 3次多項式擬合、分支濾波器長度為16的F-L濾波器組的幅頻和相頻響應Fig.4 Amplitude responses and phase delays of groups of 16-tap F-L filters for 3-order polynomial fitting

2.3 在遙測陣信號處理中的應用

利用我國VLBI網(wǎng)對深空探測器遙測信號進行天線組陣已經(jīng)取得初步的實驗成果［5］，對來自各天線的信號進行時延補償時涉及到小數(shù)時延的問題。這里通過對“火星快車”遙測數(shù)據(jù)的處理檢驗了基于Farrow結構的Lagrange插值濾波器組的小數(shù)時延補償算法，用上面介紹的15階濾波器組進行小數(shù)時延補償，并與已有的頻域線性加權方法作了比較，如圖5。從圖中載波功率可以看出，在不進行小數(shù)時延補償時，功率譜的損失值與理論上計算出的3π2/288基本符合［1］。另外，基于Farrow結構的Lagrange差值濾波器組與頻域補償?shù)慕Y果基本沒有差別。

圖5 上，頻域補償(FD)方法得到的“火星快車”遙測信號的上海－昆明基線的互相關相位譜和功率譜;中，基于Farrow結構的Lagrange插值濾波器組(FL)與頻域補償方法的譜的差值;下，未作小數(shù)時延補償(NF)與頻域補償方法的譜的差值Fig.5 Up panels:phase and power of cross-correlation spectrum of telemetry signals from the MEX mission received by the Shanghai-Kunming baseline with the fractional delay compensation in the frequency domain.Middle panels:difference between cross-correlation spectra compensated by the F-L filter groups and frequency domain method.Bottom panels:difference between cross-correlation spectra compensated by the frequency domain method and without compensation

最后比較用3階多項式15階濾波器組和頻域相位補償?shù)霓k法各自的計算量，以一個FFT周期1024點為例，利用前者，每計算一個采樣點需要16次實數(shù)乘法和15次實數(shù)加法，所以整個FFT周期的采樣點需要16384次實數(shù)乘法和15360次實數(shù)加法，對于在頻域補償?shù)霓k法，需要兩次FFT和1024次復數(shù)乘法，計算量達到40960次實數(shù)乘法和32786次實數(shù)加法。可見采用濾波器組的方法減少了一半的計算量。當時延量變化較快時，相當于需要較短的FFT周期，頻域補償方法的誤差將增大，濾波器組算法的優(yōu)勢更加明顯。

3 結論

本文討論了小數(shù)時延補償?shù)膸追N常用的方法，并分析了各自的誤差來源。時域的方法都是通過各種最小誤差準則逼近理想系統(tǒng)獲得的有限沖激響應，其中Lagrange插值的方法比較實用。頻域線性相位加權的方法則是在時域上截斷輸入信號，并認為截斷后的信號的頻譜相當于整個輸入信號的頻譜，然后在此基礎上線性相位加權。而Farrow濾波器組是一種在處理連續(xù)變化的時延量時方便調(diào)節(jié)濾波器系數(shù)的結構。仿真及分析表明，采用Farrow結構與Lagrange插值相結合的方法能方便處理數(shù)字信號中的延時問題，特別是小數(shù)時延量連續(xù)變化的情形。遙測陣信號處理結果顯示，基于Farrow結構的Lagrange插值濾波器組在同等性能條件下比傳統(tǒng)的頻域補償辦法節(jié)省了一半的計算量。

［1］F Takahashi，T Kondo，Y Takahashi，et al.Very Long Baseline Interferometer ［M］.Ohmsha:IOS Press，1997.

［2］C W Farrow.A Continuously Variable Digital Delay Element［C］//IEEE International Symposium on Circuits and Systems，1988，3:2641－2645.

［3］Timo I Laakso，Vasa Valimaki，Matti Karjalainen，et al.Splitting the Unit Delay［C］//IEEE Signal Processing Magazine，1996，13(1):30－60.

［4］Juha Yli-Kaakinen，Tapio Saramaki.A Simplified Structure for FIR Filters with an Adjustable Fractional Delay［C］//IEEE International Symposium on Circuits and Systems，2007:3439－3442.

［5］舒逢春，張秀忠，陳中.長基線全頻譜信號合成實驗的初步結果［C］//2009年全國微波毫米波會議論文集.北京:電子工業(yè)出版社，2009:1261－1264.