動生電動勢與感生電動勢的統一

林輝慶

(余杭高級中學 浙江 杭州 311100)

對感應電動勢根據非靜電力來源的不同，分為動生電動勢和感生電動勢兩類．導體在磁場中運動，其中的自由電荷受到洛倫茲力，從而推動自由電荷定向移動，這樣產生的感應電動勢叫動生電動勢;由于磁場變化產生渦旋電場，導體中的自由電荷受到渦旋電場的作用力而定向移動，這樣產生的感應電動勢叫感生電動勢．這兩種感應電動勢的大小，都滿足法拉第電磁感應定律

高中生經常提出這樣的問題：既然動生電動勢和感生電動勢的非靜電力來源不同，它們怎么會滿足相同的定律？它們能否在更深的層次上相統一？一些大學的電磁學教材沒有涉及這個問題，有些教材雖然涉及到了這個問題，但沒有使它們真正相統一．本文對此問題做較為深入的探討．

1 動生電動勢與感生電動勢的相對性

動生電動勢與感生電動勢的區分并非是絕對的，而與選取的參考系有關．對于具體的電磁感應現象，在一個參考系中觀察是動生電動勢，在另一個參考系中觀察就可能是感生電動勢．如圖1所示，柱形磁棒與導體圓環相對運動，導體圓環中出現感應電動勢．如果以磁棒為參考系，那么空間各點的磁場不變，導體環切割磁感線產生感應電動勢,如圖1(a)，這時的電動勢就是動生電動勢．如果以圓環為參考系，那么空間各點的磁場都在變化，變化的磁場產生渦旋電場，渦旋電場使導體圓環中產生感應電動勢,如圖1(b)，這時的電動勢是感生電動勢．

圖1

動生電動勢與感生電動勢的相對性表明它們是相互聯系、相互轉化的．兩者的聯系和轉化，一定源于磁場與電場的聯系和轉化．實際上，按照麥克斯韋的電磁理論，電場和磁場是相互聯系、相互轉化的統一體，稱為電磁場．從相對論可以更好地理解這一點．在相對論中，電場和磁場只是統一的電磁場的兩種不同表現，一個電磁場，在某個參考系中觀察，它可能表現為電場，在另一個參考系中觀察，它可能就表現為磁場，在一般的情況下，觀察到的是既有電場又有磁場．電磁場在不同參考系之間作為一個整體來變換．動生電動勢與感生電動勢的非靜電力——洛倫茲力和渦旋電場力，是電磁場對導體中自由電荷統一的電磁作用力的兩種成分.這兩種成分是相互聯系、相互轉化的，這決定了這兩種電動勢必然是統一的．

下面用兩個參考系之間的相對論變換，探討動生電動勢與感生電動勢的定量統一．為此，先研究電源電動勢在不同參考系之間的相對論變換．

2 電源電動勢的相對論變換

電源是通過非靜電力做功把其他形式的能轉化為電能的裝置．電能的實質是電源正、負極積聚的正、負電荷相互作用具有的電勢能．電源的電動勢定義為非靜電力把正電荷在電源內從負極移送到正極所做的功W與所移送電荷量q的比值．非靜電力做了多少功，就有多少其他形式的能轉化為電勢能．所以，電動勢E也等于非靜電力移送電荷增加的電勢能ΔE，與被移送電荷q的比值，即

那么，在做相對運動的不同參考系中觀測，同一電源的電動勢是否相同？電動勢與非靜電力做功產生的電勢能的變化相聯系．由相對論，能量E總對應一定的質量m，即

E=mc2

同一對象，在不同參考系中觀測，質量不同.設物體的靜止質量為m0，則在與物體的相對運動速度為v的參考系中觀測，質量為

c是真空中的光速．在相對論中，一個過程的能量變化，在不同參考系中觀測，有不同的數值．所以，同一個電源，在不同參考系中觀測，電動勢也不相同．

設非靜電力把一定量的電荷從的電源的負極運送到正極，在相對電源靜止的參考系K′ 和相對電源以速度v運動的參考系K中觀測，電勢能分別增加了ΔE′ 和ΔE;與它們對應的質量變化分別為Δm′ 和Δm.由質量變換關系有

由質能關系得到

(1)

電荷量是一個洛倫茲不變量，在不同參考系中觀測，同一個帶電粒子的電荷量q相同．在(1)式兩邊同除以q，即得到

(2)

這就是電源電動勢在不同參考系之間的變換公式，其中 E ′是在相對于電源靜止的參考系中的電動勢，E是相對于電源以速度v運動的參考系中的電動勢．可見電源在運動狀態的電動勢大于靜止狀態的電動勢．

3 動生電動勢與感生電動勢在相對論中的統一

為了推導方便，下面只研究導體棒在勻強磁場中切割磁感線這種最簡單的情況，而得到的結果具有普遍性．

在圖2所示的K參考系中，PQ、MN之間有沿z軸負方向的勻強磁場(圖中z軸未畫)，磁感應強度為B，長為l的導體棒CD沿y軸方向，以速度v沿x軸方向運動．

圖2

設導體棒中的自由電荷帶正電，它隨著棒運動而受到y軸方向的洛倫茲力

F洛=qvB

自由電荷從C端運動到D端，由于洛倫茲力做功而增加的電勢能為

ΔE=qvBl

電動勢

(3)

如圖3所示，在與導體棒一起運動的K′參考系中觀測，空間既有電場又有磁場．根據電磁場的相對論變換，可以由K參考系中的磁場，求出K′ 參考系中電磁場的各個分量．

圖3

從K參考系到K′ 參考系，電磁場的變換公式為[1]

(4)

變換式中

在K參考系中，電磁場中的各個分量為Ex=

Ey=Ez=0，Bx=By=0，Bz= -B．由變換公式(4)得到在K' 參考系中，電磁場中的各個分量為Ex′=Ez′=0，Ey′=γvB，Bx′=By′=0，Bz′= -γB．

在K′參考系中，導體棒中的自由電荷受到感應電場力(非靜電力)從C端運動到D端，增加的電勢能ΔE′=qEy′l=qγvBl．電動勢為

(5)

比較(3)、(5)兩式得到

(6)

在這里，與導體棒相對靜止的參考系K′ 中觀測到的電動勢E ′，比相對導體棒運動的參考系K中觀測到的電動勢E 大，與電源電動勢的變換公式(2)相矛盾．

問題出在哪里？原來，在推導K參考系中的電動勢公式(3)時，并沒有考慮相對論效應．自由電荷在沿y軸方向的洛倫茲力作用下從C端移動到D端，電勢能增加，導體棒的質量也增大.要使導體棒以速度v沿x軸方向勻速運動，需要再增加一個x方向的外力Fx，才能使導體棒水平方向的動量增加．

即Fxdt=vdm

(7)

自由電荷從導體棒的C端運動到D端的過程，水平外力Fx做的功

利用(7)式得到

(8)

(9)

電荷q從C端運動到D端，對導體棒做功的非靜電力有y軸方向的洛倫茲力和x方向的外力Fx，由功能關系有

qvBl+Wx=ΔE

利用(9)式即可得到

電動勢為

(10)

比較(5)式和(10)式，即可得到

與電源電動勢的相對論變換公式(2)符合．

至此，我們在相對論的理論框架內，達到了動生電動勢與感生電動勢的定量統一，并且推導出了相對論中動生電動勢的公式

由此知道，通常使用的動生電動勢公式E =Blv，是相對論中動生電動勢公式在導體棒的速度v遠小于光速c情況下的近似．

參考文獻

1 趙凱華，陳熙謀．新概念物理教程·電磁學(第二版)．北京：高等教育出版社，2006．199