微元法在修正幾何光學命題中的應用

余紅巖

(衢州市龍游第二高級中學 浙江 衢州 324400)

解決物理問題，關鍵是物理方法和數學方法的有機結合，物理方法突出發散思維，數學方法突出抽象思維.微元法是物理學中常用的一種方法，既體現了物理思維，又體現了數學思維，可以解決物理學中常見的錯誤命題.

學習了折射定律后，有這樣一道題，用微元法解之，會發現命題的缺陷.

原題：如圖1所示，光從空氣射向上下表面平行的玻璃磚時，入射角為i，經折射從下表面射出.設玻璃磚的折射率為n,厚度為h,發生的側移為D.試證明入射角i越大，側移D越大.

圖1

參考解答：設在第一界面，光在玻璃磚中的折射角為r,由折射定律有

(1)

由數學知識可知

(2)

(3)

(4)

sin(i-r)=(sinicosr-sinrcosi)

(5)

綜合(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式得

(6)

由(6)式可知，當入射角i增大，側移D增大.

對(6)式，單從解答上來說，無可非議.但是我們仔細分析時，卻發現了問題.

微元法解答：

由(1)式可知

sini=nsinr

等式兩邊微分有

d(sini)=nd(sinr)

即有

cosidi=ncosrdr

由n>1,i>r,cosr>cosi可得

di>dr

與(3)、(4)對比，列式可知

(7)

(8)

(9)

(10)

di>dr

(11)

由于

cos(r1+dr)

代入式(7)、(9)兩式，故得

(12)

又因

di>dr

故有

sin[(i1-r1)+(di-dr)]>sin(i1-r1)

(13)

綜合(8)、(10)、(12)、(13)式得

D1

即當入射角i增大，側移D增大.

筆者認為在中學物理階段，不涉及高等數學知的前提下求解，原命題應作以下修改：

如圖1所示，光從空氣射向上、下表面平行的玻璃磚上，入射角為i，經折射最終從下表面射出，設玻璃磚的折射率為n,厚度為h,發生的側移為D，己知n2?sin2i，試證明入射角為i越大，側移D越大.

參考文獻

1 劉大華.小量分析在中學物理中的應用.物理教學,2008 (2) : 39