運用微元法處理“非線性”變化物理問題

劉成華

(前黃高級中學 江蘇 常州 213161)

非線性變化的物理問題往往都比較復雜，比如變力做功問題、非勻變速運動位移問題、安培力沖量問題等等.有些非線性變化問題可以用“圖像面積”來解決[1]，但還有許多非線性變化的問題用圖像解決不了.本文意在闡述運用“微元法”來解決非線性變化的物理問題.

微元法是將連續的研究對象(物體或物理過程)進行無限分割，從其中抽取某一微小單元進行討論，從而找出被研究對象變化規律的一種思想方法.用微元法解決物理問題是對選取的微元(一個微小部分或微小過程)進行分析研究，確定其受力、運動或狀態變化等等.運用微元法的目的，就是為了將不易分析、難以確定的研究對象或物理過程分割到足夠小，小到可以近似處理為簡單、基本、可研究的問題，最后再積零為整，把所有局部范圍內研究的結果累積起來，就可以得到問題的最終解決.

1 運用微元法解決非線性變化外力做功問題

對于恒力做功，可以利用公式W=Fscosα直接求出；但對于變力做功如何求解呢？

【例題1】如圖1所示，質量為m的物體以恒定速率v沿半徑為R的豎直平面內圓環軌道運動，已知物體與豎直軌道間的動摩擦因數為μ，試求物體從軌道最低點運動到最高點過程中，摩擦力做的功.

圖1

解析:物體沿豎直圓軌道從最低點勻速率運動到最高點的過程中，在不同位置與圓環間的壓力(圖2)，由

得

圖2

而摩擦力為

f=μN

可見摩擦力f是關于余弦函數變化的，是非線性變化的力，它的功不能簡單的用W=Fscosα來求得.可由圓軌道的對稱性，在圓軌道水平直徑上、下各取兩對稱位置A和B(圖3),設OA、OB與水平直徑的夾角為θ，取微元Δθ，則圓弧Δs=RΔθ的足夠短可看作直線，且摩擦力可視為恒力，則在A、B兩點附近的微元Δs內，摩擦力所做的功之和可表示為

ΔWf=-μNARΔθ+(-μNBRΔθ)

圖3

又因為物體在A、B兩點以速率v做圓周運動，所以

綜合以上各式得

ΔWf=-2μmv2Δθ

故摩擦力對車所做的功

Wf=∑ΔWf=∑-2μmv2Δθ=

-2μmv2∑Δθ=-πμmv2

這題是一個復雜的變力做功問題，利用公式直接求功是難以辦到的.利用微元思想，把物體的運動過程無限細分，在每一份位移微元內，力的變化量很小，可以忽略這種微小變化，認為物體在恒力作用下的運動；接下來把所有位移內的功相加，即“無限求和”，則總功就可求得.

2 運用微元法解決速度呈非線性變化的運動物體的位移

【例題2】從地面上以初速度v0豎直向上拋出一質量為m的球，若運動過程中受到的空氣阻力與其速率成正比關系，球運動的速率隨時間變化規律如圖4所示，t1時刻到達最高點，再落回地面，落地時速率為v1，且落地前球已經做勻速運動．求：

(1)球從拋出到落地過程中克服空氣阻力所做的功；

(2)球拋出瞬間的加速度大小；

(3)球上升的最大高度H．

解析：從題給v-t圖可知，球運動速率變化是非線性變化的，而球在運動過程中受到的空氣阻力與速率成正比關系，所以球受到的阻力同樣為非線性變化的，運動過程中的加速度也是非線性變化的.

圖4

(1)整個過程運用動能定理求得克服空氣阻力做功

(2)空氣阻力f=kv，落地前勻速運動，則

mg-kv1=0

剛拋出時加速度大小為a0，由牛頓運動定律得

mg+kv0=ma0

解得

(3)設上升時加速度為a，由牛頓第二定律得

-(mg+kv)=ma

取時間微元 Δt內，速度變化 Δv,在極短時間內可認為是勻變速運動，則有

又

vΔt= Δh

上升全程

則

本題第(3)問是一個求非勻變速運動位移問題;上升運動過程加速度呈非線性變化，不能夠直接運用運動學公式及牛頓運動解題.運用微元思想，把物體的運動無限細分，在極短時間內加速度變化很小，可認為是勻變速運動，對微元過程運用運動學公式列方程.

3 運用微元法解決加速度呈非線性變化的運動物體的時間

【例題3】如圖5所示，兩平行的光滑金屬導軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導軌足夠長且間距為l,電阻忽略不計，導軌平面的傾角為α.條形勻強磁場的寬度為d，磁感應強度大小為B、方向與導軌平面垂直.長度為2d的絕緣桿將導體棒和正方形的單匝線框連接在一起組成如圖所示裝置，總質量為m，置于導軌上.導體棒中通以大小恒為I的電流(由外接恒流源產生，圖中未圖出).線框的邊長為d(d

圖5

求：(1)裝置從釋放到開始返回的過程中，線框中產生的焦耳熱Q；

(2)經過足夠長時間后，線框上邊與磁場區域下邊界的最大距離xm.

解析:線框下邊框進入磁場后產生感應電動勢，回路中產生逆時針方向的電流.線框上邊框進入磁場后回路中產生順時針方向的電流.線框總是受到沿斜面向上的安培力而減速，使之進入磁場后的速度隨時間的變化呈指數衰減，線框所受安培力也將按指數衰減，則裝置的加速度也將按指數衰減，呈非線性變化.這樣一個復雜的物理規律，也可用微元法求出其數學表達式.

(1)設裝置由靜止釋放到導體棒運動到磁場下邊界的過程中，作用在線框上的安培力做功為W.由動能定理有

mgsinα·4d+W-BIld=0

且

Q=-W

解得

Q=4mgdsinα-BIld

(2)經過足夠長時間后，線框在磁場下邊界與最大距離xm之間往復運動.由動能定理

mgsinα·xm-BIl(xm-d)=0

解得

本題是2009年高考江蘇卷物理學科第25題中兩問.

通過以上例題可以看出運用微元法的一般解題思路：

(1)隔離選擇恰當微元作為突破整體研究的對象,微元可以是一小段線段、圓弧、一小塊面積、一個小體積、小質量、一小段時間……但應具有整體對象的基本特征；

(2)將微元模型化(如視作點電荷、質點、勻速直線運動、勻速轉動……)并運用相關物理規律，求解這個微元與所求物體的關聯；

(3)將一個微元的求解結果推廣到其他微元，并充分利用各微元間的對稱關系、矢量方向關系、近似極限關系，對各微元的解出結果進行疊加，以求出整體量的合理解答.

微元的選取應遵循的原則：

(1)所選取的微元必須具有代表性，即微元應具有物體的某些物理特征，如代表物體的受力特征、運動特征、狀態變化特征等.

(2)所選取的微元必須與所求物理量相關聯，這樣才能通過研究微元得到問題的解.

(3)所選取的微元要盡量簡單，這樣有助于建立簡單的物理模型，易于研究分析.

微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法.用該方法可以使一些復雜的物理過程用我們熟悉的物理規律迅速地加以解決，使所求的問題簡單化.在使用微元法處理問題時，需將其分解為眾多微小的“元過程”，而且每個“元過程”所遵循的規律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過程”，然后再將“元過程”進行必要的數學方法或物理思想處理，進而使問題求解.使用此方法會加強我們對已知規律的再思考，從而引起鞏固知識、加深認識和提高能力的作用.

參考文獻

1 劉成華.用圖像面積研究非線性問題.物理教師，2007(11)：47