靜電平衡狀態(tài)下導(dǎo)體球的電荷分布

陳星 朱俏燕

(無錫市第一中學(xué) 江蘇 無錫 214031)

1 引言

孤立導(dǎo)體的電荷分布已經(jīng)多有研究[1～2]，但靜電平衡狀態(tài)下導(dǎo)體電荷分布的定量研究稍顯少些[3]，尤其是導(dǎo)體接地與否對電荷分布的影響方面的研究.本文就是以導(dǎo)體球?yàn)槔ㄟ^求解空間電勢并利用導(dǎo)體邊界條件中電勢與電荷面密度的關(guān)系探討導(dǎo)體球在兩種典型電場中靜電平衡下的電荷分布[4].

2 兩種典型電場中導(dǎo)體球的電荷分布

2.1 無窮大勻強(qiáng)電場中不接地導(dǎo)體球的電荷分布

假設(shè)不帶電的導(dǎo)體球放入如圖1所示的勻強(qiáng)電場中，導(dǎo)體外空間無電荷分布.

圖1

欲求該導(dǎo)體球的電荷分布，可求解其電勢在導(dǎo)體外空間軸對稱情形下的拉普拉斯方程

▽2φ=0

(1)

(2)

其中，φ為導(dǎo)體外空間的電勢，它是由勻強(qiáng)電場和導(dǎo)體球共同激發(fā)的.勻強(qiáng)電場無窮大，所以，可以規(guī)定O處的電勢為零.而導(dǎo)體是等勢體，所以全空間的邊界條件為

代入上述通解.

取n=1

由

得

由

有

aRcosθ=-E0Rcosθ

得

可得φ的特解

(3)

根據(jù)靜電平衡時的導(dǎo)體邊界條件，導(dǎo)體球的電荷面密度

3ε0E0cosθ

(4)

取 3ε0E0=1，根據(jù)(4)式，可以畫出導(dǎo)體球面密度σ隨θ的變化關(guān)系，如圖2(a)所示.由此圖還可示意畫出導(dǎo)體球表面電荷分布，如圖2(b)所示.

由圖2可見，在無窮大勻強(qiáng)電場中，不接地導(dǎo)體球達(dá)到靜電平衡后，在其兩端將分別帶上異號電荷，并會按照導(dǎo)體球的中軸線按余弦規(guī)律對稱分布.所以，導(dǎo)體球帶的總電荷為零.這也恰好驗(yàn)證了導(dǎo)體靜電感應(yīng)規(guī)律，即在靠近正電荷的端感應(yīng)出負(fù)電荷，在靠近負(fù)電荷的端感應(yīng)出正電荷.但感應(yīng)電荷的總量為零.

圖2

2.2 無窮大勻強(qiáng)電場中接地導(dǎo)體球的電荷分布

現(xiàn)在假設(shè)原來不帶電的導(dǎo)體球放入勻強(qiáng)電場中，并使其接地，如圖3所示.求導(dǎo)體球的電荷分布.

圖3

在導(dǎo)體球外空間，仍然可以列出電勢的軸對稱情形下的拉普拉斯方程，其形式與(1)、(2)式無異.而邊界條件也仍然是

可見，接地與不接地的拉普拉斯方程及邊界條件是一樣的;所以，電勢的解也是一樣的.因而接地時的導(dǎo)體電荷面密度分布與不接地時相同，如圖2(a)和圖2(b)所示.這可能與我們的直覺不太一樣.從靜電平衡的角度看，導(dǎo)體球所處的位置似乎電勢應(yīng)該大于零，導(dǎo)體接地后，電子將由低電勢(大地)流向高電勢(導(dǎo)體球).但事實(shí)上，由于電場無窮大，故在其中任意一點(diǎn)都可以看成是既遠(yuǎn)離正電荷、又遠(yuǎn)離負(fù)電荷的零電勢點(diǎn)，所以，放入其中的導(dǎo)體球接地后，由于是零電勢與零電勢相連，就不會有電子從大地流向?qū)w球，也不會帶多余的電荷.所以，在無窮大勻強(qiáng)電場中，導(dǎo)體球接地與不接地都不會影響其按余弦規(guī)律對稱分布的電荷.

2.3 點(diǎn)電荷電場中的接地導(dǎo)體球的電荷分布

由于空間有了點(diǎn)電荷分布，所以，不能再通過解拉普拉斯方程來求解空間電勢φ.這時，可以采用鏡像法.

如圖4(a)，假設(shè)導(dǎo)體內(nèi)有一個電荷Q′ ，導(dǎo)體接地時，在Q′和Q的作用下，使導(dǎo)體球成為零等勢體，于是可得

△OPQ′∽△OQP

由此，可解出

圖4

則在圖4(b)中空間任意一點(diǎn)P處的電勢就為

(5)

導(dǎo)體球上的電荷面密度

(6)

圖5

從兩圖中可見，在點(diǎn)電荷電場中，導(dǎo)體球接地后，將完全帶上與點(diǎn)電荷極性相反的電荷，并將不均勻的分布在導(dǎo)體球表面.其中，靠近點(diǎn)電荷的部分電荷面密度大一些，遠(yuǎn)離點(diǎn)電荷的部分電荷面密度小一些.從靜電平衡的角度講，在這樣一個正的點(diǎn)電荷的電場中，其電勢為正.所以，導(dǎo)體球接地后，電子將會由低電勢(大地)流向高電勢，故導(dǎo)體球會帶上負(fù)電.

2.4 點(diǎn)電荷電場中不接地導(dǎo)體球的電荷分布

當(dāng)導(dǎo)體球不接地時，根據(jù)導(dǎo)體的靜電平衡條件，導(dǎo)體仍然是等勢體.與上述接地情形類似，先假定在導(dǎo)體球內(nèi)有一個假想電荷Q′，在Q′和Q的作用下使導(dǎo)體成為零等勢體.則仍然可有

但導(dǎo)體未接地，它當(dāng)然也不是零等勢體.這時，我們可以再在導(dǎo)體球的中心處假想有一個點(diǎn)電荷Q″，在Q″、Q′和Q的共同作用下，使導(dǎo)體球成為滿足條件的非零等勢體,如圖6所示.

圖6

對于整個導(dǎo)體球而言，由靜電場的高斯定理，它的總電通量應(yīng)該為零，故有

于是，導(dǎo)體球外空間任意一點(diǎn)P的電勢為

(7)

導(dǎo)體球的電荷面密度

(8)

如果把接地與不接地兩種情形進(jìn)行對比，還可發(fā)現(xiàn)：從不接地到接地，將有電子從大地流向?qū)w球，流上來的電量要不僅僅中和掉原來左側(cè)的正電荷，還要使其帶上與之相反的負(fù)電；同時，還要補(bǔ)充右側(cè)負(fù)電荷量，使其在σ軸上有一個整體的下移.但觀察(6)式和(8)式及圖5(a)和圖7(a)很容易發(fā)現(xiàn)，接地與不接地，σ關(guān)于θ的變化函數(shù)僅僅差一個常數(shù)項(xiàng)；接地時僅僅是不接地時σ的一個上移.所以，不論接地與否，電荷面密度關(guān)于角度的變化走向是相同的.如果在導(dǎo)體球的兩端分別連接一個驗(yàn)電器，則由以上分析可判斷，當(dāng)導(dǎo)體未接地時，左右兩邊驗(yàn)電器箔片都會張開；接地后，左邊箔片將會先閉合再張開，而右邊箔片張角將會在原來的基礎(chǔ)上變大.

參考文獻(xiàn)

1 呂長榮，劉曉軍，高紅. 電磁學(xué). 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2000. 48

2 韓素紅. 關(guān)于孤立導(dǎo)體表面電荷分布的討論. 大同職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2004(4)：31

3 李敬. 導(dǎo)體表面的電荷分布. 云南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1998，20(31)

4 郭碩鴻. 電動力學(xué). 北京：高等教育出版社， 1997. 61