線電荷與圓柱導體間的相互作用

喻莉 楊植宗 何艷

(武漢空軍雷達學院基礎部 湖北 武漢 430019)

1 引言

在靜電場中，當電荷附近存在某一導體時，導體表面會出現感應電荷.由于感應電荷的分布情況及其總帶電量不太容易得出，那么求解電荷與導體間的相互作用就比較困難.但是如果電荷是點電荷或線電荷，且導體形狀是平面、球或圓柱面時，就可以采用鏡像法來求解.在電磁學或電動力學中，鏡像法是計算靜電場問題的一種重要方法[1～2].本文在用鏡像法求解線電荷與接地圓柱導體間相互作用的基礎上，通過增加鏡像電荷的方法，進一步分析求解得出了線電荷與絕緣圓柱導體、與電源連接的圓柱導體間的相互作用.

2 線電荷與圓柱導體間的相互作用

2.1 線電荷與接地圓柱導體間的相互作用

如圖1，一半徑為a的無限長接地圓柱導體外放有一線密度為ρl(設ρl>0)的無限長線電荷，且圓柱導體的軸線與線電荷平行，間距為d.由于靜電感應，圓柱面上的正電荷將會被排斥后運動到遠離線電荷的一邊，并沿著導線入地，而圓柱面上的負電荷將會被吸引后運動到靠近線電荷的一邊.那么此時圓柱導體的鏡像電荷是怎樣的呢？

圖1 線電荷與接地圓柱導體

(1)由于圓柱面上有一部分正電荷沿導線入地，故圓柱面面電荷總量為負值.因此鏡像電荷的電量一定是負值.

(2)根據對稱性，圓柱面的面電荷必然以Ox軸對稱分布，故鏡像電荷必定位于線電荷與圓柱軸線所決定的平面上.

(3)為使圓柱導體面上各點的電勢為零，鏡像電荷應該是位于圓柱面內部且與軸線平行的無限長線電荷.

由于在垂直于線電荷的所有截面上電場的分布均相同，因此可以取任意一截面來進行研究，這樣就將三維情況簡化為二維.如圖1，現假設鏡像電荷的線密度為ρl′，距離圓柱的軸線為d′ .選取x軸上任意一點m(m>a)為零勢參考點.圓柱面上任意一點P(a,β)的電勢應為ρl和ρl′在該點產生的電勢之和，而P點的電勢又為零，故

(1)

求解(1)式[3]可得

ρl′=-ρl

此時，線電荷ρl與圓柱導體間的相互作用就等于線電荷ρl與鏡像電荷ρl′之間的相互作用.ρl′在圓柱面外空間任一點N(r，ψ)的電勢為

(2)

由電場強度E′=-▽φ′,則在ρl所在位置的電場強度為

（1）保證所有施工段的工作量基本一致，嚴格按規定時間對每一段進行施工，完成一段施工后，按計劃及時進入下一個階段的施工，進而保證總體施工進度。

(3)

則單位長度線電荷ρl所受的作用力為

(4)

可見，它們之間的相互作用表現為引力.

2.2 線電荷與絕緣圓柱導體間的相互作用

與2.1中的條件相同，但將無限長接地圓柱導體換為不帶電的無限長絕緣圓柱導體，如圖2.同樣，由于靜電感應，在圓柱面上就將會出現密度不同、符號不同的面電荷分布.那么此時圓柱導體的鏡像電荷是怎樣的呢？

(1)由于圓柱面上的面電荷總量為零，故鏡像電荷的總量也為零.

(2)圓柱面的面電荷仍然以Ox軸對稱分布，故鏡像電荷還是位于線電荷與圓柱軸線所決定的平面上.

(3)圓柱導體面為等勢面，故鏡像電荷和線電荷ρl在圓柱面上各點所產生的總電勢應處處相等.

圖2 線電荷與絕緣圓柱導體

如2.1中一樣引入一線密度為ρl′的鏡像電荷后，顯然鏡像電荷和線電荷ρl在圓柱面上各點的總電勢處處相等，但此時鏡像電荷的總量不為零.要讓鏡像電荷的總量為零，顯然還需引入一線密度為ρl″的鏡像電荷，且ρ″=-ρl′.而為了保證圓柱面上的電勢處處相等，該鏡像電荷就應該放在圓柱面的軸線上.這樣就可以用兩個鏡像電荷來代替圓柱面上的感應電荷，那么線電荷ρl與圓柱導體間的相互作用就等于線電荷ρl與兩個鏡像電荷之間的相互作用之和.此時ρl″和ρl′在圓柱面外空間任一點N(r，ψ)的電勢為

(5)

由電場強度E′=-▽φ′,則在ρl所在位置的電場強度為

(6)

則單位長度線電荷ρl所受的作用力為

(7)

此時，它們之間的相互作用也表現為引力，且小于圓柱導體接地時的情況.

2.3 線電荷和一個與電源連接的圓柱導體間的相互作用

與2.1中的條件相同，但將無限長接地圓柱導體換為與一電動勢為ε的電源相接的無限長圓柱導體，如圖3.此時圓柱導體的鏡像電荷是怎樣的呢？

圖3 線電荷與電源相接的圓柱導體

(1)圓柱面的面電荷仍然以Ox軸對稱分布，故鏡像電荷還是位于線電荷與圓柱軸線所決定的平面上.

(2)圓柱面上的電勢處處相等，電勢為φ.故鏡像電荷與線電荷在圓柱面上產生的總電勢應處處為φ.

在2.1中，當放入鏡像電荷ρl′后，在ρl和ρl′的作用下，圓柱導體面上的電勢處處為零，但此時，我們要求其電勢處處為φ，因此，我們還需在圓柱導體的軸線上放入另一線電荷ρl″ ，并且該電荷必須在圓柱面上產生的電勢為φ.由于ρl″在圓柱面上產生的電勢為

故

此時ρl″和ρl′在圓柱面外空間任一點N(r，ψ)的電勢為

(8)

由電場強度E′=-▽φ′，則在ρl所在位置的電場強度為

(9)

則單位長度線電荷ρl所受的作用力為

(10)

此時，它們之間的相互作用即可能是引力也可能是斥力.

3 小結

本文用鏡像法解得線電荷與接地圓柱導體、絕緣圓柱導體、連接電源的圓柱導體間的相互作用，所得結論具有一定的普遍性.對于無限長線電荷位于無限長圓柱導體內時的情況，本文的方法也同樣適用.無限長圓柱導體雖為一物理模型，但當圓柱導體的長度遠遠大于線電荷到圓柱導體間的距離時，圓柱導體便可看作無限長，因此本文所得結論仍具有一定的參考價值和實際意義.

參考文獻

1 蘭明乾.用電像法討論點電荷與導體球間的相互作用．物理與工程，2008，18(4)：21～23

2 鄧衛娟.與電象有關的互作用力及其所作功和互能．大學物理，2004，23(11)：30～33

3 郭碩鴻．電動力學(第二版)．北京：高等教育出版社，1997.56